基于张量网络的机器学习（七）

  现在让我们先解决一下上一次博客中提出的问题：

1. 斯密特分解时的系数矩阵中的元素是什么？怎么排列的？
     在对量子态作斯密特分解时，假如那个量子态的基态为L，每个基态的都为d维态矢，那么就会有d^L种可能，即d^L个系数，矩阵化的时候是矩阵化为一个d×d^L-1的矩阵，至于怎么排列，按顺序丢进去就好了。
   我们再回顾一下前面的斯密特分解的这个式子，其实很具有迷惑性，这个量子态有D个基态，这里的基态和斯密特分解前的基态是不一样的，这里的$\alpha$α可以取D个值，所以应当是指D个纠缠谱的奇异值，并非进行了D-1次奇异值分解，斯密特分解实际只是求解MPS过程中的一步，这样的斯密特分解还要进行多少次要依照MPS的长度而定，比如如果说明MPS的长度为D，那么的确是要进行D-1次奇异值分解（斯密特分解）。
   
2. 有关MPS态绕过“指数墙”的问题？
     在问题一中可以知道，“指数墙”问题是因为一个量子态可以有d^L种基态，也就是有这样一个指数级个数的参数，如果对一个量子态进行严格的MPS表示，假如MPS长度为L，最后得到的MPS态里面的每一个从左往右正交化的矩阵为：1×d，d×d²，……，d^L/2-1×d^L/2，d^L/2×d^L/2-1，……，d²×d，d×1，而如果设定一个截断维数$\chi$χ，上述矩阵的维就不会指数增长，而是：1×d，d×d²，d²×$\chi$χ，……，$\chi$χ×$\chi$χ，……，$\chi$χ×d²，d²×d，d×1，这种截断和纠缠熵的面积定律有关，故而有效。
3. 截断维数$\chi$χ是怎么确定的？
     截断维数$\chi$χ是预先设定好的。
4. 一个高阶张量矩阵化后的元素怎么排列的？
     如果是一个三阶张量，在前面的学习中，要让它矩阵化，我们需要固定两个维度（阶），然后将其平铺，如果是一个四阶张量，我们依旧是固定其中两个维度然后平铺，依次类推，更高阶的张量也是如此，我们知道，张量可以理解为多维数组，因为多维数组才能更直观表示高阶张量。至于是怎么排列的，其实重要的是找到一个“原点”，之所以会提出这个问题，一方面可以复习一下前面学到的，另一方面则是看一下这样一个“原点”和第一个问题是否会有一定的联系。

  接下来开始本次博客的正题，逐块时间演化算法（TEBD）。

一.TEBD

TEBD

  TEBD是一种基于矩阵乘积态的、近似收缩张量网络的数值算法，其基本思想是从张量网络边界一行一行或一列一列地收缩张量网络，现在给定一个????×????的张量网络（内部有????×????个张量），如图：

我们可以清晰看出内部张量的阶数，根据定义，我们可以把上面这个张量网络分为上半部分和下半部分，

最下面的那一层相当于一个长度为????的MPS，可记为|φ^D₀⟩ ,还可以看到，再往上两层的张量，我们可以把它们当做多体算符作用在|φ^D₀⟩上，最后下半部分整体收缩为一个|φ^D⟩ ，且：

然后上半部分是类似的我们设上半部分收缩为|φ^U⟩ ，最后求⟨φ^U|φ^D⟩ ，从而张量网络收缩计算变成了计算|φ^D⟩ 和|φ^U⟩，另外，上述的多体算符又叫做转移矩阵，这里的多体算符具有张量收缩的形式，这种形式称为矩阵乘积算符（matrix product operator, MPO），

TEBD算法

  由于TEBD基于MPS，所以每次收缩依旧会遇到辅助指标维度指数增长的问题，这也意味着需要MPS的最优裁剪，所以TEBD算法主要思路是先将对应边界的张量初始化为两个MPS，然后再将那些多体算符作用分别在这两个MPS上得到新的MPS，注意要先设定截断维数，如果MPS辅助指标维数超过了截断维数，那么就需要最优裁剪将辅助指标裁剪为截断维数，最后计算两个MPS态的内积，这看上去很简单，TEBD算法可以计算一维格点模型基态，其实这就是利用MPS求解基态，至于一维格点模型是什么，请听下回讲解。

二.提出问题

  现在让我们考虑以下问题：

1. 什么是纠缠熵面积定律？
2. 时间演化是什么？

下一次博客会探究一下如何使用MPS去求解基态或者说去计算物理系统的期望值，现在不清楚没关系，下次我会一一讲解。