从图像恢复仿射和度量性质
射影矫正的目的是消除平面的透视图像中的射影失真,使得原始平面的相似性质(角度,长度比)可以被测量。
1.由图像恢复仿射性质
结论 1: 在射影变换 下,无穷远直线为不动直线的充要条件是是仿射变换。
证明:
同理,逆命题也是正确的。
在平面的像中,一但无穷远直线的像得到辨认,就有可能对原平面进行仿射测量。如图1所示,直接把已辨认的变换到它的规范位置。把实现此变换的(射影)矩阵应用于图像中的每一点以达到对图像进行仿射矫正的目的,即变换之后,仿射测量可以直接在矫正过的图像中进行。
如果无穷远直线的像是,假定的一个合适的射影点变换是:
直线上的距离比
给定一条直线上有已知长度比的两个线段,该直线上的无穷远点便可以确定。
2.虚圆点及其对偶
虚圆点 每一圆周与相交的点称为虚圆点。
在二次曲线为圆时有且。取则:
该二次曲线相交与于( 理想) 点():
解得 ,
结论2 在射影变换下 . 虚圆点和为不动点的充要条件是 是相似变换。
证明
虚圆点(也称绝对点) ,在保向相似变换下:
同理也可证明。
与虚圆点对偶的二次曲线
结论 3 对偶二次曲线在射影变换下不变的充要条件是是相似变换。
此外,在任何射影框架下,对偶二次曲线还具有以下性质:
- 有 4 *度
- 是的零矢量
3.射影子面上的夹角
在欧氏几何中,两线间的夹角由它们法线的点乘来计算。直线和的法线分别平行于和,其夹角为:
在射影变换下不变的公式为:
其中是与虚圆点对偶的二次曲线。
结论4 一旦二次曲线在射影平面上被辨认,那 么欧氏角可以测量。
结论5 如果, 则直线和正交。
结论6 一旦二次曲线在射影平面上被辨认,长度比同样可以测量。
4.由图像恢复度量性质
把虚圆点变换到它们的标准位置,就可以由平面的图像恢复度量性质。对偶二次曲线几乎包含了实现度量矫正所需的全部信息。它能确定射影变换中的仿射和射影成分,而只留下相似变换的失真。
结论7 在射影平面上,一旦 辨认, 那么射影失真可以矫正到相差一个相似变换。