python实现数值分析之龙贝格求积公式

复合梯形公式的提出：
1.首先，什么是梯形公式：

梯形公式表明：f(x)在[a,b]两点之间的积分（面积），近似地可以用一个梯形的面积表示。
2.显然，这个梯形公式对于不同的f(x)而言，其代数精度不同。为了能适合更多的f(x)，我们一般使用牛顿-科特斯公式其中比较高次的公式来进行数值求积。但高次的缺陷是当次数大于8次，求积公式就会不稳定。因此，我们用于数值积分的牛顿-科特斯公式通常是一次的梯形公式、二次的辛普森公式和4此的科特斯公式。
辛普森公式：

科特斯公式：

3.牛顿-科特斯公式次数高于8次不能用，但是低次公式又精度不够。解决办法就是使用：复合梯形求积公式。复合求积公式就是在区间[a,b]上划分n格小区间。一个大区间[a,b]上用一次梯形公式精度不够，那么在n个小区间都使用梯形公式，最后将小区间的和累加起来，就可以得到整个大区间[a,b]的积分近似值。
a = x0 < x1 <x2 …<xn-1 < xn =b

令Tn为将[a,b]划分n等分的复合梯形求积公式，h =(b-a)/n为小区间的长度。h/2类似于梯形公式中的（b-a）/2
注意：这里的k+1是下标

通过研究我们发现：T2n与Tn之间存在一些递推关系。
注意：这里的k+1/2是下标。并且其中的h/2是中的h是Tn(n等分中的h = (b-a)/n))

于是乎，我们可以一次推出T1,T2,T4,T8…T2n序列
引出这些之后，才是我们的主题：龙贝格求积公式
龙贝格求积公式的实质是用T2n序列构造，S2n序列，
再用S2n序列构造C2n序列
最后用C2n序列构造R2n序列。
编程实现，理解下面的几个公式即可。

python编程代码如下：

# coding=UTF-8
# Author:winyn
'''
给定一个函数，如：f(x)= x^(3/2），和积分上下限a,b，用机械求积Romberg公式求积分。

'''
import numpy as np


def func(x):
    return x**(3/2)

class Romberg:
    def __init__(self, integ_dowlimit, integ_uplimit):
        '''
        初始化积分上限integ_uplimit和积分下限integ_dowlimit
        输入一个函数，输出函数在积分上下限的积分

        '''
        self.integ_uplimit = integ_uplimit
        self.integ_dowlimit = integ_dowlimit



    def calc(self):
        '''
        计算Richardson外推算法的四个序列

        '''
        t_seq1 = np.zeros(5, 'f')
        s_seq2 = np.zeros(4, 'f')
        c_seq3 = np.zeros(3, 'f')
        r_seq4 = np.zeros(2, 'f')
        # 循环生成hm间距序列
        hm = [(self.integ_uplimit - self.integ_dowlimit) / (2 ** i) for i in range(0,5)]
        print(hm)
        # 循环生成t_seq1
        fa = func(self.integ_dowlimit)
        fb = func(self.integ_uplimit)

        t0 = (1 / 2) * (self.integ_uplimit - self.integ_dowlimit) * (fa+fb)
        t_seq1[0] = t0

        for i in range(1, 5):
            sum = 0
            # 多出来的点的累加和
            for each in range(1, 2**i,2):
                sum =sum + hm[i]*func( self.integ_dowlimit+each * hm[i])#计算两项值
            temp1 = 1 / 2 * t_seq1[i - 1]
            temp2 =sum
            temp =  temp1 + temp2
            # 求t_seql的1-4位
            t_seq1[i] = temp
        print('T序列：'+ str(list(t_seq1)))
        # 循环生成s_seq2
        s_seq2 = [round((4 * t_seq1[i + 1] - t_seq1[i]) / 3,6) for i in range(0, 4)]
        print('S序列：' + str(list(s_seq2)))
        # 循环生成c_seq3
        c_seq3 = [round((4 ** 2 * s_seq2[i + 1] - s_seq2[i]) / (4 ** 2 - 1),6) for i in range(0, 3)]
        print('C序列：' + str(list(c_seq3)))
        # 循环生成r_seq4
        r_seq4 = [round((4 ** 3 * c_seq3[i + 1] - c_seq3[i]) / (4 ** 3 - 1),6) for i in range(0, 2)]
        print('R序列：' + str(list(r_seq4)))
        return 'end'


rom = Romberg(0, 1)
print(rom.calc())