连续信号（五） | 非周期信号的频谱分析 | 从傅里叶级数到傅里叶变换 + 非奇异信号的频谱

非周期信号的频谱分析

非周期信号可以看作为周期是无穷大的周期信号，从这一思想出发，可以在周期信号频谱分析的基础上研究非周期信号的频谱。在讨论矩形脉冲信号的频谱时，我们以及指出，当$\tau$τ不变而增大周期$T_0$T0​时，随着$T_0$T0​的增大，谱线将越来越密，同时谱线的幅度将越来越小。如果$T_0$T0​趋于无穷大时，则周期矩形脉冲信号将演变成非周期的矩形脉冲信号，可以预料，此时谱线会无限密集而演变成为连续的频谱，但与此同时，谱线的幅度将趋于零而变成无穷小量。为了避免在一系列无穷小量中讨论频谱关系，考虑$T_0X(nw_0)$T0​X(nw0​)这一物理量，由于$T_0$T0​因子的存在，克服了$T_0$T0​对$X(nw_0)$X(nw0​)的影响。这时有$T_0X(nw_0)=\frac{2\pi X(nw_0)}{w_0}$T0​X(nw0​)=w0​2πX(nw0​)​,即$T_0X(nw_0)$T0​X(nw0​)含有单位角频率所具有的复频谱的物理意义，故称为频谱密度函数，简称为频谱。

（一）从傅里叶级数到傅里叶变换

现在按上述思想建立非周期信号的频谱表示。考虑如下图所示的一个一般的非周期信号$x(t)$x(t)，它具有有限持续期，即$|t|>T_1$∣t∣>T1​时，$x(t)=0$x(t)=0。从这个非周期信号出发，构造一个周期信号$\hat x(t)$x^(t)，使$\hat x(t)$x^(t)是$x(t)$x(t)进行周期为$T_0$T0​的周期性延拓的结果。

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对于周期信号$\hat x(t)$x^(t)，可以展开成指数形式的傅里叶级数
$\hat x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat X(nw_0)e^{jnw_0t} \tag{1}$x^(t)=n=−∞∑∞​X^(nw0​)ejnw0​t(1)
其中
$\hat X(nw_0)=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}\hat x(t)e^{-jnw_0t}dt$X^(nw0​)=T0​1​∫−2T0​​2T0​​​x^(t)e−jnw0​tdt
考虑$T_0\hat X(nw_0)$T0​X^(nw0​)，并且由于在区间$-\frac{T_0}{2}\leq t\leq \frac{T_0}{2}$−2T0​​≤t≤2T0​​内$\hat x(t)=x(t)$x^(t)=x(t)，则
$T_0\hat X(nw_0)=\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}x(t)e^{-jnw_0t}dt \tag{2}$T0​X^(nw0​)=∫−2T0​​2T0​​​x(t)e−jnw0​tdt(2)
当$T_0\to \infty$T0​→∞时，$\hat x(t)\to x(t),\hat X(nw_0)\to X(nw_0),w_0\to dw,nw_0\to w(连续量)$x^(t)→x(t),X^(nw0​)→X(nw0​),w0​→dw,nw0​→w(连续量)，$T_0X(nw_0)$T0​X(nw0​)成为连续的频谱密度函数，记为$X(w)$X(w)，式（2）变为
$X(w)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jwt}dt \tag{3}$X(w)=∫−∞∞​x(t)e−jwtdt(3)
而式（1）变为
$x(t)=lim_{T_0\to\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat X(nw_0)e^{jnw_0t}=lim_{T_0\to\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}T_0\hat X(nw_0)e^{jnw_0t}\frac{1}{T_0} \\ =lim_{T_0\to\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}T_0\hat X(nw_0)e^{jnw_0t}w_0$x(t)=limT0​→∞​n=−∞∑∞​X^(nw0​)ejnw0​t=limT0​→∞​n=−∞∑∞​T0​X^(nw0​)ejnw0​tT0​1​=limT0​→∞​n=−∞∑∞​2π1​T0​X^(nw0​)ejnw0​tw0​
显然有
$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{jwt}dw \tag{4}$x(t)=2π1​∫−∞∞​X(ω)ejwtdw(4)
式（3）和式（4）构成了傅里叶变换对，通常表示成
$F[x(t)] =X(w) \quad F^{-1}[X(w)]=x(t)$F[x(t)]=X(w)F−1[X(w)]=x(t)
式（3）为傅里叶变换式，它将连续时间函数$x(t)$x(t)变换为频率的连续函数$X(w)$X(w)，因此$X(w)$X(w)称为$x(t)$x(t)的傅里叶变换。如前所述，$X(w)$X(w)是频谱密度函数，为一复函数，即$X(w)=|X|e^{j\varphi(w)}$X(w)=∣X∣ejφ(w)，其模$|X(w)|$∣X(w)∣称为幅度频谱，幅角$\varphi(w)$φ(w)称为相位频谱，它在频域描述了信号的基本特征，因而是非周期信号进行频域分析的理论依据和最基本的公式。而式（4）为傅里叶反变换式，它把连续频率函数$X(w)$X(w)变换为连续时间函数$x(t)$x(t)，表明一个非周期信号是由频率为无限密集，幅度$X(w)(\frac{dw}{2\pi})$X(w)(2πdw​)等于无限小的无限多的复指数信号$e^{jwt}$ejwt线性组合而成。

式（4）也可以写成三角形式
$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(w)e^{jwt}dw=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(w)|e^{j[wt+\varphi(w)]}dw \\ =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(w)|cos[wt+\varphi(w)]dw+\frac{j}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(w)|sin[wt+\varphi(w)]dw$x(t)=2π1​∫−∞∞​X(w)ejwtdw=2π1​∫−∞∞​∣X(w)∣ej[wt+φ(w)]dw=2π1​∫−∞∞​∣X(w)∣cos[wt+φ(w)]dw+2πj​∫−∞∞​∣X(w)∣sin[wt+φ(w)]dw
由于$|X(w)|$∣X(w)∣是w的偶函数，$\varphi(w)$φ(w)是w的奇函数，故上式的第一个积分的被积函数是w的偶函数，第二个积分的被积函数是w的奇函数，因此有
$x(t)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}|X(w)|cos[wt+\varphi(w)]dw$x(t)=π1​∫0∞​∣X(w)∣cos[wt+φ(w)]dw
表明一个非周期信号包含了频率从零到无限大的一切频率的余弦分量，而各分量的振幅$\frac{1}{\pi}|X(w)|dw$π1​∣X(w)∣dw是无穷小量，因此与周期信号不同，其频谱不能用幅度表示，而用频谱密度函数来表示，$|X(w)|$∣X(w)∣可以看作为单位频率的振幅。

上面傅里叶变换的推导是由傅里叶级数演变来的，可以预料，一个函数$x(t)$x(t)的傅里叶变换是否存在应该看它是否满足狄利赫里条件，现在重新列出任意非周期函数$x(t)$x(t)存在傅里叶变换$X(w)$X(w)的狄利赫里条件如下：

1）$x(t)$x(t)在无线区间内是绝对可积的，即
$\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|dt<\infty$∫−∞∞​∣x(t)∣dt<∞
2）在任意有限区间内，$x(t)$x(t)只有有限个不连续点，在这些点上函数取有限值。

3）在任意有限区间内，$x(t)$x(t)只有有限个极大值和极小值。

上述条件只是充分条件，倘若在变换中可以引入冲激函数或极限处理，那么在一个无限区间内不绝对可积的信号也可以认为具有傅里叶变换。

（二）常见非奇异信号的频谱

1. 矩形脉冲信号

$g(t)= \begin{cases} E & |t|<\frac{\tau}{2}\\ 0 & |t|>\frac{\tau}{2} \end{cases}$g(t)={E0​∣t∣<2τ​∣t∣>2τ​​

式中，E为脉冲幅度；$\tau$τ为脉冲宽度

其傅里叶变换为
$X(w)=\int_{-\infty}^{\infty}g(t)e^{-jwt}dt=\int_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}Ee^{-jwt}dt=E\tau Sa(\frac{w\tau}{2})$X(w)=∫−∞∞​g(t)e−jwtdt=∫−2τ​2τ​​Ee−jwtdt=EτSa(2wτ​)
因为$X(w)$X(w)为一实函数，通常可用一条$X(w)$X(w)曲线同时表示幅度频谱和相位频谱，如图所示，

与周期矩形脉冲的频谱图相比可以看出，单矩形脉冲的频谱$X(w)$X(w)与周期矩形脉冲频谱$X(nw_0)$X(nw0​)的包络线形状完全相同，这正是由于将非周期的单矩形脉冲看作为周期是无穷大的周期矩形脉冲，从而其频谱由周期矩形脉冲的离散频谱演变为连续频谱的结果。另一方面，$X(w)$X(w)是$X(nw_0)$X(nw0​)乘上因子$T_0$T0​的结果，这是由于两者的不同定义决定的。

由于单脉冲信号与周期性脉冲信号的频谱存在上述联系，所以周期信号频谱的某些特点在单脉冲信号中仍有保留。单脉冲信号的频谱也具有收敛性，它的大部分能量集中在一个有限的频率范围内，常取从零频率到第一零值频率之间的频段为信号的频率宽度$w_b$wb​，即$w_b=\frac{2\pi}{\tau}$wb​=τ2π​.

显然，矩形脉冲越窄，它的频带宽度越宽。

2. 单边指数信号

$x(t)= \begin{cases} e^{-at} & t>0,a>0 \\ 0 & t<0 \end{cases}$x(t)={e−at0​t>0,a>0t<0​

其傅里叶变换为
$X(w)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jwt}dt=\int_0^{\infty}e^{-at}e^{-jwt}dt=\frac{1}{a+jw}$X(w)=∫−∞∞​x(t)e−jwtdt=∫0∞​e−ate−jwtdt=a+jw1​
幅频和相频分别为$|X(w)|=\frac{1}{\sqrt{a^2+w^2}}$∣X(w)∣=a2+w2​1​和$\varphi(w)=-arctan(\frac{w}{a})$φ(w)=−arctan(aw​)

3. 双边指数信号
   $x(t)=e^{-a|t|} \quad a>0$x(t)=e−a∣t∣a>0

傅里叶变化为
$X(w)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a|t|}e^{-jwt}dt=\int_{-\infty}^0e^{-at}e^{-jwt}dt+\int_0^{\infty}e^{at}e^{-jwt}dt = \frac{2a}{a^2+w^2}$X(w)=∫−∞∞​e−a∣t∣e−jwtdt=∫−∞0​e−ate−jwtdt+∫0∞​eate−jwtdt=a2+w22a​
$X(w)$X(w)是实数，$\varphi(w)=0$φ(w)=0，如下图。

4. 双边奇指数信号及其频谱

$x(t)= \begin{cases} -e^{at} & t<0,a>0 \\ e^{-at} & t>0,a>0 \end{cases}$x(t)={−eate−at​t<0,a>0t>0,a>0​

其傅里叶变换
$X(w)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jwt}dt=\int_{-\infty}^0(-e^{at}e^{-jwt})dt+\int_0^{\infty}e^{-at}e^{-jwt}dt = -j\frac{2w}{a^2+w^2}$X(w)=∫−∞∞​x(t)e−jwtdt=∫−∞0​(−eate−jwt)dt+∫0∞​e−ate−jwtdt=−ja2+w22w​
其幅频和相频分别为
$|X(w)|=\frac{2|w|}{a^2+w^2}$∣X(w)∣=a2+w22∣w∣​
和
$\varphi(w)= \begin{cases} \frac{\pi}{2} & w<0 \\ -\frac{\pi}{2} & w>0 \end{cases}$φ(w)={2π​−2π​​w<0w>0​