反馈系统的稳定性
反馈系统
反馈是控制系统中常见的一种模型，在电路领域，由于放大器和控制器十分相似，因此在放大电路中也常用到反馈。作为一种经典的模型，反馈能够带来很多好处，比如展宽带宽，降低输出阻抗等。但与此同时，它也会带来一些副作用。首先是增益的下降，这是众所周知的，且解决方法也很简单，多串联几个增益级即可。而另一个副作用则是降低环路稳定性，这就需要我们仔细分析放大器的稳定性，并根据其零极点分布图对放大器进行频率补偿。本文以具有两个极点的放大器为研究对象，这也是最常见的情况。
两级放大器的基本模型
两极点放大器的电路模型简化如下：
图1 两极点放大器的电路模型
如图1所示，两极点放大器由两个增益级构成，增益分别为A1和A2。由于一些非理想因素，放大器具有输出电阻和输入电容。因此分别用R1,R2表述其输出电容，而用C1和C2表述后一级放大器的输入电容和电路的负载电容。
下面我们写出该系统的传输函数：
显然，其具有两个极点，分别位于1/(R1C1)和1/(R2C2)处。并且这两个极点均为实数极点，因此其均位于实数轴上。根据上一节的内容可以想象，这个系统的阶跃响应是单调上升的，波特图是单调下降的。系统处于过阻尼状态，若两极点重合则处于临界阻尼状态。总之，无论参数如何调整，这套放大系统是稳定的。
加入负反馈后会发生什么
现在我们来对该系统加入负反馈：
图2 负反馈放大器结构
使用一个增益为β的放大器，将输出端的信号放大β倍后反相叠加到输入端。事实上这里的增益β通常是小于1的，所以这里说放大其实不如说是衰减。
此时，我们来解算一下该系统的传输函数：
传输函数的分母是一个多项式，因此这个系统稳定性如何，我们要考察一下它的根。考察分母为0时的二元一次方程的判决式：
可以看到这个判决式不一定总是大于0，因此系统可能处于欠阻尼状态。我们来看看它大于0的条件：
由此我们可以画出加入负反馈后的系统零极点根轨迹图：
图3 加入负反馈后极点根轨迹图
由图可以看出，随着β的增加，极点会向中心靠拢，达到临界状态后会再次分裂为两个复极点，此时系统陷入欠阻尼状态，稳定性下降。当然，我们也可以看到一些好的方面，比如主极点会向远方移动，这带来了带宽的展宽。但展宽到主极点和次主极点的中心位置后就不会继续了。极点分裂为复极点之后，其实部保持不变，虚部变大，这表现为建立时间保持不变，但调节速度会变快，同时最大过冲也会增加。
结尾
上述分析过程给我们了一个启示。若要在增加环路增益，即增加反馈深度的情况下还要保证系统稳定性较好（过冲小，尽量处于临界阻尼或稍微欠阻尼状态），应该让放大器的主极点和次主极点尽量相距远一些。如果要进行频率补偿，则应该将主极点拉近或将次主极点推远。密勒补偿就可以同时满足这两点，但密勒补偿要求被补偿的增益级增益要足够大，才能使得米勒效应显著。