光在晶体中的传播
晶体双折射
晶体简介：外形有一定规则性或对称性，内部原子排列有序、周期性，规则有序结构导致物理性质各向异性----------热传导的各向异性、电导的、极化的、磁化的、光速的各向异性等。
光在晶体中的传播------光在各向异性介质中的传播的行为------《固体物理》、《晶体几何理论》
表明： 7种晶系、14种晶格、32种点群。
其中 按照光学眼光划分，可分为 单轴晶系（冰洲石、红宝石、石英）、双轴晶系（蓝宝石、云母）、立方晶系（食盐Nacl 晶粒）
双折射现象
光在单轴晶系中传播时表现出来一种双折射现象。一束光正入射晶体表面，出现两束出射光，出射光中有一束光正常射出(O光)，另一束光有一个位移，在晶体内倾斜出射（e光）。我们采用偏振片检验，O光e光都是线偏振光。
方解石，其自然解理面为平行六面体。平行六面体中8个顶角，只有两个顶角是钝角，这两个角组成的传播方向是晶体的光轴方向，经过光轴方向传播的光束不会发生双折射。
光轴：单轴晶体存在一个特殊方向----光轴，光沿光轴方向传播不会发生双折射。冰川石光轴方向------平行于两个钝棱角的对角线方向。
晶体中的惠更斯作图法----------求 e光 O光的传播方向
设想当前光轴是Z轴。晶体内一点源，沿任意方向产生考察波传播行为，应分别为 O振动、e振动而论。O振动，光矢量E0(t)垂直于珠光面(Z,r)。e振动，光矢量Ee(t)平行于主平面(Z,r)。
在t时刻看O光的波面是一个球面，而e光的波面则是一个旋转的椭圆面。旋转轴是光轴，长轴Ve t ，短轴Vo t。以光轴为参考周，斜的方向标定，则有φ角，射线方向φ角变化。
冰洲石(负晶体) Ve(φ)>= Vo,或者 ne(φ)<= no。
石英(正晶体，各向同性)，Ve(φ)<= Vo,或者 ne(φ)>= no。
可归纳为：
(1) O振动传播规律--------各向同性，O光波面∑o(t) 为球面
(2) e振动传播规律---------各向异性，e光波面∑e(t) 为旋转椭球面，旋转轴为光轴；两套波面相切于光轴方向。
对于负晶体 no >= ne(φ)>= ne
对于正晶体 no <= ne(φ)<= ne
其实，主折射率有3个(nx，ny，nz)
对于单轴而言 nx=ny=ne，nz = no。
对于 Ve(φ)各向异性的又一认识----------取决于光矢量E(t) 与光轴Z之间的夹角。
深化认识 晶体光学的各向异性 表现认识：no →ne(φ) → ne 或 Vo → Ve(φ) → Ve
只要知道主折射率，就可以通过作图的办法求出晶体中O光e光的传播方向。
注意：e光波面的法线方向不是e的射线方向
入射面：入射光线与界面的法线方向所组成的面
主截面：界面的法线方向与晶体内部光轴所组成的面
主平面：传播方向与光轴组成的面。
当主截面与入射面相重合的时候，主平面也与入射面相重合。
对于e光而言还可能出现(不满足折射定律)
总之，(1)O光满足通常的折射定律，e光的折射方向不满足施耐德定律的形式；
(2) O光线与其波面∑o正交，而e光 re 与其波面不正交。或者说，一般情况下，e光波的射线方向与其波面法线方向并不一致。
例外的一种情况：光轴垂直于入射面，即主截面垂直于入射面
两个重要情况---------均为厚度均匀晶片
(1) 光轴平行表面、光束正入射，
可见 o光e光出射方向一致，表观上无双折射现象，却内涵双折射。两者于晶体内部传播，光程不等(no d - ne d)≠0，这将被应用产生或检查 圆偏振光、椭圆偏振光。(波晶片)
(2) 光轴任意、光束正入射
可见，体内∑e 面法线方向Ne 与射线方向re 不一致，二者分离角 α；而∑e 面依然平行晶片表面。
在晶体内部e光的波面随时间在空间中推移，e光波面法线方向与能流射线方向并不一定正交。波面的法线方向与光轴的夹角为θ，射线方向与光轴的夹角为 ξ ，α = ξ - θ。
单轴晶体光学公式 双轴晶体
射线速度与法线速度
由于e光是一个椭球面，将3维信息退化为2维，在xz平面内讨论问题。t时刻，波面是一个椭圆，t+△t ，波面是一个大的椭球面，e光随着时间波面在空间中推移。
均匀介质各向异性，扰动是直线传播的。扰动的方向就是直线传播的方向就是射线的方向。另一个方向是一个面的法线方向。可提取速度的概念。
考虑波面∑e(t) ----------随时间在空间的推移，出发点-----------惠更斯模型
∑e(t) 为旋转椭球面，其主轴速度为 (Vx,Vy,Vz) = (Ve,Ve,Vo)。即(x,z)面内，椭圆方程有
x
2
a
2
+
z
2
b
2
=
1
,
其中
a
=
V
e
t
，
b
=
V
o
t
\frac{x^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = 1 ,其中 a = V_e t，b = V_o t
a2x2+b2z2=1,其中a=Vet，b=Vot
提取速度的概念∑e(t) → ∑e(t+△t) ,则有
(1) 射线速度 Vr = dr/dt ，具有物理意义
(2) 法线方向 Vn=drn /dt，具有几何意义
VrV 与Vn 的关系
对场点P而言
V
n
(
P
)
=
V
r
(
P
)
c
o
s
α
,
α
=
ξ
−
θ
,
t
a
n
θ
=
n
e
2
n
o
2
t
a
n
ξ
V_n(P) = V_r(P) cos\alpha, \alpha = ξ - \theta, tan\theta = \frac{n_e^2}{n_o^2} tanξ
Vn(P)=Vr(P)cosα,α=ξ−θ,tanθ=no2ne2tanξ
可见(1) Vn <= Vr
(2) ξ 从0° → π/2时，θ 也从0°→ π/2，α 从0°→0°
其间出现极大值α ----------最大分离角
当tanθ0 = ne/no时，出现最大分离角 αM，满足
t
a
n
α
M
=
n
o
2
−
n
e
2
2
n
o
n
e
tan\alpha_M = \frac{n_o^2-n_e^2}{2n_o n_e}
tanαM=2noneno2−ne2
导出θ → ξ 关系
x
2
a
2
+
z
2
b
2
=
1
\frac{x^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} = 1
a2x2+b2z2=1
同时求导可得
1
a
2
2
x
d
x
+
1
b
2
2
z
d
z
=
0
\frac{1}{a^2}2xdx+\frac{1}{b^2}2z dz =0
a212xdx+b212zdz=0
于是，切线斜率
d
z
d
x
=
−
b
2
a
2
x
z
=
−
n
e
2
n
o
2
t
a
n
ξ
,
其中
a
=
V
e
t
=
c
n
e
，
b
=
V
o
t
=
c
n
o
\frac{dz}{dx} = -\frac{b^2}{a^2} \frac{x}{z} = -\frac{n_e^2}{n_o^2} tanξ,其中 a = V_e t = \frac{c}{n_e}，b = V_o t=\frac{c}{n_o}
dxdz=−a2b2zx=−no2ne2tanξ,其中a=Vet=nec，b=Vot=noc
其法线斜率，若以θ角来表示，当为
t
a
n
θ
=
−
d
z
d
x
=
n
e
2
n
o
2
t
a
n
ξ
tan\theta = -\frac{dz}{dx} = \frac{n_e^2}{n_o^2} tanξ
tanθ=−dxdz=no2ne2tanξ
波面的法线方向与光轴方向无关，一定是表面的法线方向，就是e光的波面法线方向。我们若已知α角，则射线方向就可以确定下来。
速度各向异性公式
Vr(ξ)公式
由 r2 = x2 + z2 ，以改写波面椭圆方程
极坐标形式
r
(
ξ
)
2
=
a
2
b
2
a
2
(
c
o
s
ξ
)
2
+
b
2
(
s
i
n
ξ
)
2
=
V
o
2
V
e
2
V
e
2
(
c
o
s
ξ
)
2
+
V
o
2
(
s
i
n
ξ
)
2
t
2
r(ξ)^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 (cosξ)^2 + b^2 (sinξ)^2} = \frac{V_o^2 V_e^2}{V_e^2 (cosξ)^2 + V_o^2 (sinξ)^2} t^2
r(ξ)2=a2(cosξ)2+b2(sinξ)2a2b2