【计算机组成原理】运算方法与运算器知识点总结

重点内容：
1.定点补码加减运算；
2.定点补码加法运算溢出判断方法及其电路
3.定点原码、补码一位乘运算
4.定点原码一位除法（加减交替法）
5.浮点运算步骤（加减、乘除）
6.浮点数溢出判断方法
7.超前进位原理

一.定点数的加减法运算

1.补码加法运算
整数 [A]_补+[B]_补=[A+B]_补 (mod 2ⁿ⁺¹)
小数 [A]_补+[B]_补=[A+B]_补 (mod 2)

2.补码减法运算
由A-B=A+(-B)，则[A-B]_补=[A+(-B)]_补
整数 [A-B]_补=[A+(-B)]_补=[A]_补+[-B]_补 (mod 2ⁿ⁺¹)
小数 [A-B]_补=[A]_补+[-B]_补 (mod 2)

注：
①在计算机中求补时，超出范围字长不用管，相当于取模值
②当知道一个数，求它负数的补码的时候，“连同符号位取反+1”

3.溢出判断
（1）例如负数减去正数得到了一个正数：向高位进位后，发生了“溢出”。运算结果超出了机器字长的表示范围，出现这种现象的时候，要注意特别注明。
（2）上溢：两个正数相加，结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢。
（3）下溢：两个负数相加，结果小于其所能表示的最小负数，称为下溢。
（4）判断方法：
①用计算结果的符号位来判断溢出：
运算结果z，被加数x，加数y的符号位分别记作：z0，x0，y0。可得判断溢出的逻辑表达式为：
若v=1，则说明运算结果出现溢出。

②用计算结果最高数值位向符号位的进位值c1与符号位的进位值c0来判断溢出：
计算结果的最高位向符号位的进位值c1与符号位的进位值c0不同，则表明产生了溢出。判断溢出的逻辑表达式为：

若v=1，则说明运算结果出现溢出。

③采用双符号位进行判断
a.符号位用两个0（表示正数）或两个1（表示负数）来表示。两个符号位都看作为数码参加运算，若结果的两个符号位的值相同，则说明没有发生溢出；若结果的两个符号位不同，则说明发生了溢出。

b.运算结果的符号位为01时，表明两个正数相加，结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢，即正溢出；

c.运算结果的符号位为10时，表明两个负数相加，结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢，即负溢出。

d.用z0来表示最高符号位，z0′表示第二个符号位，判断溢出的逻辑表达式为：

若v=1，则说明运算结果出现溢出

e.存储数据时不必存储双符号位，只是在数据送往运算部件进行运算时才复制成双符号位

二.定点数乘法运算

1.核心硬件：加法器
2.定点原码一位乘法
（1）数值由原码表示
（2）部分积每次运算处理1位乘数尾数
（3）运算细节：
①符号位单独处理
②数值位绝对值做乘法运算
③取绝对值后的被乘数双符号位补码表示（计算机中的加减法都用补码处理）
④取绝对值后的乘数只有数值部分带入运算（决定每次与部分积相加值及移位次数）
（4）逻辑框图
注：
由乘数寄存器的最低位来控制。
被乘数与乘数寄存器联合右移。
乘法运算的第一位保存在乘数寄存器中。每一轮都存一次。

例：设x= -0.1101，y=0.1011，求x • y
[解] 计算过程如下：
1）[x]原=1.1101，[y]原=0.1011，z_s= x_s⊕y_s=1。
2）被乘数的绝对值取双符号位放入B寄存器中，值为001101，同时移位寄存器C中放入的数为1011。
3）计算数值过程如下：

4）因为z s =1，所以最后的结果为：z=-0.10001111。

3.定点原码的两位乘法
与前面叙述的原码一位乘法比较，多出了+2x和+3x两种情况。把x左移1位即得2x，在机器内通常采用向左斜送1位来实现，但是+3x一般不能一次完成。实现+3x有如下两种方法：
1）先+x，再+2x来进行，此法速度较低。
2）以4x-x来代替3x运算，在本次运算中只执行-x，而+4x则归并到下一拍执行。此时的部分积已右移了两位，上一部欠下的+4x已变成+x.

（3）缺点：影响速度，运算复杂

例：假定x=0.100111，y=0.100111，利用定点原码两位乘法求x • y
[解] 计算过程如下：
1）先求符号位，z_s= x_s⊕y_s=0；
2）采用三符号位，先求下面两个值：
[-x]补=111.011001，2x=001.001110；
3）计算数值过程如下：

4）因为z s= 0，所以z=+0.010111110001

4.定点补码的一位乘法运算
例：设x=-0.1101，y=0.1011，利用补码一位乘求x•y。（x<0，y>0）
[解] 计算过程如下：
[x]补=11.0011，x采用双符号位，[y]补=0.1011，y采用单符号位，先求[x•y]补。

由于最高位符号位y₀=0，所以无需加-y₀[x]_补，最后结果为：
[x•y]_补 = 11.01110001，
x•y = -0.10001111

5.布斯法
①运算开始时，部分积为0，然后在上一步的部分积上加（y_i+1-y_i）[x]_补 （i=n,…2,1,0）再右移1位，得到新的部分积，如此重复n+1步，最后一步不移位，得到[x•y]_补。
②Booth法运算规则

例：设x=-0.1101，y=0.1011（x<0，y>0），用布斯法求x•y（x<0，y>0）
[解] 计算过程如下：
[x]补=11.0011，[-x]补=00.1101 （采用双符号位表示）
[y]补=0.1011 （ 采用单符号位表示）

计算结果：[x•y]补=11.01110001，所以x•y= -0.10001111

三.定点除法运算

1.原码恢复余数除法
设两个正的定点小数，被除数x和除数y，用原码恢复余数法计算x/y的步骤如下：
（1）余数r1=x-y。若r1≥0，则商上1；否则商上0。
（2）若第i次的部分余数为ri，那么第i+1次的部分余数ri+1=2ri-y。若ri+1<0，则商上0，同时恢复余数：ri+1=ri+1+y；否则，商上1。
（3）重复第二步，直到求得所需商的位数为止。
例：设x=0.1011，y=0.1101，求x/y
[解] 计算过程如下：
先求得[-y]补=11.0011，目的是减y用加[-y]补取代；取双符号位，是为防止溢出。
计算结果为：
x/y =0.1101 余数=0.0111×2^-4

2.加减交替除法
加减交替法是对恢复余数法的一种修正。当某一次求得的差值（余数ri）为负时，不是恢复它，而是继续求下一位商，但用加上除数（+y）的办法来取代减去除数（-y）操作，其他操作依然不变。
(1)若余数为正时，商上1，求下一位商的办法，是余数左移一位，再减去除数；
(2)当余数为负时，商上0，求下一位商的办法，是余数左移一位，再加上除数。
(3)此方法不用恢复余数，所以又叫不恢复余数法。但若最后一次商上0，而又需要得到正确的余数，则在最后一次还要+y恢复余数。
例：设x=0.1011，y=0.1101，用加减交替法求x/y
[解] 计算过程如下：
先求得[-y]补=11.0011，目的是减y用加[-y]补取代；取双符号位，是为防止溢出
计算结果为： x/y =0.1101 余数=0.0111×2^-4

四.浮点数运算

1.浮点数表示方法
浮点数的表示方法，即在计算机中一个任意R进制数 N 可以写成：Ｎ＝r^E×M，式中M为尾数，可正可负，而且一般以纯小数形式表示。E是比例因子的指数，称为浮点数的阶码，可正可负，是一个整数。r是基数，可取2，4，8或16等。

2.浮点数加法和减法运算规则
（1）运算规则：设有两个浮点数x和y，它们分别为：x=2^Ex•M_x，y=2^Ey•M_y，其中Ex，Ey分别为数x和y的阶码，M_x和M_y为数x和y的尾数。且它们都是按规格化数存放的，对它们进行运算后的结果也应该是规格化的，其运算法则为：
z=x±y=M_x2^Ex – Ey^ ±M_y•2^Ey（Ex<Ey)

(2)浮点数加减法运算步骤
①“对阶”操作：比较两浮点数阶码的大小，求出其差△E，并保留其大值E，E=max（E_x, E_y）。当△E ≠0时，将阶码小的数的尾数右移△E位，并将其阶码值加上△E，使两数的阶码值相等，这一操作称之为“对阶”。
注：尾数右移时，对原码表示的尾数，符号位不参加移位，尾数数值部分的高位补0；对补码表示的尾数，符号位参加右移，并保持原符号位不变。

②尾数的加/减运算
执行对阶后，两尾数进行加减运算，得到两数之和/差。

③规格化操作
a.当运算的结果(和/差)不是规格化数时，需将它转变成规格化数。规格化的目的是使尾数部分的绝对值尽可能以最大值的形式出现。
b.设尾数M的数值部分有n位，规格化数的范围为：
1/2≤|[M]_原｜≤1-2^-n
1/2≤[M]_补≤1-2^-n (当M为正)
1/2≤｜[M]_补｜≤1 (当M为负)

c.双符号位的原码规格化尾数，其数值的最高位为1；
双符号位的补码规格化尾数，应是00.1××…×或11. 0××…×(×可为0或1)。

d.双符号位补码规格化操作的规则是：
i.如果结果的两个符号位的值不同，表示加/减运算尾数结果溢出，此时将尾数结果右移1位，阶码E+1，称为“向右规格化”，简称“右规”。
ii. 如果结果的两个符号位的值相同，表示加/减运算尾数结果不溢出。但若最高数值位与符号位相同，此时尾数连续左移，直到最高数值位与符号位的值不同为止；同时从E中减去移位的位数，这称之为“向左规格化”，简称“左规”。

④舍入
在执行右规或对阶时，尾数低位上的数值会移掉，使数值的精度受到影响，为了减少运算中的精度损失，常用的尾数处理方法是“0”舍“1”入法。当移掉的最高位为1时，在尾数的未位加1，如果加1后又使尾数溢出，则要再进行一次右规。

⑤检查阶码是否溢出
阶码溢出表示浮点数溢出。在规格化和舍入时都可能发生溢出，若阶码正常，加/减运算正常结束。若阶码下溢，则置运算结果为机器零，若上溢，则置溢出标志。

例：两浮点数相加，被加数 x=2⁰¹¹×0.11011011，加数 y=2¹⁰¹×（-0.10101100），求x+y
[解] 计算过程如下：
假设两数的阶码和尾数均以补码表示，阶码采用双符号位，尾数采用单符号位，则它们的浮点数分别表示为：
x=00011 尾数：0.11011011
y=00101 尾数：1.01010100
1）对阶操作
阶差△E= E_x-E_y=[ E_x]_补+[-E_y]_补=00011+11011=11110
即△E=-2，x的阶码小，应使M_x右移两位，保留阶码E=00101。
[M_X]_补=000110110（11），其中（11）是右移出去而保留的附加位。
2） 尾数相加
[M_X]_补 +[M_y]_补=0.00110110（11） +1.01010100=1.10001010（11）
3）规格化操作
尾数相加结果的符号位与最高数值位为同值，应执行左规处理，结果为1.00010101（10），阶码为00 100。
4）舍入
附加位最高位为1，在所得结果的最低位+1，得新结果：
[M]_补=1.00010110, M=-0.11101010。
5）判溢出
阶码符号位为00，不溢出，故得最终结果为：
x + y=2¹⁰⁰×（-0.11101010）

3.浮点数乘法和除法运算规则
（1）运算法则
设有两个浮点数x和y，它们分别为：
x=2E_x•M_x
y=2E_y•M_y
其中E_x，E_y分别为数x和y的阶码，Mx和My为数x和y的尾数。
则乘法运算规则是：x×y=2E_x+E_y•（M_x×M_y）
除法运算规则是： x÷y=2E_x-E_y•（M_x÷M_y）

（2）运算步骤
① 0操作数检查；
② 如果做乘法运算，阶码执行加操作；如果做除法运算，阶码执行减操作；
③ 尾数乘/除操作；
④ 结果规格化及舍入处理。
⑤ 判断结果是否溢出。

（3）舍入操作
当尾数用补码表示时（负数），所用的舍入规则，应该与用原码表示时产生相同的处理效果。具体规则是：
①当丢失的各位均为0时，不必舍入；
②当丢失的最高位为0，以下各位不全为0时，或者丢失的最高位为1，以下各位均为0时，则舍去丢失位上的值；
③当丢失的最高位为1，以下各位不全为0时，则执行在尾数最低位入1的修正操作。

（4）阶码（用移码）判定溢出的方法
使用双符号位的阶码（用移码）加法器，可以判断浮点数的溢出。这时规定移码的第二个符号位，即最高符号位恒用0参加运算，则溢出条件是最高符号位为1。此时，当低位符号位为0时，表明结果上溢；为1时，表明结果下溢。当最高符号位为0时，表明没有溢出，低位符号位为1，表明结果为正，为0时，表明结果为负。

例：设x=2^-6× 0.0110011,y=2⁴×（-0.1110010）,阶码用四位移码表示，尾数（含符号位）用8位补码表示，求x×y（用浮点数表示）

[解] 计算过程如下：
移码采用双符号位，尾数补码采用单符号位，则有
[Mx]补=0.0110011,
[My]补=1.0001110
[Ex]移=00010，
[Ey]补=00100，
[Ey]移=01100
[x]浮= 000100.0110011，
[y]浮= 011001.0001110
1）求乘积的阶码

2）补码尾数相乘
[M_x]_补×[M_y]_补=[0.0110011]_补×[1.0001110]_补=[1.1010010,1001010]_补
3）规格化处理
乘积的尾数符号位与最高数值位符号相同，不是规格化的数，故需要左规：
阶码变为00101（-3），
尾数变为1.0100101,0010100。
4）舍入处理
尾数低位部分最高位为0，舍去低位字长，故尾数为1.0100101。相乘最终结果为：
[x × y]_浮 = 001011.0100101
真值: x × y =2^-3×（-0.1011011）
5）判溢出
阶码符号位为00，未溢出，故结果正确。

五.超前进位原理

1.设计思想：为了提高加法器的运算速度，必须设法减小或去除由于进位信号逐级传送所花的时间，使各位的进位直接由加数和被加数来决定，而不需依赖低位进位。

2.超前进位产生电路是根据各位进位的形成条件来实现的。

3.原理：
只要满足下述条件中任一个即可形成C1
(1)X1，Y1均为“1”；
(2)X1，Y1任一个为“1”，且进位C0为“1”。由此，可写得C1的表达式为C1=X1Y1+(X1+Y1) C0
只要满足下述条件中任一个即可形成C2。
(1)X2，Y2均为“1”；
(2)X2，Y2任一为“1”，且X1，Y1均为“1”；
(3)X2，Y2任一为“1”，同时X1，Y1任一为“1”，且C0为“1”。由此可得C2表达式为
C2=X2Y2+(X2+Y2)X1Y1+(X2+Y2)(X1+Y1)C0
同理，可有C3，C4表达式如下：
C3=X3Y3+(X3+Y3)X2Y2+(X3+Y3)(X2+Y2)X1Y1+(X3+Y3)(X2+Y2)(X1+Y1)C0 (3-20)
下面我们引入进位传递函数Pi和进位产生函数Gi的概念。它们的定义为：Pi=Xi +Yi，Gi=Xi •Yi
式中i=1，2，3，4。Pi的意义是：当Xi，Yi中有一个为“1”时，若有进位输入，则本位向高位传送进位，这个进位可看成是低位进位越过本位直接向高位传递的。Gi的意义是：当Xi，Yi均为“1”时，不管有无进位输入，定会产生向高位的进位。
将Pi、Gi代入C1～C4式，便可得：（并行）
C1=G1+P1C0
C2=G2+P2G1+P2P1C0
C3=G3+P3G2+P3P2G1+P3P2P1C0
C4=G4+P4G3+P4P3G2+P4P3P2G1+P4P3P2P1C0
当全加器的输入均取反码时，它的输出也均取反码。据此，可把它们以“与非”、“或非”、“与或非”形式改写成如下形式：

由Pi、Gi定义，也可把半加和改写成以下形式： Hi=Pi⊕Gi
可画得“超前进位产生电路”及“四位超前进位加法器”的逻辑图如图所示。由图可以看到，只要X1～X4,Y1～Y4和C0同时到来，就可几乎同时形成C1～Ｃ4和F1～F4。