FMCW雷达距离多普勒(RDM)处理方法中距离分辨率和速度分辨率的推导

目录

• 距离多普勒(Range-Dopple Matrix)处理方法
• 快时间维度处理(Range-FFT)
• 慢时间维度处理(Doppler-FFT)
• RDM中距离分辨率和速度分辨率推导方法
• 参考资料

距离多普勒(Range-Dopple Matrix)处理方法

  众所周知，距离多普勒处理方法(Range-Dopple Matrix，简称RDM)是FMCW雷达进行多目标信息提取的有效手段，通过对雷达发送的多个周期的Chirp序列以及回波信息进行快时间维度和慢时间维度的处理，即可得到距离多普勒热力图，进而可以提取多目标的距离和速度信息。

  在FMCW的差拍信号中，我们知道，差拍信号的频率为
$f_{movingBeat} = f_{staticBeat} \pm f_d = \frac{2f_cR}{Ct_c} \pm \frac{2fv}{C} \tag 1$fmovingBeat​=fstaticBeat​±fd​=Ctc​2fc​R​±C2fv​(1)  其中$f_{movingBeat}$fmovingBeat​和$f_{staticBeat}$fstaticBeat​分别为目标运动和静止状态下差拍信号的频率，$f_d$fd​为多普勒频率，$f_c$fc​为扫频带宽，$R$R为目标距离，$C$C为光速，$t_c$tc​为扫频周期，$f$f为Chirp信号中心频率，$v$v为目标速度。

快时间维度处理(Range-FFT)

  快时间维度即单个周期的Chirp序列扫频周期时间很短，短到几乎可以将多普勒频率带来的影响忽略不计($t_c$tc​↓，公式(1)中$f_{staticBeat}$fstaticBeat​项占了主要的位置)，认为此时通过RDM热力图提取到的动目标在距离维度上的动目标差频$f_{movingBeat}$fmovingBeat​与静目标差频$f_{staticBeat}$fstaticBeat​近似相等，即$f_{movingBeat} \approx f_{staticBeat} = \frac{2f_cR}{Ct_c} \tag 2$fmovingBeat​≈fstaticBeat​=Ctc​2fc​R​(2)  那么通过快时间维度的每一帧数据，提取频谱峰值对应的横坐标频率，即可对目标的距离进行求解；即$R = \frac{Ct_c}{2f_c}\cdot f_{staticBeat} \tag 3$R=2fc​Ctc​​⋅fstaticBeat​(3)  快时间维处理示意图如下

慢时间维度处理(Doppler-FFT)

  因为我们知道，在快时间维的处理中，认为速度带来的影响忽略不计，通过对多个Chirp序列进行多帧数据的堆积，此时在第二个维度上(即慢时间维度上，多帧数据对应的同一距离单元上)速度带来的频率影响就不可忽略，此时慢时间维度上求得的频率即为多普勒频率，即$f_d = \frac{2fv}{C} \tag 4$fd​=C2fv​(4)  所以有$v = \frac{f_dC}{2f} \tag 5$v=2ffd​C​(5)
  慢时间维处理示意图如下

  慢时间维度的处理是经过多个Chirp序列积累后对同一距离单元进行FFT的结果，故称为慢时间维度，

  为什么是同一距离单元？
  因为Range-FFT中同一个横坐标对应相同的$f_{movingBeat}$fmovingBeat​，快时间维度下$f_{movingBeat}$fmovingBeat​约等于$f_{staticBeat}$fstaticBeat​，由公式(2)和公式(3)可知，对应同一距离单元

  快时间维度和慢时间维度处理总览

  经过处理后可得到如下的距离多普勒热力图(Range-Dopple Heat Map)

RDM中距离分辨率和速度分辨率推导方法

  网上关于RDM方法中距离分辨率和速度分辨率推导的资料实在太少，几乎都是两个长得不太好看公式直接糊你脸上，我的感受就是老人、地铁、看手机.jpg(此处省略表情包)，于是决定记录下推导过程，正所谓难者不会，会者不难。
  首先回顾下数字信号处理中第K个采样点的频率$f_k$fk​与采样频率$f_s$fs​间的关系，我们知道，第K个采样点的角频率服从如下关系
$\omega_k = \frac{k}{N_s}\cdot2\pi = \Omega\cdot T_s = 2 \pi f_k\cdot \frac{1}{f_s}$ωk​=Ns​k​⋅2π=Ω⋅Ts​=2πfk​⋅fs​1​
  其中$N_s$Ns​为采样点数，$\Omega$Ω为模拟角频率，$T_s$Ts​为采样频率，我们取出等式中的第二项和第四项，有
$\frac{k}{N_s}\cdot2\pi =2 \pi f_k\cdot \frac{1}{f_s}$Ns​k​⋅2π=2πfk​⋅fs​1​  可得第K个采样点的频率$f_k$fk​与采样频率$f_s$fs​间的关系为
$f_k = k\cdot \frac{f_s}{N_s} \tag 6$fk​=k⋅Ns​fs​​(6)
  到此就可以正式展开距离分辨率和速度分辨率的推导方法了，上一部分我们说到快时间维度的Range-FFT和慢时间维度的Doppler-FFT，有两个结论性的公式
$f_{movingBeat} \approx f_{staticBeat} = \frac{2f_cR}{Ct_c} \tag 7$fmovingBeat​≈fstaticBeat​=Ctc​2fc​R​(7) $f_d = \frac{2fv}{C} \tag 8$fd​=C2fv​(8)  假设上一部分中距离多普勒热力图中，$n_1$n1​为Range-FFT(快时间维度)中目标对应的坐标***，$n_2$n2​为Doppler-FFT(慢时间维度)中同一目标对应的坐标***，则依照公式(6)可得
$f_{movingBeat} = \frac{n_1}{N_s} \cdot f_s \tag 9$fmovingBeat​=Ns​n1​​⋅fs​(9) $f_d = \frac{n_2}{N_{Chirp}} \cdot \frac{1}{t_c} \tag {10}$fd​=NChirp​n2​​⋅tc​1​(10)  其中$N_{Chirp}$NChirp​为慢时间维度处理中Chirp序列的积累个数；公式(9)类比公式(6)，比较好理解，公式(10)也是类比公式(6)，只不过此时在慢时间维度上采样总数是积累的Chirp序列的总数，采样频率是每一个Chirp序列扫频周期的倒数，即$\frac{1}{t_c}$tc​1​
  由此以来，分别联立公式(7)和公式(9)，联立公式(8)和公式(10)，可得
$\frac{2f_cR}{Ct_c} = \frac{n_1}{N_s} \cdot f_s$Ctc​2fc​R​=Ns​n1​​⋅fs​ $\frac{2fv}{C} = \frac{n_2}{N_{Chirp}} \cdot \frac{1}{t_c}$C2fv​=NChirp​n2​​⋅tc​1​   可解得
$R = \frac{C}{2f_C}\cdot t_c\cdot \frac{n_1}{N_s}\cdot f_s \tag{11}$R=2fC​C​⋅tc​⋅Ns​n1​​⋅fs​(11)
$v = \frac{C}{2f} \cdot \frac{n_2}{N_{Chirp}}\cdot \frac{1}{t_c}\tag{12}$v=2fC​⋅NChirp​n2​​⋅tc​1​(12)  因为
$t_c = N_s\cdot T_s = \frac{N_s}{f_s} \tag{13}$tc​=Ns​⋅Ts​=fs​Ns​​(13) $t_{seq} = N_{Chirp}\cdot t_c\tag{14}$tseq​=NChirp​⋅tc​(14)  将(13)代入(11)，将(14)代入(12)，可得
$R = \frac{C}{2f_c} \cdot n_1$R=2fc​C​⋅n1​$v = \frac{C}{2ft_{seq}} \cdot n_2$v=2ftseq​C​⋅n2​  此时，就得到了距离分辨率和速度分辨率，分别为
$R_{res} = \frac{C}{2f_c}$Rres​=2fc​C​ $v_{res} = \frac{C}{2fN_{Chirp}t_c} = \frac{C}{2ft_{seq}}$vres​=2fNChirp​tc​C​=2ftseq​C​

参考资料

• Automotive radar 信号处理 第2课 速度估计
• Radar测距及测速原理(2)——快速Chirp序列方法推导及实际应用
• 2D CFAR的原理，其实没那么的神奇