瑞士数学家雅克·伯努利(Jacques Bernoulli,1654～1705)首次研究独立重复试验(每次成功率为p)。在他去世后的第8年(1713年)，他侄子尼克拉斯出版了伯努利的著作《推测术》。在书中，伯努利指出了如果这样的试验次数足够大，那么成功次数所占的比例以概率1接近p。 雅克·伯努利是这个最著名的数学家庭的第一代。在后来的三代里，一共有8到12个伯努利，在概率论、统计学和数学上做出了杰出的基础性贡献。
1. 伯努利分布
伯努利分布(Bernoulli distribution)又名两点分布或0-1分布，介绍伯努利分布前首先需要引入伯努利试验（Bernoulli trial）。
伯努利试验是只有两种可能结果的单次随机试验，即对于一个随机变量X而言：
伯努利试验都可以表达为“是或否”的问题。例如，抛一次硬币是正面向上吗？刚出生的小孩是个女孩吗？等等
- 如果试验E是一个伯努利试验，将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。
- 进行一次伯努利试验，成功(X=1)概率为p(0<=p<=1)，失败(X=0)概率为1-p，则称随机变量X服从伯努利分布。伯努利分布是离散型概率分布，其概率质量函数为：
2. 二项分布
二项分布(Binomial distribution)是n重伯努利试验成功次数的离散概率分布。
二项分布是指在只有两个结果的n次独立的伯努利试验中，所期望的结果出现次数的概率。在单次试验中，结果A出现的概率为p，结果B出现的概率为q，p+q=1。那么在n=10，即10次试验中，结果A出现0次、1次、……、10次的概率各是多少呢？这样的概率分布呈现出什么特征呢？这就是二项分布所研究的内容。
如果试验E是一个n重伯努利试验，每次伯努利试验的成功概率为p，X代表成功的次数，则X的概率分布是二项分布，记为X~B(n,p)，其概率质量函数为
显然，
从定义可以看出，伯努利分布是二项分布在n=1时的特例
二项分布的典型例子是扔硬币，硬币正面朝上概率为p, 重复扔n次硬币，k次为正面的概率即为一个二项分布概率。
举个例子
https://zhuanlan.zhihu.com/p/24692791
3. 多项分布
多项式分布(Multinomial Distribution)是二项式分布的推广。二项式做n次伯努利实验，规定了每次试验的结果只有两个，如果现在还是做n次试验，只不过每次试验的结果可以有多m个，且m个结果发生的概率互斥且和为1，则发生其中一个结果X次的概率就是多项式分布。
扔骰子是典型的多项式分布。扔骰子，不同于扔硬币，骰子有6个面对应6个不同的点数，这样单次每个点数朝上的概率都是1/6（对应p1~p6，它们的值不一定都是1/6，只要和为1且互斥即可，比如一个形状不规则的骰子）,重复扔n次，如果问有k次都是点数6朝上的概率就是
多项式分布一般的概率质量函数为：
4. 贝塔分布
在介绍贝塔分布(Beta distribution)之前，需要先明确一下先验概率、后验概率、似然函数以及共轭分布的概念。
先验概率
先验概率就是事情尚未发生前，我们对该事发生概率的估计。利用过去历史资料计算得到的先验概率，称为客观先验概率； 当历史资料无从取得或资料不完全时，凭人们的主观经验来判断而得到的先验概率，称为主观先验概率。例如抛一枚硬币头向上的概率为0.5，这就是主观先验概率。
后验概率
后验概率是指通过调查或其它方式获取新的附加信息，利用贝叶斯公式对先验概率进行修正，而后得到的概率。
先验概率和后验概率的关系
关系
区别
一种表述：
- 先验概率不是根据有关自然状态的全部资料测定的，而只是利用现有的材料(主要是历史资料)计算的；
- 后验概率使用了有关自然状态更加全面的资料，既有先验概率资料，也有补充资料。
另外一种表述：
- 先验概率是在缺乏某个事实的情况下描述一个变量；
- 后验概率（Probability of outcomes of an experiment after it has been performed and a certain event has occured.）是在考虑了一个事实之后的条件概率。
似然函数
共轭分布(conjugacy)
后验概率分布函数与先验概率分布函数具有相同形式
好了，有了以上先验知识后，终于可以引入贝塔分布啦！！首先，考虑一点，在试验数据比较少的情况下，直接用最大似然法估计二项分布的参数可能会出现过拟合的现象（比如，扔硬币三次都是正面，那么最大似然法预测以后的所有抛硬币结果都是正面）。为了避免这种情况的发生，可以考虑引入先验概率分布
p
(
u
)
p(u)
p(u)来控制参数
u
u
u，防止出现过拟合现象。那么，问题现在转为如何选择
p
(
u
)
p(u)
p(u)！
二项分布的似然函数为（就是二项分布除归一化参数之外的后面那部分，似然函数之所以不是pdf，是因为它不需要归一化）：
5. 狄利克雷分布
狄利克雷分布(Dirichlet distribution)是多项分布的共轭分布，也就是它与多项分布具有相同形式的分布函数。
概率分布函数为：
6. 后记
本篇博文只是将伯努利分布、二项分布、多项分布、贝塔分布和狄利克雷分布做了简单的介绍，其中涉及到大量的概率基础和高等数学的知识，文中的介绍只是粗浅的把这些分布的概念作了大概介绍，没有对这些分布的产生历史做介绍。我想，更好的介绍方式，应是从数学史的角度，将这几项分布的发现按照历史规律来展现，这样会更直观、形象。后续再补吧！
https://blog.csdn.net/kingzone_2008/article/details/80584743
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