《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征

时间：2024-03-31 11:52:40

本节书摘来自华章出版社《 线性代数及其应用 （原书第4版）》一书中的第2章，第2.3节，作者:（美）戴维C. 雷（David C. Lay）马里兰大学帕克学院 著刘深泉 张万芹 陈玉珍 包乐娥 陆 博 译，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看

2.3 可逆矩阵的特征

本节复习第1章引入的大部分重要概念，并且与n个未知量n个方程的方程组，以及方阵联系起来，主要结论是定理8.
定理8 （可逆矩阵定理）
设A为《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征矩阵，则下列命题是等价的，即对某一特定的A，它们同时为真或同时为假.

  1. A是可逆矩阵.
  2. A等价于 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征单位矩阵.
  3. A有n个主元位置.
  4. 方程《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 仅有平凡解.
  5. A的各列线性无关.
  6. 线性变换 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征是一对一的.
  7. 对《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 中任意b，方程《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 至少有一个解.
  8. A的各列生成 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征.
  9. 线性变换 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征把 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征映上到《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 上.
  10. 存在《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征矩阵C使CA=I .
  11. 存在 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征矩阵D使 AD=I.
  12. 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征是可逆矩阵.
    首先，我们需要某些记号，若当命题（a）为真则（j）也真，我们称（a）

蕴涵（j），记为（a）《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征（j）. 我们将按图2-6中蕴涵的“循环”来证明这些命题的等价性，即这五个命题之一为真可推出其他命题也真，然后我们将把其他命题链接进这个循环.
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证 若（a）为真，则《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 可作为（j）中的C，故（a）《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征（j），其次，由2.1节23题（请参阅该习题），（j）《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征（d），又由2.2节23题可知（d）《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征（c）. 若A是方阵且有n个主元位置，则主元必定在主对角线上，在这种情况下，A的简化阶梯形是《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征，因此（c）《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征（b）. 同时由2.2节定理7知（b）《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征（a）. 至此完成图2-6中的证明循环.
其次，由于《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征可作为D，（a）《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征（k）. 又由2.1节习题26知（k）《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征（g），而由2.2节习题24有（g）《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征（a），因此（g）和（k）被链接进这个循环. 再根据1.4节定理4和1.9节定理12（a），得到对任一矩阵来说，（g）、（h）和（i）是等价的，因此，通过（g）使（h）和（i）被链接进这个循环.
因（d）、（e）、（f）对任一矩阵A是等价的（参见1.7节及1.9节定理12（b）），而（d）在这个循环之中，所以（e）和（f）也在这个循环中. 最后，由2.2节定理6（c）有（a）《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征（l），再根据同一个定理，将A和《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 互换后得到（l）《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征（a）. 见图2-7. 这就完成了定理8的证明.
由2.2节定理5，定理8中命题（g）也可写成“方程Ax=b 对任意《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 中的b 有唯一解”. 这命题当然也蕴涵（b），因此也蕴涵A为可逆阵.

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下列事实由定理8及2.2节习题12推出.
设A和B为方阵，若AB=I ，则A和B都是可逆的，且 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 .
可逆矩阵定理将所有《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 矩阵分为两个不相交集合：可逆（非奇异）矩阵和不可逆（奇异）矩阵. 定理中每个命题给出了《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 可逆矩阵的一个性质. 定理中每个命题的否命题给出了《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 奇异矩阵的一个性质. 例如，每个《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 奇异矩阵不行等价于《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 ，没有 n个主元位置，它的各列线性相关，其他的否命题在习题中考虑.
例1 应用可逆矩阵定理来判断A是否可逆：
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解
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所以A有3个主元位置，根据可逆矩阵定理命题（c），A是可逆的.
可逆矩阵定理的作用在于它给出了许多重要概念的联系，例如矩阵A的列的线性无关性与形如Ax=b 的解的存在性关联起来. 但是必须强调，可逆矩阵定理仅能用于方阵. 例如，若一个4x3矩阵的列线性无关，我们不能用可逆矩阵定理断定形如 Ax=b的方程的解的存在性或不存在性.
可逆线性变换
回忆2.1节矩阵乘法对应于线性变换的复合. 当矩阵A可逆时，方程《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 可看作关于线性变换的一个命题，见图2-8.
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线性变换 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征称为可逆的，若存在函数 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征使得
对所有《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 中的 , 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 （1）
对所有 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征中的 ，《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 （2）
下列定理说明若这样的S存在，它是唯一的而且必是线性变换. 我们称S是T的逆，把它写成 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征.
定理9 设 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征为线性变换，A为T的标准矩阵. 则T可逆当且仅当A是可逆矩阵. 这时由 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征定义的线性变换S是满足（1）和（2）的唯一函数.
证 设 T是可逆的，则（2）说明T是从《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 映上到《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 的映射，因若b 属于 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征，《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 ，则 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征，所以每个 b属于T的值域，于是由可逆矩阵定理命题（i）， A为可逆的.
反之，若A是可逆的，令《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 ，则S是线性变换，且显然S满足（1）和（2），例如
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于是T是可逆的. S的唯一性的证明见习题38.
例2 设 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征是一对一线性变换，则T会如何？
解 T的标准矩阵A的列是线性无关的（依1.9节定理12），所以依可逆矩阵定理，A是可逆的，而且T把《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 映上到 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征. 同时，依定理9，T为可逆.
数值计算的注解 实际工作中，你将会遇到“接近奇异的”或者病态矩阵——一个可逆矩阵，但当它的某些元素稍微改变就变成奇异矩阵. 在这种情况下，行变换可能由于舍入误差产生少于 个主元位置. 另外，有时舍入误差也可能使奇异矩阵变成是可逆的.
某些矩阵程序对一个方阵计算它的条件数，条件数越大，矩阵越接近奇异. 单位矩阵的条件数是1，奇异矩阵的条件数为无穷大. 在极端情况下，矩阵程序可能无法区别奇异矩阵与病态矩阵.
习题41~45说明当条件数大时，矩阵计算可能产生明显的错误.
练习题

  1. 确定 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征是否可逆.
  2. 设对某个矩阵 A，可逆矩阵定理命题（g）不成立. 那么形如 《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征的方程会如何？
  3. 设 A,B是《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 矩阵，方程《 线性代数及其应用 （原书第4版）》—— 2.3 可逆矩阵的特征 有非平凡解，那么矩阵AB会如何？
    习题2.3

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