Multiple View Geometry(多视图几何)学习笔记(5)—从图像恢复仿射和度量性质

时间:2024-03-31 13:28:44

            从图像恢复仿射和度量性质

  射影矫正的目的是消除平面的透视图像中的射影失真,使得原始平面的相似性质(角度,长度比)可以被测量。

1.由图像恢复仿射性质

结论 1:  在射影变换 H下,无穷远直线l为不动直线的充要条件是H是仿射变换。
证明:

l=HATl=[AT0tTAT1][001]=[001]=l

  同理,逆命题也是正确的。

  在平面的像中,一但无穷远直线的像得到辨认,就有可能对原平面进行仿射测量。如图1所示,直接把已辨认的l变换到它的规范位置l=(0,0,1)T。把实现此变换的(射影)矩阵应用于图像中的每一点以达到对图像进行仿射矫正的目的,即变换之后,仿射测量可以直接在矫正过的图像中进行。
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1仿

  如果无穷远直线的像是I=(l1,l2,l3)T,假定l30,ll=0,0,1T的一个合适的射影点变换是:

H=HA[100010l1l2l3]

直线上的距离比
  给定一条直线上有已知长度比的两个线段,该直线上的无穷远点便可以确定。

2.虚圆点及其对偶

虚圆点 每一圆周与l相交的点称为虚圆点。
  在二次曲线为圆时有a=cb=0。取a=1则:

x12+x22+dx1x3+ex2x3+fx32=0

  该二次曲线相交与l于( 理想) 点(x3=0):

x12+x22=0

  解得I=(1,i,0)T ,J=(1,i,0)T

结论2 在射影变换H下 . 虚圆点IJ为不动点的充要条件是H 是相似变换。
证明
  虚圆点(也称绝对点)I=(1,i,0)T ,J=(1,i,0)T在保向相似变换下:

I=HSI=[scosθssinθtxssinθscosθty001](1i0)=seiθ(1i0)=I

  同理J也可证明。

与虚圆点对偶的二次曲线C=IJT+JIT

结论 3  对偶二次曲线C在射影变换H下不变的充要条件是H是相似变换。
此外,在任何射影框架下,对偶二次曲线C还具有以下性质:

  • 有 4 *度
  • lC的零矢量

3.射影子面上的夹角

  在欧氏几何中,两线间的夹角由它们法线的点乘来计算。直线I=(l1,l2,l3)Tm=(m1,m2,m3)T的法线分别平行于(l1,l2)T(m1,m2)T,其夹角为:

cosθ=l1m1+l2m2(l12+l22)(m12+m22)

  在射影变换下不变的公式为:

cosθ=lTCm(lTCl)(mTCm)

  其中C是与虚圆点对偶的二次曲线。

结论4 一旦二次曲线C在射影平面上被辨认,那 么欧氏角可以测量。

结论5 如果lTCm=0, 则直线lm正交。

结论6 一旦二次曲线C在射影平面上被辨认,长度比同样可以测量。

4.由图像恢复度量性质

  把虚圆点变换到它们的标准位置,就可以由平面的图像恢复度量性质。对偶二次曲线C几乎包含了实现度量矫正所需的全部信息。它能确定射影变换中的仿射和射影成分,而只留下相似变换的失真。

结论7 在射影平面上,一旦 C辨认, 那么射影失真可以矫正到相差一个相似变换。