浅谈时间复杂度

1.时间复杂度是什么？

有人说，这还不简单，不就是在给定输入规模时，求所执行的基本操作数量吗？如下：

int n=10;
int count=0;
for(int i=0;i<n;i++){//循环次数
for(int j=0;j<n;j++){//执行深度
         count++;
   }
 }
//count=100

看到这个，时间复杂度无疑是O(n^2)，再看看下面的

int n=10;
int count=0;
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0;j<i;j++){
       count++;
   }
 }
//count=45

看到这个，时间复杂度也是O(n^2)，这里要出来一个概念，次数和时间复杂度的区别：

第一个程序运行的次数是100（n*n=n^2），第二个程序运行的次数是45（0+1+2+3+4+...........+n-1=n*(n-1)/2），时间复杂度一样的原因是：当n趋于无穷大时可忽略常数，-1，/2可忽略。但是时间复杂度是在次数的基础上计算出来的。而次数就是循环次数*执行深度。

2.什么是大O？

比如我说一个变量x,并且有x在[a,b]这个区间,就表示了上界是a下界是b，对于变量x的取值范围来说，最大不超过b,最小不小于a。在算法中，上界就是对于一种资源的限制最大不大于的值，下界就是对于这种资源的限制最小不小于的值。这里的资源可以是时间、空间、带宽……

所以当n趋于无穷时，O(2n^2)=O(n^2)，O(n*(n-1)/2)=O(n^2)，O(5n)=O(n)，O(5)=O(1)。

总结来说，大O表示算法执行的最低上界。

3.为什么要进行计算时间复杂度？

我们先来看张图：

浅谈时间复杂度

如果老板给你一个任务，让你对公司的账单从大到小进行排序，你可能会直接使用数据库自带的语句order by，的确，这是个好办法。如果你细致了解数据库，数据库的底层使用了B+树为数据建立了索引，时间复杂度明显降低。换个简单例子，如果老板让你把一堆数字进行排序，你可能最先想到选择排序，每次选择最小的数。老板说，这个太耗时了，你又会想到快速排序，选择一个基准数进行比较。老板又说，我给你的这些数基本有序，你又会想到插入排序，因为插入排序在基本有序的时候，算法复杂度接近O(n)。老板说，我还想快点，你想到了快速排序与插入排序的结合，等到快速排序排到很有序的时候，插入排序就有作用了。老板又说，我想在这些排序好的数字找到中间的数，这时候你可能想到，我直接数组[(0+n)/2]输出就行了，对的，因为数组本身就是一种很快的数据结构，相当于给每个数建立了索引，就可以直接取出数来，时间复杂度复杂度O(1)。

梳理一下：时间复杂度分别向O(n^2)，O(nlogn)，O(n)，O(nlogn)+O(n)，O(1)演变

复杂度	标记符号	描述
常量（Constant）	O(1)	操作的数量为常数，与输入的数据的规模无关。 n = 1,000,000 -> 1-2 operations
对数（Logarithmic）	O(log₂ n)	操作的数量与输入数据的规模 n 的比例是 log₂ (n)。 n = 1,000,000 -> 30 operations
线性（Linear）	O(n)	操作的数量与输入数据的规模 n 成正比。 n = 10,000 -> 10000 operations
平方（Quadratic）	O(n²)	操作的数量与输入数据的规模 n 的比例为二次平方。 n = 500 -> 250,000 operations
立方（Cubic）	O(n³)	操作的数量与输入数据的规模 n 的比例为三次方。 n = 200 -> 8,000,000 operations
指数（Exponential）	O(2ⁿ) O(kⁿ) O(n!)	指数级的操作，快速的增长。 n = 20 -> 1048576 operations

为什么要这样演变呢？

时间复杂度的演变，就是为了更快更好的解决问题，使其效率越来越高。

另外贴出问题规模与执行时间之间的关系图：

复杂度	10	20	50	100	1000	10000	100000
O(1)	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s
O(log₂(n))	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s
O(n)	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s
O(n*log₂(n))	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s
O(n²)	<1s	<1s	<1s	<1s	<1s	2s	3-4 min
O(n³)	<1s	<1s	<1s	<1s	20s	5 hours	231 days
O(2ⁿ)	<1s	<1s	260 days	hangs	hangs	hangs	hangs
O(n!)	<1s	hangs	hangs	hangs	hangs	hangs	hangs
O(nⁿ)	3-4 min	hangs	hangs	hangs	hangs	hangs	hangs

上面关于排序的优化的文章我在前面已经做出Java代码的演示，地址：从优化的角度谈谈排序

谢谢大家的阅读，博客不易，转载请注明地址。

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