割补法定义
使用场景
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一般到特殊，
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四面体割补得到长方体，正四面体割补得到正方体；可以参见下面的数学常识储备。
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在涉及棱柱和棱锥的外接球中，常考虑使用割补法，具体操作如下：就是把符合条件的棱柱或棱锥放入长方体中，从而把问题转化为长方体的外接球问题，这是转化与划归思想的应用。
适合这种方法的情况小结如下：
①正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥。
②同一个顶点上三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥。
③若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补体成长方体或正方体。
④若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将棱锥补体成长方体或正方体。
常识储备
- 如图所示的是正方体\(ABCD-A\'B\'C\'D\'\)，有如下的常用结论：
(1)体对角线\(B\'D\perp\)平面\(ACD\'\)(如图1)
证明：令体对角线\(B\'D\)和平面\(ACD\'\)的交点是\(N\)，由正四面体\(B\'-ACD\'\)可知，\(N\)是三角形底面的中心，连接\(OD\'\)，则易知\(AC\perp BD\)，\(AC\perp BB\'\)，故\(AC\perp B‘D\)，同理\(AD\'\perp B\'D\)，故体对角线\(B\'D\perp\)平面\(ACD\'\)。
(2)\(DN=\cfrac{1}{3}B\'D\)(如图1，利用等体积法)
(3)平面\(ACD\'//A\'BC\'\)(如图2)
(4)平面\(ACD\'\)与平面\(A\'BC\'\)的间距是\(\cfrac{1}{3}B\'D\)，即体对角线的\(\cfrac{1}{3}\)(如图2)
(5)三棱锥\(B\'-ACD\'\)是正四面体。三棱锥\(D-ACD\'\)是正三棱锥。
(6)如果需要将正四面体或者墙角型的正三棱锥恢复还原为正方体，我们可以先画出正方体，然后在里面找出需要的正四面体或者墙角型正三棱锥。
典例剖析：
分析：如下图所示，构造此四面体，要直接求解\(a\)，很困难，此时可以考虑将其放置到长方体中，这样我们就想到割补法。
由题意可采用割补法，考虑到四面体\(ABCD\)的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以\(a\)，\(\sqrt{5}\)，\(\sqrt{5}\)为三边的三角形作为底面，且分别为\(x\)，\(y\)，\(z\)为侧棱长、且侧棱两两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为\(x\)，\(y\)，\(z\)的长方体，
则有\(x^2+y^2=5\)，\(x^2+z^2=5\)，\(y^2+z^2=a^2\)，设球半径为\(R\)，则有\((2R)^2=x^2+y^2+z^2=\cfrac{1}{2}a^2+5\)，
又由于四面体\(ABCD\)的外接球的表面积为\(9\pi\)，则球的表面积为\(S=4\pi R^2=9\pi\)．
即\(4R^2=9\)，则\(\cfrac{1}{2}a^2+5=9\)，解得\(a=2\sqrt{2}\)。
分析：我们可以将此三棱锥还原为正方体的一部分，补体并特殊化为为正方体的一个角，如图所示，
且正方体有个外接球，那么点\(Q\)到平面\(ABC\)的距离的最大值即是正方体的体对角线的\(\cfrac{2}{3}\)，而体对角线长为\(\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}\)，故所求值为\(\cfrac{4\sqrt{3}}{3}\)。
分析：本题目关键是求球的半径\(R\) ，如上例中的模型，已知的三点可以安放在图中的点\(A\'、B、C\'\)处，但是要注意，
已知的平面\(ABC\)和模型中的平面\(A\'BC\'\)平行，不一定重合，此时求半径问题就转化为求正三棱锥的侧棱的长问题了，
而且此时正三棱锥的底面边长为\(2\sqrt{3}\)，正三棱锥的高是1，高的垂足\(E\)是下底面的中心，
则其侧棱\(OA\)，\(OA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)，故\(R=\sqrt{5}\)，
故该球的体积\(V_球=\cfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot R^3=\cfrac{20\sqrt{5}}{3}\pi\)。
【法1】空间向量法，第一种建系方式；以点\(A\)为坐标原点，以\(AC\)，\(AA_1\)分别为\(y\)、\(z\)轴，以和\(AC\)垂直的直线为\(x\)轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则\(A(0，0，0)\)，\(B(\sqrt{3}，1，0)\)，\(A_1(0，0，2)\)，\(B_1(\sqrt{3}，1，2)\)，\(C(0，2，0)\)，
\(\overrightarrow{AB_1}=(\sqrt{3}，1，2)\)，\(\overrightarrow{A_1C}=(0，2，-2)\)，且线线角的范围是\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)，
故所求角的余弦值为\(|cos<\overrightarrow{AB_1}，\overrightarrow{A_1C}>|=\cfrac{|1\times 2+2\times(-2)|}{\sqrt{8}\times\sqrt{8}}=\cfrac{1}{4}\)。故选\(C\)。
【法2】：立体几何法，补体平移法，将正三棱柱补体为一个底面为菱形的直四棱柱，连结\(B_1D\)，则\(B_1D//A_1C\)，
故异面直线\(AB_1\)与\(CA_1\)所成角，即转化为共面直线\(AB_1\)与\(B_1D\)所成的角\(\angle AB_1D\)，连结\(AD\)，
在\(\Delta AB_1D\)中，\(AB=AA_1=2\)，可得\(AB_1=B_1D=2\sqrt{2}\)，\(AD=2\sqrt{3}\)，
由余弦定理可知，\(cos\angle AB_1D=\cfrac{(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2}{2\times 2\sqrt{2}\times 2\sqrt{3}}=\cfrac{1}{4}\)，
故所求为\(\cfrac{1}{4}\)，故选\(C\)。
分析：平面图形如左图，立体图形如右图所示，\(\angle MAC=\angle MAD=\cfrac{\pi}{2}\)，下来的重点是如何将四面体放置在球体内部。
可以这样来思考，将最特殊的面\(ACD\)放置在下底面，这样方便来放置和下底面垂直的侧棱，如下图所示；
底面圆的圆心\(O\'\)为下底面正三角形的重心，\(O\)为球心，则\(OA=OM=R\)，由于\(\triangle ACD\)为等边三角形，\(AC=2\)，则\(CH=1\)，\(AH=\sqrt{3}\)，则\(AO\'=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\)，过点\(O\)做\(OK\perp AM\)于\(K\)，则\(OK=AO\'=\cfrac{2\sqrt{3}}{3}\)，又\(AK=\cfrac{1}{2}AM=\cfrac{1}{2}\)，在\(Rt\triangle AOK\)中，由勾股定理可知\(R^2=(\cfrac{2\sqrt{3}}{3})^2+(\cfrac{1}{2})^2=\cfrac{19}{12}\)，故\(S_{球O}=4\pi R^2=\cfrac{19\pi}{3}\)。
补充说明：如果想不清这一点，还可以想着将四面体补体成一个直三棱柱，如下图的动图所示，
解后反思：当一条侧棱和下底面垂直时，常将三棱锥\(M-ACD\)补体成直三棱柱\(MC\'D\'-ACD\)，这样容易想清楚。
分析：补体并特殊化为为正方体的一个角，如图所示，
则体对角线长为\(3\sqrt{3}\)，即\(R=\cfrac{3\sqrt{3}}{2}\)，故\(S_{表}=4\pi R^2=27\pi\).