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说明

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Ref：《Matlab编程基础与工程应用》（ISBN：978-7-111-57391-3）

 

一、预备知识

　　本文假设读者熟悉C++、Python的基本语法，假设读者了解简单的数学知识。

二、基本语法

2.1  句法结构

　　Matlab程序由语句组成，语句允许嵌套（类同C++中的$a=1,b=2;$、$a+=(b+=c);$等），语句间由空白（$space,tab,enter$及其组合）分隔。

　　Matlab语句可分为有值语句和无值语句（类同C++中$a=1$是有值的，$break$是无值的）。

　　Matlab中语句结尾可用零个或一个分号，因此不必区分表达式与语句（C++中语句=表达式+分号），唯一区别是不带分号的有值语句会实时显示结果。

　　Matlab中续行符、单行注释符、多行注释符分别使用$...,\%,\%\{\cdots\%\}$，相当于C++中的$\backslash,//,/*\cdots */$。

　　Matlab中支持命令行编程和$.m$文件编程，相当于Python中的命令行编程和$.py$文件编程。

　　Matlab中支持显式类型转化与隐式类型转化，显式类型转化类同Python中的$int(a)$，但不允许在目标类型外加小括号（Python允许$(int)(a)$）。

2.2  变量相关

　　Matlab是弱类型语言，变量无需声明即可使用，且可在不同时段指代不同类型，语法类同Python。

　　Matlab合法变量名与C++规则完全类似，除了不能以下划线开头。

　　Matlab数据类型可以分为基本数据类型和复合数据类型。

　　基本数据类型包括：整数（$int8,int16,int32,int64,uint8,uint16,uint32,uint64$）、实数（$single,double$）。

　　复合数据类型包括：矩阵、广义矩阵（元胞）、字符串、结构体。

　　Matlab中也有命题类型（称作$logical$，类同C++中的$bool$），允许用非零值和零值分别表示真命题和假命题，允许在代码中使用$true$和$false$（只能全部小写），但默认存储为$logical$类型的$1$和$0$。

2.3  矩阵

　　Matlab中的矩阵相当于C++中的数组，矩阵可以有任意有限维，但通常只使用到二维。

　　Matlab中所有单个的基本数据都能看作$1\times 1$矩阵，为叙述方便有时也称$1\times n$矩阵、$n\times 1$矩阵为行向量、列向量，后文不再区分。

　　矩阵的生成：

　　①列举法（分号或回车分行，逗号或空白分列）

I=[1 0 0;0 1 0;0 0 1];
X=[1,2,3
4,5,6
7,8,9];

　　②冒号表达式

的      表达式$a:b$返回$1\times max\{0,b-a+1\}$矩阵$[a,a+1,a+2,\cdots,b],a,b\in Z$

的      表达式$a:k:b$返回$1\times max\{0,\lfloor\frac{b-a}{k}\rfloor+1\}$矩阵$[a,a+k,a+2k,\cdots,a+rk],a,b,k\in R,r\in N$，其中$a+rk\le b$且$a+(r+1)k>b$

　　③构造函数

的      $linspace(a,b,n)$返回$1\times n$线性等差矩阵$[a,a+\frac{b-a}{n},a+\frac{2(b-a)}{n},\cdots,b],a,b\in R,n\in N^{*}$

的      $logspace(a,b,n)$返回$1\times n$对数等比矩阵$[10^{a},10^{a+\frac{b-a}{n}},10^{a+\frac{2(b-a)}{n}},\cdots,10^{b}],a,b\in R, n\in N^{*}$

的      $eye(n)$返回$n\times n$单位矩阵

的      $ones(n,m)$返回$n\times m$全$1$矩阵

的      $zeros(n,m)$返回$n\times m$全$0$矩阵

的      $pascal(n)$返回$n\times n$帕斯卡矩阵（$a_{ij}=C_{i+j-2}^{i-1}=C_{i+j-2}^{j-1}$）

的      $magic(n)$返回$n\times n$矩阵，所有元素是$1,2,3,\cdots,n^{2}$的一个排列，且各行各列的和均为$\frac{n(n^{2}+1)}{2}$

的      $rand(n,m)$返回$n\times m$随机矩阵，元素范围为$(0,1)$

的      $randn(n,m)$返回$n\times m$随机矩阵，随机数服从$N(0,1)$

的      $randi(M,n,m)$返回$n\times m$随机矩阵，元素范围为${1,2,3,\cdots,M}$

的      $randperm(n)$返回$1\times n$随机矩阵，所有元素是$1,2,3,\cdots,n$的一个排列

的      $diag(A)$返回$1\times n$矩阵，元素取自矩阵$A$的主对角线（即$a_{i1}=A_{ii}$）

的      $tril(A)$返回由$A$得到的下三角矩阵（右上角置零）

的      $triu(A)$返回由$A$得到的上三角矩阵（左下角置零）

　　矩阵的访问：

　　矩阵访问使用索引访问，索引使用单个圆括号（方括号已被用于矩阵的表示）内添加逗号分隔的每个维度下标组成的行向量或列向量，返回原矩阵的子矩阵，注意$Matlab$中下标从$1$而非$0$开始。例如，访问矩阵$A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]$中所有行第三列的元素，使用$A([1:3],[3])$，返回$[3;6;9]$，注意因为单个基本类型和零维矩阵等价，所以其中的$[3]$也可写为$3$，即$A(3,[2,3])$。如果矩阵在某一维取所有的下标，可以用单个冒号代替行列向量，如对前述的$A$使用$A([1,3],:)$，返回$[1,2,3;7,8,9]$。

　　矩阵的扩展：

　　矩阵可以扩展为更高维度，对$n$维矩阵超过$n$的维度访问并赋值，会自动扩展矩阵的维度，没有被访问赋值的元素默认初始值为零。例如，对矩阵$A=[1,2;3,4]$使用$A(1,[1,2],3)=[4,5]$，会把矩阵$A$扩展为三维，第一层是$[1,2;3,4]$，第二层是$[0,0;0,0]$，第三层是$[4,5;0,0]$。

　　当我对上述三维矩阵尝试使用$[[1,2;3,4];[0,0;0,0];[4,5;0,0]]$生成时，会发现得到的结果为二维矩阵$[1,2;3,4;0,0;0,0;4.5;0,0]$而非三维矩阵，进一步测试发现$[[2],[[[3,3]]]]$的结果为$[2,3,3]$。对此我认为可以这么理解，$Matlab$中的矩阵默认是二维的，中括号只是一个运算符，作用相当于强制类型转换为矩阵，这就能解释为什么在一个矩阵外面嵌套任意有限多个中括号，值均不变。

　　对于零元素很多的矩阵，$Matlab$提供了一种节省内存的存储方法，即只存储非零元素的值和位置，称作稀疏矩阵。使用$sparse(R,C,V,n,m)$返回$n\times m$稀疏矩阵，向量$R,C,V$对应元素分别表示非零元素的行下标、列下标和值，$R,C,V$同时缺省时矩阵没有非零元，$m,n$缺省时自动选取最小的行和列。例如$sparse([1,1,2],[3,2,1],[1,4,2],3,3)$生成的矩阵为$[0,4,1;2,0,0;0,0,0]$。稀疏存储和完全存储的矩阵可以直接进行运算。

2.4  广义矩阵

　　矩阵同C++的数组类似，要求每个元素类型相同，但Matlab也允许元素类型不同的广义矩阵，也称作元胞。将矩阵的中括号改为大括号，便能得到元胞。

　　元胞的生成：

　　①列举法（分号或回车分行，逗号或空白分列）

A={\'Hello World\',[2:4:10];13,[1;2]}
B={{2,3} 5
[23,4] \'23\'}

　　②赋值法（矩阵也可以类似生成，不过没有必要）

a(1,1)={[1,2,3]}
a(1,2)={\'hello\'}
a(2,1)={[0:1:2]}
a(2,2)={18}
%a={[1,2,3],\'hello\';[0:1:2],18}

　　③构造函数

的      $cell(d_{1},d_{2},\cdots,d_{r})$返回$d_{1}\times d_{2}\times\cdots d_{r}$空广义矩阵。特别地，若$r=1$，返回$d_{1}\times d_{1}$空广义矩阵。

　　元胞的访问：

　　元胞访问使用索引访问，获取子元胞的规则和矩阵类似，使用圆括号加逗号分隔的下标向量。

a={{2,3},{3,4};{5},{1,2,3}}
b=a(2,2)
%b={{1,2,3}}

　　每个嵌套最底层的元胞都是一个矩阵（见后文元胞的扩展），而又可以通过索引访问矩阵的子元素，因此对元胞连用两次括号便能得到矩阵子元素，不过Matlab规定以此法访问两个括号分别使用大括号和小括号，访问结果仍是元胞。

a={{2,3},{3,4};{5},{1,2,3}}
b=a{2,2}(3)
%b={[3]}

　　元胞的扩展：

　　元胞扩展规则与矩阵相同，访问超出当前大小的部分自动扩展，且默认补齐空元胞。

　　与2.3中类似地使用${{1,2;3,4};{0,0;0,0};{4,5;0,0}}$得到二维元胞，但使用${{2},{{{3,3}}}}$却得到${{2},{3,3}}$而非矩阵中类似的${2,3,3}$。对此可以得到这样一种理解，矩阵的元素均为矩阵，元胞的元素均为元胞，但矩阵可以再分，可以通过逗号直接拼接成一个矩阵，而元胞不可再分（矩阵$[2,3]$中有两个元素，但元胞${{2,3}}$中只有一个元素），中括号相当于强制类型转化为矩阵，大括号相当于强制类型转化为元胞，矩阵嵌套任意有限多次结果不变，但元胞嵌套最内层默认不可再分（元胞${{2,3}}$中只有一个元素${[2,3]}$，但元胞${2,3}$相当于${{[2]},{[3]}}$有两个元素），嵌套最底层的元胞都是一个矩阵，因此元胞可看作矩阵的另一种扩展。

2.5  矩阵操作

　　数学函数：

的      三角、反三角函数（$sin(),cos(),tan(),cot(),sec(),csc(),asin(),acos(),atan(),acot(),asec(),acsc()$）

的      双曲、反双曲函数（$sinh(),cosh(),tanh(),coth(),sech(),csch(),asinh(),acosh(),atanh(),acoth(),asech(),acsch()$）

的      幂、指数、对数函数（$exp(),log(),log2(),log10(),sqrt(),pow2(),realpow(,),reallog(),realsqrt(),nextpow2()$）

的      $realpow(A,B)$传入两个矩阵，对应元素作幂运算

的      $nextpow2(A)$传入矩阵，对每个元素$a$取结果$\lceil log_{2}a\rceil$

a=[1 2;3 4];
b=nextpow2(a);
%b=[0 1;2 2]

　　复数函数（$abs(),angle(),real(),conj(),complex(,)$）：

的      $angle(A)$传入复矩阵，对每个元素取弧度制辐角

的      $conj(A)$传入复矩阵，对每个元素取共轭

的      $complex(A,B)$传入两个实矩阵，对应元素分别作为复数的实部和虚部

　　整数函数（$fix(),round(),floor(),ceil(),sign(),rem(,),mod(,)$）：

的      $fix()$向零取整，$round()$向最近的整数取整；$rem(,)$返回值符号为正，$mod(,)$返回值符号与第二个参数相同

a=[11 -13;17 -19];
b=[3 3;-3 -3];
c=rem(a,b);
d=mod(a,b);
%c=[2 -1;2 -1]
%d=[2 2;-1 -1]

　　矩阵函数（$size(),length(),ndims(),numel(),cat(,,,\cdots,),disp(),reshape()$）：

的      $size()$返回矩阵各维度尺寸组成的向量，$length()$返回各维度尺寸的最大值，$ndims()$返回矩阵维数，$numel$返回矩阵元素数

的      $cat(n,A_{1},A_{2},\cdots,A_{m})$合并$m$个矩阵，$n=1$时返回$[A_{1};A_{2};\cdots;A_{m}]$，$n=2$时返回$[A_{1},A_{2},\cdots,A_{m}]$，$n=3$时扩展为三维

a=[1 2;3 4];
b=[5 6;7 8];
c=cat(1,a,b);
d=cat(2,a,b);
e=cat(3,a,b);
%c=[1 2;3 4;5 6;7 8]
%d=[1 2 5 6;3 4 7 8]
%e(:,:,1)=[1 2;3 4]
%e(:,:,2)=[5 6;7 8]

　　矩阵运算：

的      $\',inv(),^,*,+,-,/,\backslash,det(),rank(),eig(),trace()$

　　矩阵分解（$chol(),lu(),svd(),qr()$）：

的      $chol(A)$传入正定矩阵，进行$Cholesky$分解，返回上三角矩阵$R$，使得$A=R*R\'$

的      $lu(A)$传入方阵，进行$LU$分解，返回三个矩阵$[L,U,P]$，使得$A*P=L*U$

的      $svd(A)$传入方阵，进行奇异值分解，返回三个矩阵$[U,S,V]$，使得$A=U*S*V,UU\'=U\'U=VV\'=V\'V=E$且$S$是对角元素降序排列的非负对角矩阵

的      $qr(A)$传入方阵，进行正交三角分解，返回两个矩阵$[Q,R]$，使得A=Q*R$且$Q$是正交矩阵，$R$是和$A$大小相同的上三角矩阵

　　稀疏存储：

的      $sparse(A)$传入矩阵，转化为稀疏存储；$full(A)$传入矩阵，转化为完全存储

的      $speye(n)$返回$n\times n$单位稀疏矩阵

2.6  字符串

　　字符串是特殊的$1\times n$矩阵，但不大区分字符和字符串的差别（类似Python），最小单元也是字符串。

　　Matlab中字符串有两种类型，$char$和$string$，不加声明时系统默认选择$char$存储。

　　Matlab中字符串支持单引号和双引号的混用，规则类同Python。

　　字符串生成：

　　①列举法（单引号列举默认存储为$char$类型，双引号列举默认存储为$string$类型，二者可以显示类型转化）

a=\'23\'
b="23"
%class(a)=\'char\'
%class(b)=\'string\'
%expression a==b equals true

　　②构造函数

的      $blanks(n)$生成$1\times n$全由空格组成的字符串，存储方式为$char$

的      $deblank(s)$传入字符串，返回$s$删除尾部空格后的字符串，存储方式与$s$相同

的      $upper(s)$传入字符串，返回$s$大写全部字母后的字符串，存储方式与$s$相同

的      $lower(s)$传入字符串，返回$s$小写全部字母后的字符串，存储方式与$s$相同

的      $strcat(s_{1},s_{2},\cdots,s_{r}$传入若干字符串，返回水平拼接的字符串，参数中有$string$时以$string$存储，否则以$char$存储

的      $strvcat(s_{1},s_{2},\cdots,s_{r}$传入若干字符串，返回$r\times 1$字符串矩阵，存储方式为$char$

　　字符串访问：

　　因为字符串本质上就是矩阵，所以访问方式与矩阵的索引访问相同。

　　字符串存储方式：

a=[\'23,\'233\']
%a=[\'23233\'\'
b=[\'23\',"233"]
%b=["23","233"]
c=["23",\'233\']
%c=["23","233"]
d=["23","233"]
%d=["23","233"]

x=int32(\'abc123\')
%x=[97,98,99,49,50,51]
y=double(\'abc123\')
%y=[97,98,99,49,50,51]
z=int32("abc123")
%Syntax Error
w=double("abc123")
%w=NaN

　　上述结果可以归纳出，$char$存储方式与$string$存储方式最大的不同点在于，$char$类型可以再分而$string$类型不可再分。换言之，$string$类型相当于将所含字符封装为一个整体。两个$char$用逗号隔开，逗号的作用是拼接（相当于C++中$string$类型的加号），而两个$string$或一个$char$一个$string$用逗号隔开，只发生在矩阵中列举两个元素，且存储方式会全部使用$string$。$char$类型字符串可以按$Unicode$编码将每个字符转化为数值类型，但$string$类型不支持。

2.7  结构体

　　Matlab中的结构体类同C++的$struct$，但由于Matlab是弱类型语言，在使用时直接赋值便可生成。

　　结构体生成：

　　①赋值法

student.name=\'Linda\'
student.age=9
student.ID=\'001\'
student.sex=\'female\'

的      结构体也可以作为矩阵的元素，形成结构体数组，生成方法相同。

student(1).name=\'Linda\'
student(1).sex=\'female\'
student(2).name=\'Sam\'
student(2).sex=\'male\'

　　②构造函数

的      $struct(c_{1},\{ v_{1}\},c_{2},\{ v_{2}\}\cdots,c_{r},\{ v_{r}\})$返回字段类型分别为$c_{1},c_{2},\cdots,c_{r}$、字段值分别为$v_{1},v_{2},\cdots,v_{r}$的结构体

　　结构体访问：

　　单个结构体的访问方式使用点，与C++相同。

　　因为结构体数组本质上就是矩阵，所以访问方式与矩阵的索引访问相同。

2.8  常量相关

　　Matlab中常量定义使用$global$，相当于C++中的$const$，但不能同时声明和赋值，赋初始值只能分成两个语句。

global e
e=exp(1)

　　固定变量：

的      $ans$返回最近一次没有赋值给其他变量的操作结果，仅限于命令行编程（即如果一个操作没有赋值，会默认赋值给$ans$）

的      $i$或$j$返回虚数单位

的      $pi$返回圆周率

的      $eps$返回浮点数相对精度，值约为$2.2204e-16$

的      $Inf$或$inf$返回无穷大

的      $nan$或$NaN$返回不定值

的      $realmax$返回最大正浮点数，值约为$1.7977e308$

的      $realmin$返回最小正浮点数，值约为$2.2251e-308$

的      $nargin$返回实际传入的参数个数，仅限于函数

的      $nargout$返回实际传出的参数个数，仅限于函数

　　可以发现以上常量都是可以被赋为其他值的，因此这些量可以看作系统默认赋值。

a=eps
%a=2.2204e16
eps=[2,3,4]
a=eps
%a=[2,3,4]

2.9  控制结构

　　循环结构（$break;$和$continue;$语句规则与C++相同）：

　　①$for$循环

for 变量=矩阵
    循环体
end

　　②$while$循环

while 命题
    循环体
end

　　选择结构：

　　①$if-elseif-else$选择

if 命题1
    代码块1
elseif 命题2
    代码块2
elseif 命题3
    代码块3
……
elseif 命题m
    代码块m
else
    代码块(m+1)
end

　　②$switch-case$选择

switch 表达式0
    case 表达式1
        代码块1
    case 表达式2
        代码块2
    ……
    case 表达式m
        代码块m
    otherwise
        代码块(m+1)
end

 三、数值计算

　　Matlab中用向量存储多项式。对于多项式$F(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0},a_{0}\ne 0$，根据代数基本定理，其有$n$个复根，分别记作$c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}$。$F(x)$的$n+1$个系数唯一确定多项式$F(x)$，因此$[a_{n},a_{n-1},\cdots,a_{0}]$可以刻画$F(x)$，称作$F(x)$的系数矩阵；$F(x)$的$n$个复根也唯一确定多项式$F(x)$，因此$[c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}]$也可以刻画$F(x)$，称作$F(x)$的零点矩阵。系数矩阵（元素有序）和零点矩阵（元素无序）是多项式的两种表示，既可以用行向量也可以用列向量。

　　多项式操作：

的      $roots(A)$传入系数矩阵，返回零点矩阵

的      $poly(A)$传入零点矩阵，返回系数矩阵

的      $polyval(A,x)$传入系数矩阵和实数，返回多项式在该点的值

的      $polyvalm(A,X)$传入系数矩阵和矩阵，返回多项式以该矩阵为自变量的取值

的      $residue(P,Q)$传入两个系数矩阵，进行部分分式展开，返回$1\times 3$矩阵

的      一般地，若$\frac{P(x)}{Q(x)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{r_{i}}{x-p{i}}+k(x)$，$residue(P,Q)$返回$[[r_{1},r_{2},\cdots,r_{n}];[p_{1},p_{2},\cdots,p_{n}];K]$

的      例如$\frac{x^{2}+2x+2}{x+1}=\frac{1}{x+1}+x+1$，进行$P=[1,2,2];Q=[1,1];[r,p,k]=residue[P,Q]$后$r=[1];p=[-1];k=[1,1]$

的      $polyder(A)$传入系数矩阵，返回求导后的多项式的系数矩阵

的      $polyint(A,b)$传入系数矩阵和实数，返回多项式积分后零次项取$b$的多项式的系数矩阵

的      $conv(P,Q)$传入两个系数矩阵，返回乘积多项式的系数矩阵

的      $deconv(P,Q)$传入两个系数矩阵，返回商多项式的系数矩阵

的      $polyfit(X,Y,n)$传入样本点横纵坐标向量和整数，返回最小二乘意义下$n$次拟合多项式的系数矩阵

四、符号计算

4.1  符号变量

　　符号生成：

　　①列举法（$syms+$空格分隔的符号名）

sym x y z

　　②构造函数

sym(\'x\');
sym(\'x\',\'real\');%实型
sym(\'x\',\'unreal\');%非实型

4.2  符号矩阵

syms a b c d m;

A=[a b;c d];
B=det(A);
C=inv(A);
%B=a*d-b*c
%C=[d/(a*d-b*c),-b/(a*d-b*c);-c/(a*d-b*c),a/(a*d=b*c)]

A=[a b c d;b c d a;c d a b;d a b c];
s=sum(A(1,:));
A(4,4)=m;
%s=a+b+c+d
%A=[a b c d;b c d a;c d a b;d a b m];

4.3  符号微分

的      $diff(y,\'t\')$返回$\frac{\partial y}{\partial t}$

的      $diff(y,\'t\',n)$返回$\frac{\partial^{n}y}{\partial t^{n}}$

4.4  符号积分

的      $diff(f,t)$返回$\lmoustache fdt$，积分常数取零

的      $diff(f,t,a,b)$返回$\lmoustache_{a}^{b}fdt$

syms x y z;
syms a b c;

z=a*x^2+b*x*y+c/x;
p=int(z,x);
q=int(z,y);
r=int(z,c,-1,1);

%p=(a*x^3)/3 + c*log(x) + (b*x^2*y)/2
%q=(b*x*y^2)/2 + (a*x^2 + c/x)*y
%r=2*a*x^2 + 2*b*y*x

4.5  符号累加

的      $symsum(f,a,b)$返回$\sum_{i=a}^{b}f(x)$，$x$是默认自变量

的      $symsum(f,t,a,b)$返回$\sum_{i=a}^{b}f(t)$

syms x,y,z;

y=symsum(1/x^2,x,1,inf);
z=symsum(1/x^4,x,1,inf);

%y=pi^2/6
%z=pi^4/90

4.6  符号泰勒展开

的      $taylor(f,t,a,\'order\',n)$返回$f(t)$在$t=a$处$n$阶泰勒展开式

syms x,y;

y=taylor(exp(x),x,1,\'order\',4);

%y=exp(1) + exp(1)*(x - 1) + (exp(1)*(x - 1)^2)/2 + (exp(1)*(x - 1)^3)/6

4.7  符号极限

的      $limit(f,x,a)$返回$\lim\limits_{x\to a}f(x)$

的      $limits(f,x,a,\'right\')$返回$\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)$

的      $limits(f,x,a,\'left\')$返回$\lim\limits_{x\to a^{-}}f(x)$

syms k x;
a=limit(sin(k*x)/x,x,0)
%a=k

4.8  符号方程组

的      $solve(\'e_{1}\',\'e_{2}\',\cdots,e_{n},x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$传入$n$个等于零符号表达式，返回符号方程组的解结构体

syms x y a b
s=solve(x+y-a,x-y-b,x,y)
%s.x=a/2+b/2
%s.y=a/2-b/2

4.9  符号表达式操作

的      $expand(A)$传入符号矩阵，对每个元素去括号展开后返回

的      $factor(A)$传入符号矩阵，对每个元素因式分解后返回

的      $collect(A)$传入符号矩阵，对每个元素合并同类项后展返回

的      $simplify(A)$传入符号矩阵，对每个元素化简后返回