数学笔记 如何计算协方差、 协方差矩阵 、 相关系数 、 马氏距离

时间：2024-03-10 12:14:03

https://www.cnblogs.com/luoyinjie/p/11151896.html 

 

 

 

1. 旋转坐标系 

做图像处理很多时候需要用到这个公式

 

2. 什么是矩阵的秩

「秩」是图像经过矩阵变换之后的空间维度

「秩」是列空间的维度

我们通过旋转矩阵 \begin{bmatrix}cos(\theta)&-sin(\theta)\\sin(\theta)&cos(\theta)\end{bmatrix} 进行变换：  [x\',y\']   =   [x,y]\begin{bmatrix}cos(\theta)&-sin(\theta)\\sin(\theta)&cos(\theta)\end{bmatrix}

这只是把图像旋转了 ， 并没有改变图像的秩，秩仍为2   

 

 

3. 

极大后验（maximum a posteriori, MAP）假设：

学习器考虑候选假设集合H并在其中寻找给定数据D时可能性最大的假设h∈H（或者存在多个这样的假设时选择其中之一）这样的具有最大可能性的假设被称为极大后验（maximum a posteriori, MAP）假设。确定MAP假设的方法是用贝叶斯公式计算每个候选假设的后验概率。

更精确地说当下式成立时，称hMAP为—MAP假设：


（在最后一步我们去掉了P(D)，因为它是不依赖于h的常量）

极大似然（maximum likelihood，ML）假设

在某些情况下，可假定H中每个假设有相同的先验概率（即对H中任意hi和hj，P(hi)=P(hj)）。这时可把上式进一步简化，只需考虑P(D|h)来寻找极大可能假设。P(D|h)常称为给定h时数据D的似然度（likelihood），而使P(D|h)最大的假设被称为极大似然（maximum likelihood，ML）假设hML。

 

 

 

4.   求矩阵的模

 

 

 

 

5. 平面在直角坐标系中的表达方式，

若知平面上的一点 M0(X0,Y0,Z0)和该平面的法矢量 N(A,B,C),就可以建立该平面的方程。该平面上任一点 M(X,Y,Z), 则矢量 M0M 与矢量 N 垂直，两矢量的
为零，用坐标表示方程 A（X - X0) + B(Y - Y0) + C(Z - Z0) = 0 ,这就是平面的

5.1   已知两点，求直线在三维坐标中的表达式




 




5.2 求直线与平面的交点， 联立方程求解就行了



5.3 已知直线的球坐标  A(r，α, β)   求OA的直线表达式   α 为直线在x-y平面投影与x轴夹角， 逆时针旋转为正，   β为直线与x-y平面夹角， z>0时，β为正
x = cosαt 
y = -sinαt
z = tanβt



6. 点到平面的距离
点到平面的距离：
点(x0,y0,z0)到了平面Ax+By+Cz+D=0的距离
为：d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)




7.  已知三点求三点所在的平面




 






 


 


 


8.   矩阵


8.1. 矩阵的转置的基本性质




8.2. 矩阵乘法性质




 


 


 9   稀疏矩阵是什么


在矩阵中，若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目，并且非0元素分布没有规律时，则称该矩阵为稀疏矩阵


 


 10  牛顿法求非线性函数   f(x) = 0




 




11  已知两点求  直线方程  两点式
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)。


12  凸优化



13  向量点积 x*y = |x||y|cosθ  表示为， x在y方向的投影乘以y在x方向的投影

x在y方向的投影   =  x*y / |y|



 14  范数


　　L1 范数    


 


 　　L2 范数   


 


 


15   函数关于直线的对称方程




　　由上可以求得 


　　　　f( x, y ) 关于  y = -x +1 对称的方程为  f(1-y, 1-x)


　　　　f( x, y ) 关于  y = x  对称的方程为  f(y, x)


　　


　　


 


16  给定初始点(x1, y1) (x2, y2)  目标点 (x1‘, y1\') (x2\', y2\') 求映射矩阵   x\' = Mx   M ={  {a1 a2}, { b1,b2 } }


　　x\' = a1x + a2y


　    y\' = b1x + b2y


　　x1 y1 0 0 


　　0 0 x1 y1                       *   [a1 a2 b1 b2]T   =  [x1\' y1\' x2\' y2\']\' 


　　x2 y2 0 0


　　0 0 x2 y2


　　左右同时乘以 M-1 既可算出结果


 


17   一些曲线的平滑函数


   1. Quadratic Bézier curves  https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve     ----已知曲线端点P0 P2,  P0P1 P0P2 分别与曲线相切  




 


 


四个点的贝塞尔曲线




 


 


 


 


 


 


    2. Hermite 曲线     https://www.cnblogs.com/jqm304775992/p/5044728.html   已知两点和两点的切线， 与贝塞尔曲线的区别是， 贝塞尔是一个点控制切线， hermite 是两个点控制切线




 


具体求参数的C语言函数：f(t) = at3 + bt2 +ct +d  其中 abcd 均为向量




void genHermiteParams(Vec2f p0, Vec2f p1, Vec2f r0, Vec2f r1, Vec2f & a, Vec2f& b, Vec2f& c, Vec2f& d)
{
    a = 2 * p0 - 2 * p1 + r0 + r1;
    b = -3 * p0 + 3 * p1 - 2 * r0 - r1;
    c = r0;
    d = p0;
}




 


 


 


 


 





            

            
        

	    
	    
    


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