1. 复数矩阵
复向量
Z
=
[
z
1
z
2
z
3
z
4
⋯
]
Z=\begin{bmatrix} z_1\\z_2\\z_3\\z_4\\ \cdots \end{bmatrix}
Z=
z1z2z3z4⋯
复向量的模长
∣
z
∣
=
z
‾
⊤
z
=
[
z
‾
1
z
‾
2
z
‾
3
]
[
z
1
z
2
z
3
]
\lvert z\rvert=\overline z^{\top}z= \begin{bmatrix} \overline z_1\overline z_2\overline z_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1\\z_2\\z_3 \end{bmatrix}
∣z∣=z⊤z=[z1z2z3]
z1z2z3
内积
y
⊤
x
=
[
y
‾
1
y
‾
2
y
‾
3
]
[
x
1
x
2
x
3
]
y^{\top}x= \begin{bmatrix} \overline y_1\overline y_2\overline y_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix}
y⊤x=[y1y2y3]
x1x2x3
实对称矩阵
A
=
A
⊤
A=A^{\top}
A=A⊤
复对称矩阵
A
=
A
‾
⊤
A=\overline A^{\top}
A=A⊤
如
[
2
3
−
i
3
+
i
5
]
\begin{bmatrix} 2 & 3 - i \\3 + i & 5 \end{bmatrix}
[23+i3−i5]
垂直
q
1
q
2
q
3
⋯
q
n
q
‾
i
⊤
q
j
=
{
0
i
≠
j
1
i
=
j
q_1\ q_2\ q_3\ \cdots q_n\\ \overline q_i^{\top}q_j= \begin{cases} 0 \quad i \ne j \\1\quad i = j \end{cases}
q1 q2 q3 ⋯qnqi⊤qj={0i=j1i=j
复正交矩阵
Q
‾
⊤
Q
=
I
\overline Q^{\top}Q=I
Q⊤Q=I
2. 快速傅里叶变换
F n = [ 1 1 1 ⋯ 1 1 ω ω 2 ⋯ ω n − 1 ⋮ ⋯ 1 ω n − 1 ω 2 ( n − 1 ) ⋯ ω ( n − 1 ) ( n − 1 ) ] F_n= \begin{bmatrix} 1 &1 & 1 & \cdots &1\\ 1 & \omega & \omega^2 & \cdots &\omega^{n-1}\\ \vdots &\cdots\\ 1 & \omega^{n-1} & \omega^{2(n-1) } & \cdots & \omega^{(n-1)(n-1)} \end{bmatrix} Fn= 11⋮11ω⋯ωn−11ω2ω2(n−1)⋯⋯⋯1ωn−1ω(n−1)(n−1)
F n ( i , j ) = w i j , ω n = 1 ω = e i 2 π n = cos 2 π n + i sin 2 π n F_n(i,j)=w^{ij},\omega^{n}=1\\ \omega=e^{i\frac{2 \pi}{n}}=\cos \frac{2\pi}{n}+i\sin \frac{2\pi}{n} Fn(i,j)=wij,ωn=1ω=