【深度学习笔记】优化算法——Adam算法

时间:2024-03-11 15:57:40

Adam算法

????sec_adam

本章我们已经学习了许多有效优化的技术。
在本节讨论之前,我们先详细回顾一下这些技术:

  • 在 :numref:sec_sgd中,我们学习了:随机梯度下降在解决优化问题时比梯度下降更有效。
  • 在 :numref:sec_minibatch_sgd中,我们学习了:在一个小批量中使用更大的观测值集,可以通过向量化提供额外效率。这是高效的多机、多GPU和整体并行处理的关键。
  • 在 :numref:sec_momentum中我们添加了一种机制,用于汇总过去梯度的历史以加速收敛。
  • 在 :numref:sec_adagrad中,我们通过对每个坐标缩放来实现高效计算的预处理器。
  • 在 :numref:sec_rmsprop中,我们通过学习率的调整来分离每个坐标的缩放。

Adam算法 :cite:Kingma.Ba.2014将所有这些技术汇总到一个高效的学习算法中。
不出预料,作为深度学习中使用的更强大和有效的优化算法之一,它非常受欢迎。
但是它并非没有问题,尤其是 :cite:Reddi.Kale.Kumar.2019表明,有时Adam算法可能由于方差控制不良而发散。
在完善工作中, :cite:Zaheer.Reddi.Sachan.ea.2018给Adam算法提供了一个称为Yogi的热补丁来解决这些问题。
下面我们了解一下Adam算法。

算法

Adam算法的关键组成部分之一是:它使用指数加权移动平均值来估算梯度的动量和二次矩,即它使用状态变量

v t ← β 1 v t − 1 + ( 1 − β 1 ) g t , s t ← β 2 s t − 1 + ( 1 − β 2 ) g t 2 . \begin{aligned} \mathbf{v}_t & \leftarrow \beta_1 \mathbf{v}_{t-1} + (1 - \beta_1) \mathbf{g}_t, \\ \mathbf{s}_t & \leftarrow \beta_2 \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \mathbf{g}_t^2. \end{aligned} vtstβ1vt1+(1β1)gt,β2st1+(1β2)gt2.

这里 β 1 \beta_1 β1 β 2 \beta_2 β2是非负加权参数。
常将它们设置为 β 1 = 0.9 \beta_1 = 0.9 β1=0.9 β 2 = 0.999 \beta_2 = 0.999 β2=0.999
也就是说,方差估计的移动远远慢于动量估计的移动。
注意,如果我们初始化 v 0 = s 0 = 0 \mathbf{v}_0 = \mathbf{s}_0 = 0 v0=s0=0,就会获得一个相当大的初始偏差。
我们可以通过使用 ∑ i = 0 t β i = 1 − β t 1 − β \sum_{i=0}^t \beta^i = \frac{1 - \beta^t}{1 - \beta} i=0tβi=1β1βt来解决这个问题。
相应地,标准化状态变量由下式获得

v ^ t = v t 1 − β 1 t  and  s ^ t = s t 1 − β 2 t . \hat{\mathbf{v}}_t = \frac{\mathbf{v}_t}{1 - \beta_1^t} \text{ and } \hat{\mathbf{s}}_t = \frac{\mathbf{s}_t}{1 - \beta_2^t}. v^t=1β1tvt and s^t=1β2tst.

有了正确的估计,我们现在可以写出更新方程。
首先,我们以非常类似于RMSProp算法的方式重新缩放梯度以获得

g t ′ = η v ^ t s ^ t + ϵ . \mathbf{g}_t' = \frac{\eta \hat{\mathbf{v}}_t}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t} + \epsilon}. gt=s^t +ϵηv^t.

与RMSProp不同,我们的更新使用动量 v ^ t \hat{\mathbf{v}}_t v^t而不是梯度本身。
此外,由于使用 1 s ^ t + ϵ \frac{1}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t} + \epsilon} s^t +ϵ1而不是 1 s ^ t + ϵ \frac{1}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t + \epsilon}} s^t+ϵ 1进行缩放,两者会略有差异。
前者在实践中效果略好一些,因此与RMSProp算法有所区分。
通常,我们选择 ϵ = 1 0 − 6 \epsilon = 10^{-6} ϵ=106,这是为了在数值稳定性和逼真度之间取得良好的平衡。

最后,我们简单更新:

x t ← x t − 1 − g t ′ . \mathbf{x}_t \leftarrow \mathbf{x}_{t-1} - \mathbf{g}_t'. xtxt1gt.

回顾Adam算法,它的设计灵感很清楚:
首先,动量和规模在状态变量中清晰可见,
它们相当独特的定义使我们移除偏项(这可以通过稍微不同的初始化和更新条件来修正)。
其次,RMSProp算法中两项的组合都非常简单。
最后,明确的学习率 η \eta η使我们能够控制步长来解决收敛问题。

实现

从头开始实现Adam算法并不难。
为方便起见,我们将时间步 t t t存储在hyperparams字典中。
除此之外,一切都很简单。

%matplotlib inline
import torch
from d2l import torch as d2l


def init_adam_states(feature_dim):
    v_w, v_b = torch.zeros((feature_dim, 1)), torch.zeros(1)
    s_w, s_b = torch.zeros((feature_dim, 1)), torch.zeros(1)
    return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))

def adam(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        with torch.no_grad():
            v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
            s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * torch.square(p.grad)
            v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
            s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
            p[:] -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (torch.sqrt(s_bias_corr)
                                                       + eps)
        p.grad.data.zero_()
    hyperparams['t'] += 1

现在,我们用以上Adam算法来训练模型,这里我们使用 η = 0.01 \eta = 0.01 η=0.01的学习率。

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adam, init_adam_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 't':