箱形图定义
箱形图(Box-plot)是统计学中一种常见的统计数图,由于其图形与箱子类似而得名,所以又有"箱线图"、"盒须图"、"盒式图"等名称。箱形图可以统计出单变量数据的离散程度,将数据的离散程度以及分布区间清晰直观地表现出来,同时可以突出异常数据值。箱形图作为一种重要的统计图表,在众多的学科和领域中都有着越来越多的应用。
它由五个数值点组成：最小值(min)，下四分位数(Q1)，中位数(median)，上四分位数(Q3)，最大值(max)。也可以往盒图里面加入平均值(mean)。由于现实数据中总是存在各式各样地“脏数据”，也成为“离群点”，于是为了不因这些少数的离群数据导致整体特征的偏移，将这些离群点单独汇出，而盒图中的胡须的两级修改成最小观测值与最大观测值。这里有个经验，就是最大(最小)观测值设置为与四分位数值间距离为1.5个IQR(中间四分位数极差)。
分位数
概率分布的分位数（分为点）
定义：分位数指的就是连续分布函数中的一个点，这个点对应概率p。若概率0<p<1，随机变量X或它的概率分布的分位数Za，是指满足条件p(X≤Za)=α的实数
四分位数
四分位数（Quartile），即统计学中，把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的得分就是四分位数。
第一四分位数 (Q1)，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字。
第二四分位数 (Q2)，又称“中位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第50%的数字。
第三四分位数 (Q3)，又称“较大四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第75%的数字。
第三四分位数与第一四分位数的差距又称四分位距（InterQuartile Range,IQR）。
首先确定四分位数的位置：
Q1的位置= (n+1) × 0.25
Q2的位置= (n+1) × 0.5
Q3的位置= (n+1) × 0.75
n表示项数
对于四分位数的确定，有不同的方法，另外一种方法基于N-1 基础。即
Q1的位置=（n-1）x 0.25
Q2的位置=（n-1）x 0.5
Q3的位置=（n-1）x 0.75
正态分布
正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
正态分布以均数为中心，左右两侧对称，靠近均数两侧的频数较多，而距均数两侧较远处，频数逐渐减少，形成钟型分布。
箱形图特点
用箱线图识别异常值的好处：
一批数据中的异常值是值得关注的，我们通过分析异常值产生的原因，往往能够发现解决问题的机会。虽然箱线图判断异常值的方法看起来有一定的任意性，但经验表明其在实际工作中具有较大的实用价值，其在处理需要特别注意的数据方面表现不错。它可以不受异常值的影响，能够稳定地描绘出数据的离散分布情况，同时也利于数据清洗。
1. 观察数据的总体状态
这也是箱线图最常用的作用，从中我们可以观察到数据的分位数、中位数及平均值等统计信息，并可以根据中位数和平均值的相对位置大致判断数据的分布形态。
2.识别数据中的异常值
在箱线图中，上图中的下边界和上边界也成为内限，此外箱线图还有外限（Q1－3IQR和Q3+3IQR），箱线图上，超过内限的数据都被认为是异常值，其中在内限和外限之间的数据被称作温和异常值（mild outliers），在外限之外的数据被称为极端异常值(extreme outliers)。
3、连续型数据：在一定区间内可以任意取值的变量叫连续变量，其数值是连续不断的。例如，生产零件的规格尺寸，人体测量的身高、体重等，其数值只能用测量或计量的方法取得。可视化这类数据的图表主要有箱形图和直方图。
4、离散型数据：数值只能用自然数或整数单位计算的则为离散变量。例如，企业个数，职工人数，设备台数等，只能按计量单位数计数，数值一般用计数方法取得。大多数图表可视化的都是这类数据，比如柱状图、折线图等。
应用场景：学生成绩分布情况
分析不同学年、不同科目的学生成绩也是箱线图的常见应用场景。下图中我们可以看到学生的英语成绩相对其它科目普遍较好，而数学则大部分都在80分以下。
