常用地图投影

区域图投影

指除世界地图之外的半球图、大洲图、国家图、省区图、地区图,即含区域比较大的中小比例尺地图。

1. 圆锥投影
2. 方位投影
3. 伪圆锥投影

世界地图投影

1. 多圆锥投影
2. 圆柱投影
3. 伪圆柱投影

地形图投影

1. 高斯－克吕格投影（简称高斯投影）
2. 等角圆锥投影
3. 通用横轴墨卡托投影

 

1.圆锥投影

基本概念

定义

设想用一个圆锥套在地球椭球体上,而把地球椭球上经纬网投影到圆锥面上,然后沿着某一条母线(经线)将圆锥面切开而展成平面,就得到圆锥投影。圆锥面和地球椭球体相切称为切圆锥投影,圆锥面和地球椭球相割时称为割圆锥投影。

分类

按圆锥面与地球椭球体的相对位置分 :

正轴圆锥投影

圆锥轴与地球椭球体的旋转轴相一致；

横轴圆锥投影

圆锥轴与地球椭球体的长轴相一致；

斜轴圆锥投影

圆锥轴既不和椭球体的旋转轴重合， 也不与它的长轴相重合。

按变形性质分

等角圆锥投影

正轴等角圆锥投影也称为Lambert正形投影。

等面积圆锥投影

正轴等面积割圆锥投影也称为Albers投影。

任意投影

特例是等距离投影。

正轴圆锥的基本公式

极坐标公式为：

ρ=f(ϕ)ρ=f(ϕ)

δ=α⋅λδ=α⋅λ

其中δδ表示两条经线夹角在平面上的投影。

αα表示δδ与λλ的比值，小于1

λλ表示地球椭球体上两经线的夹角。

直角坐标公式为:

x=ρs−ρcosδx=ρs−ρcosδ

y=ρsinδy=ρsinδ

其中ρsρs表示制图区域最低纬线的投影半径

在该投影中,经纬线投影后呈正交，故a、b就是是m、n, 即经纬线方向就是主方向。

 

正等角圆锥投影

基本公式：

根据等角条件   a=b或 m=n，得：

dρ/(Mdϕ)=αρ/rdρ/(Mdϕ)=αρ/r

dρ/ρ=αMdϕ/(Ncosϕ)dρ/ρ=αMdϕ/(Ncosϕ)

将M，N 公式带入上式，并取积分可得：

ρ=K/Uαρ=K/Uα

K,αα称为投影常数

U=tg(450+ϕ/2)/tge(450+ψ/2)U=tg(450+ϕ/2)/tge(450+ψ/2)

sinψ=esinϕsinψ=esinϕ

当ϕ=00ϕ=00时，K=ρρ，故K的几何意义是赤道的投影半径

正等角圆锥投影的一般公式如下：

δ=α⋅λδ=α⋅λ

ρ=K/Uαρ=K/Uα

U=tg(450+ϕ/2)/tge(450+ψ/2)U=tg(450+ϕ/2)/tge(450+ψ/2)

sinψ=esinϕsinψ=esinϕ

e=((a2−b2)/a2)1/2e=((a2−b2)/a2)1/2

 

x=ρs−ρcosδx=ρs−ρcosδ

y=ρsinδy=ρsinδ

m=n=αρ/r=αK/(rUα)m=n=αρ/r=αK/(rUα)

p=m2=n2=(αK/(rUα))2p=m2=n2=(αK/(rUα))2

ω=0ω=0

 

投影常数αα,K的确定方法

1. 单标准纬线正等角圆锥投影:指定制图区域中某一条纬线无长度变形。
2. 双标准纬线正等角圆锥投影:指定制图区域中两条纬线无长度变形。
3. 定域等面积正等角圆锥投影:使制图区域各部分面积变形的总和为零，即制图区域总面积和原来的大小保持不变。

下图分别对应上述123

 

双标准纬线正等角圆锥投影

经纬线的表象：其经线表现为辐射的直线束,纬线投影成同心圆圆弧。圆锥面与椭球面相割的两条纬线圈，称为标准纬线（ϕ1,ϕ2ϕ1,ϕ2)。

标准纬线的位置：

ϕ1≈ϕs+35′ϕ1≈ϕs+35′

ϕ2≈ϕN−35′ϕ2≈ϕN−35′

ϕsϕs:制图区域最南边的纬度

ϕNϕN:制图区域最北边的纬度

双标准纬线正等角圆锥投影投影公式

α=(lgr2−lgr1)/(lgU1−lgU2)α=(lgr2−lgr1)/(lgU1−lgU2)

K=(r1Uα1)/α=(r2Uα2)/αK=(r1U1α)/α=(r2U2α)/α

其中：
U1=tg(450+ϕ1/2)/tge(450+ψ/2)U1=tg(450+ϕ1/2)/tge(450+ψ/2)

sinψ1=esinψ1sinψ1=esinψ1

其他的公式同前。

投影变形分析

1. 角度没有变形,即投影前后对应的图形保持相似,故也可称为正形投影;
2. 两条标准纬线上没有任何变形;
3. 等变形线和纬线一致,同一条纬线上的变形处处相等；
4. 在同一经线上,两标准纬线外侧为正变形(长度比>1)，而两标准纬线之
5. 为负变形(长度比<1),因此变形较均匀,绝对值也较小;

6. 同一纬线上等经差的线段长度相等,两条纬线间的经线线段长度处处相等。

我国的1:100万地图采用该投影,为了提高精度,1:100万地图的投影按百万之一地图的纬度划分原则—从赤道00开始，纬差40一幅，从南向北共分成15个投影带，每个投影带单独计算，建立数学基础。由于采用分带投影，每带纬度较小，我国范围内的1：100万地图变形值几乎相等，其长度变形最大不超过0.03%,面积变形约为长度变形的2倍。

圆锥投影的变形分析及应用

在切圆锥投影中，标准纬线ϕ0ϕ0处的长度比n0=1n0=1,其余纬线长度比均大于1，并向南、北方向增加；

在割圆锥投影中，标准纬线ϕ1ϕ2ϕ1ϕ2处长度比n1=n2=1n1=n2=1，变形自标准纬线ϕ1ϕ2ϕ1ϕ2向内和向外增大，在ϕ1ϕ1和ϕ2ϕ2之间n<1,在ϕ1ϕ1和ϕ2ϕ2以外n>1。

从变形特点，可得出结论：

圆锥投影最适用于中纬度处沿纬线伸展的制图区域。

2.方位投影

定义：

采用平面作为投影面，将地球椭球上的经纬网投影到该平面上，它也是圆锥投影的一种特例。

分类：

按投影面与地球相对位置的不同

正轴方位投影

地轴与投影平面垂直。

横轴方位投影

地轴与投影平面平行

斜轴方位投影

地轴与投影平面斜交。

按透视关系

非透视方位投影

等角方位投影、等面积方位投影、任意方位投影（特例：等距离方位投影）

透视方位投影

按视点位置不同分为：
正射方位投影：视点位于离球心无穷远处
外心方位投影：视点位于离球心有限距离处
球面方位投影：视点位于球面上
球心方位投影：视点与球心重叠一致

 

变形分析及其应用

方位投影的等变形线呈圆形，即在正轴中与纬圈一致， 斜轴或横轴中与等高圈一致。

适用范围：最适宜于具有圆形轮廓的地区。

在两极地区，适宜用正轴方位投影。在赤道附近地区，适宜用横轴方位投影;其它地区用斜轴方位投影。

具体应用

等角方位投影

在欧州有些大比例尺地图的数学基础采用它；美国的UPS（Universal polar Stereographic)通用极球面投影，其实质是正轴等角割方位投影。

等面积方位投影

在小比例尺制图中，特别是东西半球图，应用得较多。

等距离方位投影

大多数世界地图集中的南北极图采用正轴等距离方位投影。

透视方位投影

球心投影：可用于编制航空图或航海图。
外心投影：在制作要求富有立体感的宣传鼓动图中应用较多。
正射投影：应用较少。

3.伪圆锥投影

伪圆锥投影定义：

是由法国彭纳（R.Bonne）于1752年设计的一种等积投影，故又称彭纳投影。

伪圆锥投影特点：

• *经线与*纬线是没有变形的；
• 纬线形状仍然保持和圆锥投影一样的同心圆弧；
• 经线均投影成对称于*经线的曲线；
• 该投影中，经纬线不正交。

 

伪圆锥投影应用：

常用于编制中纬地区小比例尺区域图，例如中国地图出版社出版的《世界地图集》中的亚洲政区图、英国《泰晤士地图集》中的澳大利亚与西太平洋地图。

4.多圆锥投影

多圆锥投影定义：

设想有许多圆锥与地球球面相切，并将球面的经纬网分别投影到这些圆锥面上，然后沿某一条母线将圆锥面剪开成平面，即得多圆锥投影。

描述

此投影的名称理解为“许多圆锥”。这是指其投影的方法。此方法对经线的形状产生影响。与其他圆锥投影不同，其中的经线是曲线而非直线。

投影方法

比常规圆锥投影复杂，但构造仍属简单。将无数个圆锥沿*子午线对齐放置并进行投影后得到的即为此投影。此投影获得的纬线不是同心圆弧。每条纬线都表示相切圆锥的底部。

接触线

许多线；投影中的所有纬线。

线性经纬网

投影的*子午线和赤道。

属性

形状

沿*子午线的局部形状没有变形。变形随着距*子午线距离的增加而增大；因此，东西方向的变形比南北方向的变形严重。

面积

面积的变形随着距*子午线距离的增加而增大。

方向

沿*子午线的局部角是准确的，其他位置的局部角则发生了变形。

距离

沿投影的纬线和*子午线的比例是准确的。沿经线的变形随着距*子午线距离的增加而增大。

局限性

在大比例尺地图中变形最小，例如地形地图方格，其中的经线和纬线在实际绘制中可以直线段表示。使用此类地图图幅生成地图库的方法并不可取，因为从多个方向连接各个地图图幅时，错误经过累积会显露出来。

用途和应用

用于从 1886 年到约 1957 年之间的 71/2 和 15 分的地形 USGS 四边形图幅。

此日期之后的一些新四边形图幅已经被错误地保存为多圆锥投影。东西方向美国国家平面坐标系的现有投影是兰勃特等角圆锥投影，而南北方向的美国区域投影是横轴墨卡托投影。

5.圆柱投影

圆柱投影基本概念：

根据特定的条件，将地球椭球面上的经纬线投影到圆柱面上，并沿圆柱母线切开展成平面，这种投影称为圆柱投影。

圆柱投影分类：

按变形性质分

等角圆柱投影,等面积圆柱投影和任意圆柱投影（特例：等距离圆柱投影)

按圆柱面与地球相对位置分

正圆柱投影
斜轴圆柱投影
横轴圆柱投影

正轴圆柱投影的一般公式

x=f(ϕ)x=f(ϕ)

y=α⋅λy=α⋅λ

m=dx/(Mdϕ)m=dx/(Mdϕ)

n=α/rn=α/r

p=a⋅b=m⋅n=αdx/(rMdϕ)p=a⋅b=m⋅n=αdx/(rMdϕ)

sinω/2=(a−b)/(a+b)=(m−n)/(m+n)sinω/2=(a−b)/(a+b)=(m−n)/(m+n)

或者：

tg(450+ω/4)=(a/b)1/2=(m/n)1/2tg(450+ω/4)=(a/b)1/2=(m/n)1/2

正轴等角圆柱投影（墨卡托投影）

公式：

x=α/modlgUx=α/modlgU

y=α⋅λy=α⋅λ

m=n=α/rm=n=α/r

p=m2p=m2

ω=0ω=0

其中mod=0.4342945

投影常数αα确定

令纬度ϕkϕk上的长度比nk=1nk=1

则

nk=a/rk=1nk=a/rk=1

α=rkα=rk

故

割圆柱投影中，α=rkα=rk

当ϕk=0ϕk=0时

切圆柱投影中，α=aα=a

等角航线（恒向线，斜向线）

是地面上两点之间的一条特殊的定位线，是两点间与所有经线处处成相同方位角的一条曲线。

等角航线在地图上的表象为两点之间的直线
tgα=(y2−y1)/(x2−x1)tgα=(y2−y1)/(x2−x1)

如图所示：

圆柱投影变形分析及其应用

适用范围：

低纬度处沿纬线延伸的地区。对于沿经线延伸的地区：采用横轴圆柱投影。

6.伪圆柱投影

伪圆柱投影概念：

伪圆柱投影是在圆柱投影基础上，规定纬线为平行直线，而经线则根据某些特定条件而设计成对称于*经线的各类曲线（多为正弦曲线或椭圆曲线）的投影。

伪圆柱投影类型：

等积伪圆柱投影（应用最多）、任意伪圆柱投影

其中有代表性的如下：

• 桑逊投影：适合编制位于赤道附近南北延伸的地图，例如非洲地图、南美洲地图等。
• 摩尔威特投影:用于编制世界地图或东西半球图。
• 古德投影：美国古德(J.P.Goode)于1923年提出了一种分瓣伪圆柱投影方法来绘制世界地图。

桑逊投影

将纬线设计成间隔相等的平行直线，经线为对称于*经线的正弦曲线，具有等积性质的伪圆柱投影。

摩尔威特投影

是一种等积性质的伪圆柱投影。

古德投影

将全制图区域根据需要，确定若干个*经线位置，然后进行分瓣投影。

古德投影优点

每瓣*经线两侧投影区域不至于过大，因此每瓣经线的弯曲度减少，变形也就减少。

7.高斯－克吕格投影（简称高斯投影）

高斯－克吕格投影（简称高斯投影）的概念

从几何概念上分析，它是一种横轴等角切圆柱投影。我们把地球看成是地球椭球体，假想用一个椭圆筒横套在其上，使筒与地球椭球的某一经线（称为*经线）相切，椭圆筒的中心轴位于赤道上，按等角条件将地球表面投影到椭圆筒上，然后将椭圆筒展开成平面。

 

高斯投影的基本条件

• *经线和赤道投影成垂直相交的直线
• 投影后没有角度变形，那么经纬线投影后仍正交
• *经线没有长度变形

投影的变形分析

其长度比的基本公式为：

μ=1+1/2cos2ϕ(1+η2)λ2+1/6cos4ϕ(2−tg2ϕ)λ4−1/8cos4ϕλ4μ=1+1/2cos2ϕ(1+η2)λ2+1/6cos4ϕ(2−tg2ϕ)λ4−1/8cos4ϕλ4

长度变形的规律是：

• *经线（λλ=0）上没有长度变形，即λλ=0，μμ=1
• 同一条纬线上，离*经线越远变形越大，即λλ增大，μμ也增大
• 在同一经线上,纬度越低，变形越大，即ϕϕ越小，μμ越大

投影分带的规定

在1：2.5万到1：50万时，6060分带

在大于1：1万地形图中：3030分带

6060分带法

从格林尼治零度经线起,自东半球向西半球,每经差60分为一个投影带,即东经0～6,6～12,12～18,….174～180,用阿拉伯数字1,2,3,4….60表示投影带号,全球共分为60个投影带。

东半球*经线的计算公式为:
L0=(6n−3)0L0=(6n−3)0

n表示投影带号，n<30

西半球*经线的计算公式为:
L0=(6n−3)0−3600L0=(6n−3)0−3600

n表示投影带号，n>30

3030分带法

从东经1030′1030′ 算起，自东半球向西半球每3030为一带，将全球划分为120个投影带，1030′−4030′1030′−4030′ ,4030′−7030′4030′−7030′….其*经线的位置为30,60,90,150…1800,−1770…−30,30,60,90,150…1800,−1770…−30,。

坐标网

经纬线网(又称为地理坐标网)

经线和纬线所构成的坐标网,它指示物体在地面上的地理位置。

方里网(直角坐标网)

平行于直角坐标轴的两组直线所构成的方里网格,每隔整公里绘出。在1：10万地形图上直接绘出。

1:5千～1:10万的地形图

经纬线只以图廓线的形式直接表现出来,并在图角处注出相应的度数,在内外图廓间还绘有加密经纬网的加密分划短线(称分度带)。

1:25万～1:100万的地形图

在图面上直接绘出经纬线网。
1:25万    △λ=15′△λ=15′  △ϕ=10′△ϕ=10′           
1:50万        30'      20' 
1:100万       1010       1010

方里网(直角坐标网)在≥1：10万的地形图上直接绘出 

我国地形图上方里网密度规定

比例尺     1:5千   1：1万   1：2.5万    1:5万      1:10万
图 上      20 cm    10cm      4cm        2cm        2cm                
实 地       1km      1km      1km        1km        2km

高斯-克吕格投影直角坐标网

1.坐标系的建立

以每个投影带*经线投影后的直线为X轴,赤道投影后的直线为y轴,其交点为原点。

为了保证y总是>0,将纵坐标轴向西平移500公里

图中A(-334,0),A'(334，0)移轴后,A点的坐标为(166,0), A'(834,0)

地图上所标出的x,y的值称为通用坐标

x = 3286330(m)         
y = 18 210420

在y坐标里18表示投影带号，210420表示实际坐标（加了500KM）

2.邻带方里网
为什么会产生邻带方里网？

 

原因：

高斯投影经线收敛于*经线--相邻带两幅图拼接在一起使用时--两带图幅坐标网之间产生一折角--为了使用方便--在本带某一范围内加绘邻带方里网。

加绘规定

1:2.5万--1:10万

每个投影带西边缘经差30'范围,需加绘前一带的方里网。

每个投影带东边缘一列1:5万(15'),一列1:2.5万(7.5 ')内需加绘东带（后一带）方里网。

1：5000 、1:1万

投影带西边缘经差7.5',即两列1:1万,4列1:5000图上需要加绘邻带方里网。

地图上邻带方里网的表示方法

在外图廓线外绘一短线段

8.等角圆锥投影

 

9.通用横轴墨卡托投影

通用横轴墨卡托投影(UTM)概念：

从几何意义看，UTM投影属于横轴等角割圆柱投影，割点一般选在*经线约±1˚40′。

 

基本公式：

直角坐标公式:

长度比公式:

投影变形分析及应用

1. *经线长度变形为-0.000 40
2. 两条割线上没有任何变形
3. 离这两条割线愈远则变形愈大。

该投影已被许多国家、地区和集团采用为地形图的数学基础，例如美国、日本、加拿大、泰国、阿富汉、巴西、法国、瑞士等约80个国家。