在神经网络中引入**函数一个重要的原因就是为了引入非线性。
1.sigmoid
从数学上来看，非线性的Sigmoid函数对*区的信号增益较大，对两侧区的信号增益小。从神经科学上来看，*区酷似神经元的兴奋态，两侧区酷似神经元的抑制态，因而在神经网络学习方面，可以将重点特征推向*区，将非重点特征推向两侧区。
函数形式为
。它的优点是输出范围为(0, 1)，所以可以用作输出层，用输出值来表示概率。也叫做Logistic函数，有一个二分类的应用叫Logistic回归，用的就是sigmoid函数得到一个概率值。，另外其求导也很方便，求导后的结果为，
。下面是sigmoid和其导数的函数图像： 
我们可以发现sigmoid在x>>0时，函数值趋近1，在x<<0时，函数值趋近0。另外可以发现函数在两端附近的梯度较小，这也是sigmoid的缺点，在这些x值处，梯度容易饱和，从而造成参数无法更新或者更新很慢。
2.tanh
tanh的形式为
。基本性质同sigmoid没有多少出入，只是将值映射到了[-1,1]这个区间。虽然也是非线性的，依旧有梯度饱和的情况存在，但比sigmoid函数延迟了饱和期。其函数图像如下： 
3.ReLu
ReLu也叫修正线性单元，是一种线性的**函数。它的提出消除了前面所说的梯度饱和的情况，并且其梯度也很好求出。一般现在神经网络的**函数默认使用ReLu。表示为f(x) = max(0,x)。其函数图像为： 
具有单侧抑制的特性，在<0的地方抑制，其他的地方都**。
4.maxout
Maxout模型实际上也是一种新型的**函数，在前馈式神经网络中，Maxout的输出即取该层的最大值，在卷积神经网络中，一个Maxout feature map可以是由多个feature map取最值得到。
maxout的拟合能力是非常强的，它可以拟合任意的的凸函数。但是它同dropout一样需要人为设定一个k值。
为了便于理解，假设有一个在第i层有2个节点第（i+1）层有1个节点构成的神经网络。 
**值 out = f(W.X+b); f是**函数。’.’在这里代表內积
;
那么当我们对（i+1）层使用maxout（设定k=5）然后再输出的时候，情况就发生了改变。 
此时网络形式上就变成上面的样子，用公式表现出来就是：
z1 = W1.X+b1;
z2 = W2.X+b2;
z3 = W3.X+b3;
z4 = W4.X+b4;
z5 = W4.X+b5;
out = max(z1,z2,z3,z4,z5);
也就是说第（i+1）层的**值计算了5次，可我们明明只需要1个**值，那么我们该怎么办？其实上面的叙述中已经给出了答案，取这5者的最大值来作为最终的结果。
总结一下，maxout明显增加了网络的计算量，使得应用maxout的层的参数个数成k倍增加，原本只需要1组就可以，采用maxout之后就需要k倍了。
再叙述一个稍微复杂点的应用maxout的网络，网络图如下： 
对上图做个说明，第i层有3个节点，红点表示，而第（i+1）层有4个结点，用彩色点表示，此时在第（i+1）层采用maxout（k=3）。我们看到第（i+1）层的每个节点的**值都有3个值，3次计算的最大值才是对应点的最终**值。我举这个例子主要是为了说明，决定结点的**值的时候并不是以层为单位，仍然以节点为单位。
参考：
https://www.cnblogs.com/neopenx/p/4453161.html
http://www.sohu.com/a/146005028_723464
http://blog.csdn.net/hjimce/article/details/50414467