Dirac-Delta函数

Dirac-Delta函数

1. 广义函数

1.1 广义函数的概念

1.2 广义函数的定义

定义1（基本空间） 设G是$-\infty<x<\infty$−∞<x<∞上无限次可微且在某有限区间以外为0的函数全体。按照通常的加法和数乘，它成为线性空间，在其中定义极限概念如下：设$φ_n,φ\in G$φn​,φ∈G，若
（1）存在一个与n无关的公共有限区间[a,b]，使$φ_n$φn​在[a,b]外为0，n=1,2,…;
（2）在$-\infty<x<\infty$−∞<x<∞对每一非负整数q，函数列$φ_n^{(q)}$φn(q)​，即$φ_n$φn​的q阶导数一致收敛于$φ^{(q)}$φ(q)。
则称$φ_n$φn​在G中收敛于$φ$φ,记为$φ_n\to φ$φn​→φ, G称为基本空间.

注：空间G的这种收敛性不能容纳在距离空间的收敛性之中，即我们无法定义一个距离d，使$φ_n\to φ$φn​→φ等价于$d(φ_n,φ)\to 0$d(φn​,φ)→0。 .

定义2（广义函数） G上的连续线性泛函 $f$f 称为广义函数，记为$f(φ)$f(φ)，或$(f,φ)$(f,φ)。

示例

例1 局部可积函数是广义函数.
Def 我们把在任何区间上都L可积的函数称为局部可积函数，其全体记为$L^*$L∗。设$f\in L^*$f∈L∗，利用$f$f定义一个G上的连续线性泛函$T(f)$T(f)：对任何$φ\in G$φ∈G，$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)φ(x)dx$∫−∞∞​f(x)φ(x)dx。由于$φ(x)$φ(x)，在某有限区间外为0, 故上述积分有意义。
Pf：$T(f)$T(f)显然是G上连续线性泛函，且是一一映射，即如果$f\in L^*$f∈L∗且$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)φ(x)dx=0$∫−∞∞​f(x)φ(x)dx=0对一切$φ\in G$φ∈G成立，则$f(x)=0$f(x)=0 a.e.于R。这样，局部可积函数就可以一对一地嵌入 G上连续线性泛函空间，作为它的一部分。

例2 Dirac-Delta函数
现在我们可以给本节开始时引进的Dirac-Delta函数一个严格的数学定义。
Def 如果G上的连续线性泛函由下式给定：对一切$φ\in G$φ∈G，对应数值$φ(0)$φ(0)，称这一泛函为δ，换句话说，对一切$φ\in G$φ∈G，有$δ(φ)=φ(0)$δ(φ)=φ(0)，是$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)φ(x)dx=φ(0)$∫−∞∞​f(x)φ(x)dx=φ(0)的严格化。
Pf：δ为G上连续线性泛函不难验证，$φ_n\to φ$φn​→φ这意味着在任何有限区间上各阶导数（包括零阶导数）一致收敛，当然更有$φ_n(0)\to φ(0)$φn​(0)→φ(0)，即$δ(φ_n)\to δ(φ)$δ(φn​)→δ(φ)。

1.3 广义函数的导数

按照分部积分法，对通常的一阶连续可导函数f(x)，$φ\in G$φ∈G：$(f^{'},φ)=-(f,φ^{'})$(f′,φ)=−(f,φ′)
Def 定义广义函数$f$f的导数$f'$f′为下述的广义函数：$(f^{'},φ)=-(f,φ^{'})$(f′,φ)=−(f,φ′)
Pf 证明f是广义函数，即连续线性泛函。由于φ无限次可微的，$(f,φ^{'})$(f,φ′)有意义，而且$φ_n\to φ$φn​→φ意味着各阶导数都一致收敛于相应导数，自然也有$φ_n'\to φ'$φn′​→φ′，所以由$(f,φ^{'})$(f,φ′)是连续线性泛函知$(f^{'},φ)$(f′,φ) 也是连续线性泛函。
同样可定义二阶以至任意阶的导数。这样一来，基本空间中函数的优良性质就能够转移到广义函数上了。
性质：

2. Dirac-Delta函数

Dirac-Delta函数或简称δ函数（译名德尔塔函数、得耳他函数）在除零以外的点上都等于零，且其在整个定义域上的积分等于1。这不是一个严格意义上的函数，因为任何在扩展实数线上定义的函数，如果在一个点以外的地方都等于零，其总积分必须为零。

狄拉克δ函数或简称δ函数是在实数线上定义的一个广义函数或分布。只有在出现在积分以内的时候才有实质的意义。根据这一点，δ函数一般可以当做普通函数一样使用。它形式上所遵守的规则属于运算微积分的一部分，是物理学和工程学的标准工具。

δ函数可以定义为分布或测度。

2.1 测度视角

δ函数的测度定义：作为一个测度，δ函数取一个实线R的子集A，当0 ∈ A时输出δ(A) = 1，否则δ(A) = 0。如果把δ函数想象成位于0的一个理想化的质点，则δ(A)代表集合A所包含的质量。
推广：

函数相对于δ积分 测度定义：一个函数相对于δ的积分便可以定义为相对于这个测度的勒贝格积分。对于所有连续紧支撑函数f，这一积分满足：$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)δ(dx)=f(0)$∫−∞∞​f(x)δ(dx)=f(0)（由1.1节可得）

性质：测度δ相对于勒贝格测度不绝对连续，即存在E，L(E)=0，而$δ(E)\neq0$δ(E)​=0。它其实是一个奇异测度。因此，它并不具有拉东-尼科迪姆导数，也就是不存在满足以下条件的函数δ(虽然这种写法仍非常常见，但是它实际上只是一种方便的记号，而不是任何有良好定义的（黎曼或勒贝格）积分。)：

Dirac测度的分布函数定义：

2.2 分布视角

在分布理论中，一个广义函数并不像普通函数一样直接定义，而是在它相对其他函数积分的时候，以它如何影响这一积分来定义。沿着这条思路，只须定义δ函数相对某个足够“良好”的测试函数的“积分”就足够了。如果δ函数已经定义为测度，则这种积分可以是测试函数相对于这δ测度的勒贝格积分。

测试函数空间一般可包括所有R上的紧支撑光滑函数。作为一个分布，δ函数是在测试函数空间上的线性泛函，定义为$δ(φ)=φ(0)$δ(φ)=φ(0)。

δ函数是分布
若要使δ成为一个正式的分布，它必须要在测试函数空间上相对某个合适拓扑为连续的

在测试函数空间上的线性泛函S要能够良好定义一个分布，其必要和充分条件是，对于每个正整数N，有整数$M_N$MN​和常数$C_N$CN​，使得对每个测试函数φ，以下不等式都成立：

当S就是δ分布时，$C_N$CN​ = 1，$M_N$MN​ = 0对于所有N，就能满足这条不等式。因此，δ是级数为零的分布。它也是一个紧支撑分布，其支撑集是{0}