1. 二次型
什么是二次型？
一个多项式里面只有平方项和交叉项
例如：
x
1
2
+
2
x
1
x
2
+
x
3
2
x_1^2+2x_1x_2+x_3^2
x12+2x1x2+x32
有常数项就一定不是二次型了
已知二次型，写出矩阵表达式
例如： x 1 2 + 2 x 1 x 2 + x 2 2 − x 2 x 3 + 3 x 3 2 − 2 x 1 x 3 x_1^{2}+2x_1x_2+x_2^{2}-x_2x_3+3x_3^{2}-2x_1x_3 x12+2x1x2+x22−x2x3+3x32−2x1x3
首先，平方项的系数放主对角线，交叉项的系数除以二，放对应位置，对称放
A
=
[
1
1
−
1
1
1
−
1
2
−
1
−
1
2
2
]
A=\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&1&-\frac{1}{2}\\-1&-\frac{1}{2}&2\end{bmatrix}
A=⎣⎡11−111−21−1−212⎦⎤
[
x
1
x
2
x
3
]
A
[
x
1
x
2
x
3
]
=
原
始
式
子
\begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=原始式子
[x1x2x3]A⎣⎡x1x2x3⎦⎤=原始式子
A A A我们叫做二次型矩阵，二次型矩阵是对称的，所以时刻记住 A T = A A^T=A AT=A
我们根据矩阵写二次型也可以的。
二次型表达式： f ( x ) = X T A X f(x)=X^TAX f(x)=XTAX
我们写二次型的第一步，先判断这个矩阵是不是对称矩阵
如果只有平方项的话，那么我们就叫做标准形
线性替换
对于二次型： f ( x ) = X T A X f(x)=X^TAX f(x)=XTAX
用
X
=
C
Y
X=CY
X=CY替换掉
例如：
已知
X
T
A
X
X^TAX
XTAX
(
C
1
Y
)
T
A
(
C
1
Y
)
(C_1Y)^TA(C_1Y)
(C1Y)TA(C1Y)
Z
T
(
C
1
C
2
)
T
A
(
C
1
C
2
)
Z
Z^T(C_1C_2)^TA(C_1C_2)Z
ZT(C1C2)TA(C1C2)Z
已知一个二次型： f ( x ) = X T A X f(x)=X^TAX f(x)=XTAX，A是对称矩阵， X = C Y X=CY X=CY，问 C T A C C^TAC CTAC是否对称？
Y T ( C T A C ) Y Y^T(C^TAC)Y YT(CTAC)Y
B
=
(
C
T
A
C
)
B=(C^TAC)
B=(CTAC)
B
T
=
C
T
A
C
=
B
B^T=C^TAC=B
BT=CTAC=B
所以B对称
合同关系
假设 A A A和 B B B是n阶方阵，存在可逆矩阵 C C C， C T A C = B C^TAC=B CTAC=B，则称 A ≃ B A\simeq B A≃B
C C C是一个可逆矩阵
关于合同的性质：
- A ≃ A A\simeq A A≃A，因为 E T A E = A E^TAE=A ETAE=A
- A ≃ B A\simeq B A≃B， B ≃ C B\simeq C B≃C， A ≃ C A\simeq C A≃C
- A ≃ B A\simeq B A≃B， B ≃ A B\simeq A B≃A
- A ≃ B A\simeq B A≃B，A和B可逆， A − 1 ≃ B − 1 A^{-1}\simeq B^{-1} A−1≃B−1
- A ≃ B A\simeq B A≃B， A T ≃ B T A^T\simeq B^T AT≃BT
假如
A
≃
B
A\simeq B
A≃B
r
(
A
)
=
r
(
B
)
r(A)=r(B)
r(A)=r(B)
左乘一个右乘一个可逆矩阵，秩不变
至此，我们看一下矩阵之间的关系：
- 等价：A和B是同型矩阵，存在可逆的PQ，使得 P A Q = B PAQ=B PAQ=B
- 相似：A和B是同阶方阵，存在可逆的P，使得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B
- 正交相似：A和B是同阶方阵，存在正交的P， P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B
- 合同：A和B是同阶方阵，存在可逆的P，使得 P T A P = B P^TAP=B PTAP=B
正交相似的关系是最强大的：
二次型化成标准形（重要考点）
二次型：
f
(
x
)
=
X
T
A
X
f(x)=X^TAX
f(x)=XTAX
标准形：只有平方项的二次型
我们一般会有三种方法：配方法，初等变换法，正交替换法
配方法：
例题：
x
1
2
−
3
x
2
2
+
4
x
3
3
−
2
x
1
x
2
+
2
x
1
x
3
−
6
x
2
x
3
x_1^{2}-3x_2^{2}+4x_3^{3}-2x_1x_2+2x_1x_3-6x_2x_3
x12−3x22+4x33−2x1x2+2x1x3−6x2x3
根据线性替换 X = C Y X=CY X=CY
接下来看初等变换法：
已知二次型矩阵：
A
=
[
1
1
1
1
2
2
1
2
1
]
A=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&2\\1&2&1\end{bmatrix}
A=⎣⎡111122121⎦⎤
化成标准形：
[
A
E
]
=
[
1
1
1
1
2
2
1
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
\begin{bmatrix}A\\E\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&2&2\\1&2&1\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}
[AE]=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡111100122010121001⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
变换的时候，我们需要遵循这样的顺序：一次行变换一次列变换，涉及行变换的时候只能对上面的矩阵处理，但是列变换是对整个起作用的。
当上面的三行变成对角型的时候，下面就是C
