一阶逻辑的语法及语义
模型 解释
命题逻辑里面的模型是：
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一阶逻辑里面语句的符号：
一阶逻辑里面可能元素有哪些东西？
一阶逻辑的可能世界里面， 包含对象， 关系元素。
要定义一阶逻辑的模型， 回到上诉三个问题， 左边有什么？右边有什么？
FOL一阶逻辑的模型
- 包含对象
- 对象之间有关系 ， 关系使用元组形式表示， 还有函数。
FOL逻辑的符号
个体常元： 可能世界里面具体的对象
谓词：用来讲关系 ，用谓词描述关系
函词： 函数，
函词和谓词之间有时候可以转换，又有区别，比如例子：
一阶函数的模型， 包含一组对象， 以及一个解释。
：两个。
因为右边已经固定了 ，由前三行确定 。 其实这就是问有多少种解释， 右边固定了， 左边也固定了 ，问有多少种解释。
首先， mother谓词智能解释成关系 mother{a,b} , 这两个常量符号 sucie , bob , 都既可以解释成a 也可以解释成b.
这样的模型， 有多少个可能的模型， 就是说解释有4个， 就有4个可能的模型。
下一个例子：
命题逻辑里面讲过蕴含： P(A),P(B) 蕴含？ 任意x P(X), 右边这条语句在所有使得左边为真的情况（模型）下都为真。
如果说蕴含不成立，需要找到一个反例， 这个模型使得左边为真， 右边为假， 现在尝试找到这样一个模型， 要找到一个反例的模型， 首先要说清楚 ，对象集合是什么。？
假设对象集合里面有三个对象， 其中， a 和b 解释成三个对象中的两个。
找不到， 所以就得不出 任意x P(X)这样的结论。
讲蕴含的时候讲过若干种方法：
1、 模型检验
2、逻辑等价
3、推理规则
先看模型检验： 思想是， 把所有模型枚举出来， 在每一个模型下都成立
在命题逻辑里面可以枚举， 但是一阶逻辑里面不行， 因为模型太大。
例如， 模型域里面有6个对象， 语句有两个常量， 1个二元关系。
对象为1， 的情况， 有两个常量， 只能解释到同一个对象 ， 圆圈外面是逻辑语句。 对象自己和自己是没有关系的。
3）如果对象集合里面有两个对象， 可以看里面到底有多少个模型？
这些模型的数量为2 的时候 4 。
什么是项： 常量符号， 对象， 变量， 项在映射的左边，对象在映射的右边
复合语句是 原子语句用逻辑连接词连在一起。
全称量词 与 存在量词
逻辑连接词 ： 
如何确定存在量词 和全称量词的真值
把所有对象都带进去，
假设对象集合有两个对象， 这条语句消去全称量词 ， 它等于什么？ 等价于 把 John 带入得到一条语句， Micheal 带入得到一条语句， 合在一起。
通常蕴含量词 ， 是和 全称量词一起用， 存在量词和合取一起用。
存在量词和全称量词之间有关系。
1） 两个全称量词 x , y ， 交换是否正确 ，如果把x, y ， 看做坐标轴， 所以这二者是同一件事情。
2） 存在x , 存在y , 是相同的， 表达意思一致。
3） 不是相同的， 例如， 任意x存在y , 和 存在x 任意y , 前者， 任何人都存在mother , 存在x , 是任何人的mother 。
也就是两个连续的全称量词和存在量词的顺序是可以交换的， 但是存在量词和全称量词连续不可交换。
全称量词和存在量词之间可以相互转换：在全称量词和存在量词前面各加一个否定。
表示两个项指代同一对象
项： 常量、变量、函数（函词）
这就是讲的， R J 两个项指代同一个对象 ： 、
使用等词描述， 比如Father (John) = Henry , Father ， Henry 都被解释为一个对象。
解释为同一个对象。
Richard , 有两个兄弟 ， 两个兄弟x,y ， 存在x, y， 使得 X是Richard 是兄弟， Y 和Richard 是兄弟， X he Y 可以解释为同一个人， 如果X和Y 指代为同一个对象， Richard 就是一个兄弟， 所以要加上 X，Y不相等。
如果去掉At least ， 就是说现在 ， Richard 只有两个兄弟， 如何描述？
有一个办法可以降低这个的复杂程度 ， 需要设计一种新的语义 ，这个是在一阶逻辑的语义下表示的 ， 现在用一种新的语义： 数据库语义。
没有出现的原子语句 ， 知识库里面没有讲到的， 都为假， 这个假设被称为， 封闭世界假设。
就是说有多少个常量符号 就有多少个对象。
这三个约定下面， 这样的语义称为数据库语义。
这个数据库语义和一阶逻辑的语义明显不同， 此时， 每个常量符号指代不同的对象， John , Richard ， Geoffrey, Richard 。
这里面只出现了三个常量符号， 总共就三个对象。
其他没有出现的语句都为假， 都没出现。
使用一阶逻辑
讲命题逻辑是， 对知识库的操作有 TELL ASK ，
一阶逻辑里面多了ASKVARS : 什么样的X使得ASKVARS 为真？
亲属关系域
规定好了一阶逻辑语句可以使用这些符号
如果对母亲下定义， 这里面的逻辑连接词是什么？注意Mother 是一个函数 ， female , 和parent , 都是二元谓词。
会不会用到等词？mother 是一个函数， 函数的结果是一个什么东西？
注意， 开始确定什么作为一元谓词， 二元谓词， 函数， 是我们自己规定的。
husband 是谓词， 指的是， h 是male , h 是w 的Spouse .
前面的一些公式是定义， 公理， 有时候对于一些概念无法进行准确的定义， 比如我们不需要对person 进行完整的定义， 但是我们应该写出每个人都具有的属性。
如果说X是一个人， 那么他具备哪些属性？
或者说， X满足什么条件后， 他是一个人。
在这样的定义下， 右边的属性比双向蕴含的属性要少， 反过来再第二行， 这里面的约定比双向蕴含的条件要多一些 。
我们可以规定两个个体之间的关系。
公理放到知识库里面， 在知识库里面加上公理， 得不到期望的答案， 这说明了， 知识库里面的公理不充分。
自然数
1、 0 是自然数
2、如果N是自然数， 那么N的后继也是自然数 。
需要对后继函数约束。
3、任何函数的后继都不等于0
4、 N不等于m , 那么他们的后继也不一样
我们使用后继函数定义加法， m 是自然数， n 是自然数， m 的后继加上n = m + N 的后继。
5、 加号写到前面， 可以使用中缀表示法：
对自然数的定义， 可以
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练习 8.3 8.4
什么叫有效？ 那么这条语句是否在每一个模型下都为真呢？ 这里的等号， 在前面讲， 指代统一的对象。
8.4 把上面的语句改成全称量词。
可以加入一个常量带入， ba x y z 分别替换成一个常量， 由这个语句可以得到什么呢？
可以得到非
b. Joe 是个演员， 但他还有另外一个工作。
