数据结构 ——树

时间：2024-03-15 07:42:16

 1 基础知识

     1.树的定义

树是一种非线性的数据结构，右n(n>=0)个结点组成的有限集合，如果n=0,称为空树，如果n>0,则：

  • 有一个特定的结点被称之为跟结点(root)，根结点只有直接后继，没有前驱，

  • 除根结点外的其他结点划分为m(m>=0)个互不相交的有限集合T0,T1...Tm-1，每一个集合又是一颗子树，并称之为跟的子树。
    树的示例如下：
    数据结构 ——树

    2.树中度的概念

    树的结点包含一个数据及若干指向子树的分支，结点拥有的子树数目称为结点的度(度为0的结点称为叶结点；度不为0称为分支结点)；
    树的度定义为所有结点中度的最大值。
    数据结构 ——树

    3.树的前驱和后继

    结点的直接后继称为该结点的孩子，相应的，该结点称为孩子的双亲；
    结点的孩子的孩子，称为该结点的子孙，相应 该结点称为子孙的祖先；
    同一个双亲的孩子之间互称兄弟。
    数据结构 ——树

    4.树中结点的层次

    树中结点最大层次称为树的深度或高度。
    数据结构 ——树

    5.树的有序性

    如果树中结点的各个子树从左向右是有次序的，子树间不能互换位置，则称该树为有序树，否则为无序树。
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     6.森林的概念

    数据结构 ——树

 

 

2.树的存储结构

 

（一）双亲表示法

以双亲作为索引的关键词的一种存储方式
每个结点只有一个双亲，所以选择顺序存储占主要
以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示其双亲结点位置的指针域

1.结点结构 

数据结构 ——树

2.结点结构定义

 

/*树的双亲表示法结点结构定义*/
#define MAX_TREE_SIZE 100

typedef int TElemType;

typedef struct PTNode    //结点结构
{
    TElemType data;    //结点数据
    int parent;        //双亲位置
}PTNode;

typedef struct //树结构
{
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];    //结点数组
    int r, n;    //r是根位置，n是结点数
}PTree;

 

 

数据结构 ——树

3.优缺点分析

优点：parent指针域指向数组下标，所以找双亲结点的时间复杂度为O(1),向上一直找到根节点也快
缺点：由上向下找就十分慢，若要找结点的孩子或者兄弟，要遍历整个树

4.改进一：方便获取孩子结点

在双亲结点基础上加入孩子结点位置，由于可能一个结点有多个子树，所以我们要根据数的度来设置添加几个孩子结点的元素

 

 数据结构 ——树

树的度为3，所以我们在结点结构设置上添加3个指针域，指向孩子结点，若是孩子为空则位置为-1

 

/*树的双亲表示法结点结构定义*/
#define MAX_TREE_SIZE 100

typedef int TElemType;

typedef struct PTNode    //结点结构
{
    TElemType data;    //结点数据
    int parent;        //双亲位置
    int child1;        //孩子结点1
    int child2;        //孩子结点2
    int child3;        //孩子结点3
}PTNode;

typedef struct //树结构
{
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];    //结点数组
    int r, n;    //r是根位置，n是结点数
}PTree;

 

数据结构 ——树

缺点：这样消耗了大量的空间，是不必要的，

我们尽可能使用较小的空间，所以我们一般只添加一个长子域，可以获取到有0个或1个孩子结点，甚至两个子树都可以获取，但是对于较多的孩子我们若是非得使用顺序存储，就得使用上面方法。

注意：长子域是最左边孩子的域

 

/*树的双亲表示法结点结构定义*/
#define MAX_TREE_SIZE 100

typedef int TElemType;

typedef struct PTNode    //结点结构
{
    TElemType data;    //结点数据
    int parent;        //双亲位置
    int firstchild;    //长子域
}PTNode;

typedef struct //树结构
{
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];    //结点数组
    int r, n;    //r是根位置，n是结点数
}PTree;

 

 

数据结构 ——树

5.改进二：方便获取各兄弟之间的关系

我们只需要增加一个有兄弟域，即可依次获取所有的兄弟结点

 

/*树的双亲表示法结点结构定义*/
#define MAX_TREE_SIZE 100

typedef int TElemType;

typedef struct PTNode    //结点结构
{
    TElemType data;    //结点数据
    int parent;        //双亲位置
    int rightsib;    //右兄弟结点
}PTNode;

typedef struct //树结构
{
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];    //结点数组
    int r, n;    //r是根位置，n是结点数
}PTree;

 

 

数据结构 ——树

 

存储结构的设计是一个十分灵活的过程。一个存储结构设计是否合理，取决于基于该存储结构的运算是否合适，方便，时间复杂度好不好等。
例如若是我们既关注孩子又关注兄弟，而且对时间遍历要求高，那么我们可以扩展上面结构含有双亲域，长子域，右兄弟域

（二）孩子表示法（主要关注孩子结点）

由于每个结点可有多个子树（无法确定子树个数），可以考虑使用多重链表来实现。

数据结构 ——树

根据树的度来设置孩子域的个数，例如本例中度为3，设置3个孩子域

 

/*树的孩子表示法结点结构定义*/
#define MAX_TREE_SIZE 100

typedef int TElemType;

typedef struct PTNode    //结点结构
{
    TElemType data;    //结点数据
    int child1;    //孩子1结点
    int child2;    //孩子2结点
    int child3;    //孩子3结点
}PTNode;

typedef struct //树结构
{
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];    //结点数组
    int r, n;    //r是根位置，n是结点数
}PTree;

 

数据结构 ——树

数据结构 ——树

 缺点：占用了大量不必要的孩子域空指针

以其为标准：需要3n个指针域，实际上有用n-1个（除了根节点，其他n-1个都向上需要一条边），则有2n+1个无用，浪费

改进一：为每个结点添加一个结点度域，方便控制指针域的个数

数据结构 ——树

数据结构 ——树

缺点：维护困难，不易实现

改进三：结合顺序结构和链式结构

数据结构 ——树

 

/*树的孩子表示法结点结构定义*/
#define MAX_TREE_SIZE 100

typedef int TElemType;

typedef struct CTNode    //孩子结点
{
    int child;
    struct CTNode* next;
}*ChildPtr;

typedef struct    //表头结构 
{
    TElemType data;
    ChildPtr firstChild;　　//这里只是一个头指针，指向第一个结点
}CTBox;

typedef struct //树结构
{
    CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];    //结点数组
    int r, n;    //r是根位置，n是结点数
}CTree;

 

改进四：添加双亲域，方便查找双亲结点（双亲孩子表示法）

数据结构 ——树

 

/*树的孩子表示法结点结构定义*/
#define MAX_TREE_SIZE 100

typedef int TElemType;

typedef struct CTNode    //孩子结点
{
    int child;
    struct CTNode* next;
}*ChildPtr;

typedef struct    //表头结构 
{
    TElemType data;
    int parent;
    ChildPtr firstChild;    //指向第一个孩子的指针
}CTBox;

typedef struct //树结构
{
    CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];    //结点数组
    int r, n;    //r是根位置，n是结点数
}CTree;

 

（三）孩子兄弟表示法

上面从双亲，孩子角度研究树的结构，下面我们从树的结点的兄弟角度来研究
任意一棵树，他的结点的第一个孩子如果存在就是唯一结点，他的右兄弟如果存在，也是唯一的，因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和该结点的右兄弟

数据结构 ——树

数据结构 ——树

n个结点，有2n个指针域，有n-1条边，空n+1个指针域

 

typedef int TElemType;

typedef struct CSNode
{
    TElemType data;
    struct CSNode* firstchild, *rightsib;
}CSNode,*CSTree;

 

若有需要，可以再加入一个双亲域，但是上面的结构以及转换为二叉树，我们可以使用二叉树的一系列方法，来解决问题

 

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