如何画一个简单的波特图（渐近线近似）？

如何画一个简单的波特图（渐近线近似）？

在工程上我们常见下图所示的波特图来描述一个系统的频率特性，通过零点和极点画出波特图我们可以得到系统是否稳定的结论。

首先讲一下人们为什么要使用波特图：
由于在研究一个模拟系统的频率相应时，信号的频率范围很宽，通常从HZ级到GHZ级，如果用线性线性坐标画系统函数的幅频特性和相频特性曲线，动态范围和精度之间的矛盾不可避免，因此使用对数坐标，将会压缩坐标，扩大观察的视野，解决了前述矛盾。

如上图所示，横坐标频率每增大一个单位，即表示频率增大10倍，就是我们常说的“10倍频程”。**应当注意的是，如果波特图具有负半轴，并不表示小于0的频率，而是表示为f小于1的频率。**如果需要小于0的频率特性，利用系统频率特性的共轭对称特性可以得到。
对于纵坐标而言，幅频特性曲线表示为dB，而相频特性依旧用°表示。

一般系统的系统函数为：

$H(j\omega) = H_{0} \frac{ \prod_{i=1}^{m} ({j\omega - z_{i}}) }{ \prod_{j=1}^{n} ({j\omega - p_{j}}) }$H(jω)=H0​∏j=1n​(jω−pj​)∏i=1m​(jω−zi​)​

$G(j\omega)=20log|H(j\omega)|$G(jω)=20log∣H(jω)∣ 归一化处理：

$=20log|H_0^*|+ \sum_{i=1}^{m}{20log|1 - \frac{j\omega}{z_i}|} - \sum_{j=1}^{n}{20log| 1 - \frac{j\omega}{p_j}|}$=20log∣H0∗​∣+∑i=1m​20log∣1−zi​jω​∣−∑j=1n​20log∣1−pj​jω​∣

$=20log|H_0^*|+ \sum_{i=1}^{m}{20log\sqrt{1+(\frac{\omega}{z_i})^2}} - \sum_{j=1}^{n}{20log \sqrt{ 1 + (\frac{\omega}{p_j})^2}}$=20log∣H0∗​∣+∑i=1m​20log1+(zi​ω​)2​−∑j=1n​20log1+(pj​ω​)2​

$\phi(\omega)=0° or -180° + \sum_{i=1}^{m}{arctan(\frac{-\omega}{z_i})} - \sum_{j=1}^{n}{arctan(\frac{-\omega}{p_j})}$ϕ(ω)=0°or−180°+∑i=1m​arctan(zi​−ω​)−∑j=1n​arctan(pj​−ω​)

由上面的公式可知，在对数域，系统的零极点幅频特性、相频特性都满足线性叠加关系。$log \omega=0$logω=0时的初始值由$\omega=1$ω=1状态下的幅度和相位决定。
首先考虑常数项$H_0^*$H0∗​，幅频特性为$20log|H_0|$20log∣H0​∣；当$H_0^*>0$H0∗​>0时，对相频特性的影响表现为0°，当$H_0^*<0$H0∗​<0时，对相频特性的影响表现为-180°。
接下来考虑零点叠加项的影响，幅频特性为$\sum_{i=1}^{m}{20log\sqrt{1+(\frac{\omega}{z_i})^2}}$∑i=1m​20log1+(zi​ω​)2​，当$\omega \ll z_i$ω≪zi​的时候，$\sqrt{1+(\frac{\omega}{z_i})^2}≈1=0 dB$1+(zi​ω​)2​≈1=0dB，当$\omega \gg z_i$ω≫zi​的时候，$\sqrt{1+(\frac{\omega}{z_i})^2}≈\frac{z_i}{\omega}=20log\frac{\omega} {z_i}dB$1+(zi​ω​)2​≈ωzi​​=20logzi​ω​dB，每10倍频程增加20 dB。因此可以用在$w_i$wi​处的拐点的渐近线表示，即斜率此时从0dB变为20 dB/10倍频（即每倍频程增加6 dB）。因为零点的叠加特性，当$w \gg z_n$w≫zn​时，斜率变为（n*20）dB / 10倍频。与横坐标的交点表示$|H(s)|=1=0dB$∣H(s)∣=1=0dB。
对于相频特性来说，当$\omega \ll z_i$ω≪zi​的时候，带来的相位改变为0°，在当$\omega = z_i$ω=zi​的时候，带来的相位改变为-45°（假设$w_i>0$wi​>0），当$w \gg z_n$w≫zn​时，带来的相位改变是-90°。（$w_i<0$wi​<0时符号发生变化）

极点与零点的符号相反，因此，每增加一个极点，幅频特性的斜率就要减少20 dB / 10倍频。相频特性的符号也与零点相反。