一、概念
1、浮点数：小数点位置是漂浮不定的。
例如：浮点数运算 1.1 * 1.1 = 1.21，小数点位置发生了变化。
IEEE 754 规定，浮点数的表示方法为：
最高的 1 位是符号位 s，接着的 8 位是指数E，剩下的 23 位为有效数字 M。
2、定点数：小数点的位置是确定的。
例如：定点数运算 1.1 * 1.1 = 1.2，小数点的位置没有变化。
定点的意思是，小数点固定在 32 位中的某个位置，前面的是整数，后面的是小数。
小数点具体固定在哪里，可以自己在程序中指定。
二、Verilog表示定点数
FPGA 的寄存器只可以表示正整数，通过约定【最高位为符号位】则可以表达负整数了。同理，带小数点的定点数也是可以通过一些约定来表示。
约定方法：确定小数点的位置。如下图所示，Qn表示小数点的位置，n为多少表示有多少位小数，看看同样的二进制数字“10101”会变成什么。
二进制数 小数点位置 对应定点数 10101 Q0 10101 10101 Q1 1010.1 10101 Q2 101.01 10101 Q3 10.101 10101 Q4 1.0101 10101 Q5 0.10101
因此我们只要定位了小数点位置后，就可以在FPGA中表达带小数的定点数。
三、浮点数的定点化
两个 16 位的浮点数运算，最高位是符号位： 2.918 * 3.1415926 = 9.1671672068，尝试将浮点数进行定点化。
1、定点转换（Qn=12）
符号1位，整数取3位（实际2位就够），小数12位，可以看成把 1 分成了 212份，因此：
- 2.918 * 212 = 11952.168 = 11952；
- 3.1415926 * 212 = 12867.8632896 = 12868；
2、定点数相乘
11952 * 12868 = 153798336。
3、结果还原
相乘后，整数部分为 6 位，小数部分为 24 位。因此结果 = 153798336 / 224 = 9.167095184326171875，和原计算值差距非常小。
4、量化误差和量化精度
小数点的位置不同带来的量化误差不同，例如上面定点转换的过程中出现的小数点进行了四舍五入，这是因为 2.918 无法完全用 1/212来表示。小数位数越多，表示的量化精度越高，小数位为 Qn，最大量化精度为 1/2n。
5、无损定点化
所谓【无损定点化】只是数学概念，只要量化误差小于精度的一半，就认为是“无损”的。按照这个标准，那对小数点采取四舍五入的结果必然是无损的。但是校招时很多题采取的是“量化后直接去除小数”，那么小数大于 0.5 则不是无损的了。
四、例题
1、【大疆】对 12.918 做无损定点化，需要的最小位宽是多少位？位宽选择 11 位时的量化误差是多少？
A 13位，0.0118 B 12位，0.0118 C 13位，0.0039 D 12位，0.0039
分析：（1）整数 12 需要 4bit。假设位宽选择12位，即小数需要 8bit，12.918 * 28 = 3307.008，定点化后的小数小于0.5，可以看成是【无损定点化】，固答案为 12 位；（2）位宽选择11位，即小数需要 7bit，12.918 * 27 = 1653.504，量化误差为 0.504/27 = 0.0039375，固答案为0.0039。
答案：结合分析，得出答案为D。
2、【大疆】对12.758做无损定点化，需要的最小位宽是多少位？位宽选择为8位时的量化误差是多少？
A 11位，0.008 B 11位，0.08 C 12位，0.008 D 12位，0.08
分析：（1）整数 12 需要 4bit。假设位宽选择11位，即小数需要 7bit，12.758 * 27 = 1633.024，定点化后的小数小于0.5，可以看成是【无损定点化】，固答案为 11 位；（2）位宽选择 8 位，即小数需要 4bit，12.758 * 24 = 204.128，量化误差为 0.128/24 = 0.008，固答案为0.008。
答案：结合分析，得出答案为A。
感觉这题的第一问有些毛病，位宽为 8 位时也符合【无损定点化】。我算了一下，位宽为 7 位（小数为3位）时仍然是【无损定点化】，位宽为 6 位时才不是【无损定点化】。但这是选择题，只能选 A 了。
参考资料：
http://fpgabbs.com/thread-771-1-1.html