MATLAB符号运算(1)

时间:2024-03-08 16:50:25

3章  符号运算

3.1  算术符号操作

命令  +-*.*\、.\、/./、^、.^、’、.’

功能  符号矩阵的算术操作

用法如下:

A+BA-B  符号阵列的加法与减法。

AB为同型阵列时,A+BA-B分别对对应分量进行加减;若A与B中至少有一个为标量,则把标量扩大为与另外一个同型的阵列,再按对应的分量进行加减。

A*B   符号矩阵乘法。

A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩阵B的行数。即:若An*k*Bk*m=(aij)n*k.*(bij)k*m=Cn*m=(cij)n*m,则,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m。或者至少有一个为标量时,方可进行乘法操作,否则将返回一出错信息。

A.*B   符号数组的乘法。

A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。AB必须为同型阵列,或至少有一个为标量。即:An*m.*Bn*m=(aij)n*m.*(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m,则cij= aij* bij,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m。

A\B    矩阵的左除法。

X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是,A\B近似地等于inv(A)*B。若X不存在或者不唯一,则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵(即非正方形矩阵),但此时要求方程组必须是相容的。

A.\B   数组的左除法。

A.\B为按对应的分量进行相除。若AB为同型阵列时,An*m.\Bn*m=(aij)n*m.\(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m,则cij= aij\ bij,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m。若若A与B中至少有一个为标量,则把标量扩大为与另外一个同型的阵列,再按对应的分量进行操作。

A/B    矩阵的右除法。

X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是,B/A粗略地等于B*inv(A)。若X不存在或者不唯一,则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵(即非正方形矩阵),但此时要求方程组必须是相容的。

A./B    数组的右除法。

A./B为按对应的分量进行相除。若AB为同型阵列时,An*m./Bn*m=(aij)n*m./(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m,则cij= aij/bij,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量,则把标量扩大为与另外一个同型的阵列,再按对应的分量进行操作。

A^B    矩阵的方幂。

计算矩阵A的整数B次方幂。若A为标量而B为方阵,A^B用方阵B的特征值与特征向量计算数值。若A与B同时为矩阵,则返回一错误信息。

A.^B    数组的方幂。

A.^B为按A与B对应的分量进行方幂计算。若AB为同型阵列时,An*m..^Bn*m=(aij)n*m..^(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m,则cij= aij^bij,i=1,2,…,n;j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量,则把标量扩大为与另外一个同型的阵列,再按对应的分量进行操作。

A\'      矩阵的Hermition转置。

若A为复数矩阵,则A\'为复数矩阵的共轭转置。即,若A=(aij)=(xij+i*yij),则。

A.\'      数组转置。

A.\'为真正的矩阵转置,其没有进行共轭转置。

3-1

>>syms a b c d e f g h;

>>A = [a b; c d];

>>B = [e f; g h];

>>C1 = A.*B

>>C2 = A.^B

>>C3 = A*B/A

>>C4 = A.*A-A^2

>>syms a11 a12 a21 a22 b1 b2;

>>A = [a11 a12; a21 a22];

>>B = [b1 b2];

>>X = B/A;  % 求解符号线性方程组X*A=B的解

>>x1 = X(1)

>>x2 = X(2)

计算结果为:

C1 =

    [ a*e, b*f]

    [ c*g, d*h]

C2 =

    [ a^e, b^f]

    [ c^g, d^h]

C3 =

    [ -(a*c*f+c*b*h-a*e*d-b*d*g)/(a*d-b*c),   (a*b*h-b^2*g+a^2*f-b*a*e)/(a*d-b*c)]

    [ -(-c*e*d+c*d*h+c^2*f-d^2*g)/(a*d-b*c),   (a*d*h+a*c*f-b*c*e-b*d*g)/(a*d-b*c)]

C4 =

    [        -b*c, b^2-a*b-b*d]

    [ c^2-a*c-d*c,        -b*c]

 x1 =

     (-a22*b1+b2*a21)/(a12*a21-a11*a22)

 x2 =

    -(-a12*b1+a11*b2)/(a12*a21-a11*a22)

3.2  基本运算

命令1  合并同类项

函数  collect

格式  R = collect(S)    %对于多项式S中的每一函数,collect(S)按缺省变量x的次数合并系数。

R = collect(S,v)   %对指定的变量v计算,操作同上。

3-2

>>syms x y;

>>R1 = collect((exp(x)+x)*(x+2))

>>R2 = collect((x+y)*(x^2+y^2+1), y)

>>R3 = collect([(x+1)*(y+1),x+y])

计算结果为:

R1 =

     x^2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)

R2 =

     y^3+x*y^2+(x^2+1)*y+x*(x^2+1)

R3 =

     [ (y+1)*x+y+1,  x+y]

命令2  列空间的基

函数  colspace

格式  B = colspace(A)   %返回矩阵B,其列向量形成由矩阵A的列向量形成的空间的坐标基,其中A可以是符号或数值矩阵。而size(colspace(A),2)等于rank(A)。即由A生成的空间维数等于A的秩。

3-3

>>syms  a b c

>>A = sym([1,a;2,b;3,c])

>>B = colspace(A)

计算结果为:

   A =

       [ 1, a]

       [ 2, b]

       [ 3, c]

   B =

       [                1,                0]

       [                0,                1]

       [ -(3*b-2*c)/(-b+2*a),   (-c+3*a)/(-b+2*a)]

命令 复合函数计算

函数  compose

格式  compose(f,g)   %返回复合函数f[g(y)],其中f=f(x),g=g(y)。其中符号x为函数f中由命令findsym(f) 确定的符号变量,符号y为函数g中由命令findsym(g) 确定的符号变量。

compose(f,g,z)   %返回复合函数f[g(z)],其中f=f(x),g=g(y),符号xy为函数fg中由命令findsym确定的符号变量。

compose(f,g,x,z)   %返回复合函数f[g(z)],而令变量x为函数f中的自变量f=f(x)。令x=g(z),再将x=g(z)代入函数f中。

compose(f,g,x,y,z)   %返回复合函数f[g(z)]。而令变量x为函数f中的自变量f=f(x),而令变量y为函数g中的自变量g=g(y)。令x=g(y),再将x=g(y)代入函数f=f(x)中,得f[g(y)],最后用指定的变量z代替变量y,得f[g(z)]。

3-4

>>syms x y z t u v;

>>f = 1/(1 + x^2*y); h = x^t; g = sin(y); p = sqrt(-y/u);

>>C1 = compose(f,g)  % x=g=sin(y),再替换f中的变量x=findsym(f)。

>>C2 = compose(f,g,t)  % x=g=sin(t),再替换f中的变量x=findsym(f)。

>>C3 = compose(h,g,x,z)  % x=g=sin(z),再替换h中的变量x

>>C4 = compose(h,g,t,z)  % 令t=g=sin(z),再替换h中的变量t

>>C5 = compose(h,p,x,y,z)  % x=p(y)=sqrt(-y/u),替换h中的变量x,再将y换成z

>>C6 = compose(h,p,t,u,z)  % 令t=p(u)=sqrt(-y/u),替换h中的变量t,再将u换成z

计算结果为:

   C1 =

        1/(1+sin(y)^2*y)

   C2 =

        1/(1+sin(t)^2*y)

   C3 =

        sin(z)^t

   C4 =

        x^sin(z)

   C5 =

        ((-z/u)^(1/2))^t

   C6 =

        x^((-y/z)^(1/2))

命令 符号复数的共轭

函数  conj

格式  conj(X)   %返回符号复数X的共轭复数

3-5

    X=real(X) + i*imag(X),则conj(X)=real(X) - i*imag(X)

命令5  符号复数的实数部分

函数  real

格式  real(Z)   %返回符号复数z的实数部分

命令 符号复数的虚数部分

函数  imag

格式  imag(Z)  %返回符号复数z的虚数部分

命令 余弦函数的整函数

格式  Y = cosint(X)   %计算余弦函数在点X处的整函数值。其中X可以是数值矩阵,或符号矩阵。余弦函数的整函数定义为:,其中为Euler常数,=0.57721566490153286060651209 i=1,2,…,size(X)。Euler常数可以通过命令vpa(\'eulergamma\')获得。

3-6

>>cosint(7.2) 

>>cosint([0:0.1:1])

>>syms x;

>>f = cosint(x);

>>diff(x)

计算结果为:

ans =

     0.0960

ans =

    Columns 1 through 7 

         Inf   -1.7279   -1.0422   -0.6492   -0.3788   -0.1778   -0.0223

    Columns 8 through 11 

      0.1005    0.1983    0.2761    0.3374

ans =

1

命令8  设置变量的精度

函数  digits

格式  digits(d)   %设置当前的可变算术精度的位数为整数d

      d = digits   %返回当前的可变算术精度位数给d

      digits      %显示当前可变算术精度的位数

说明  设置有意义的十进制数值的、在Maple软件中用于做可变算术精度(命令为:vpa)计算的数字位数。其缺省值为32位数字。

3-7

>>z = 1.0e-16    % z为一很小的数

>>x = 1.0e+2    % x为较大的数

>>digits(14) 

>>y1 = vpa(x*z+1)   % 大数1“吃掉”小数x*y

>>digits(15)

>>y2 = vpa(x*z+1)   % 防止“去掉”小数x*y

计算结果为:

z =

    1.0000e-016

x =

    100

y1 =

    1.0000000000000

y2 =

    1.00000000000001

命令9  将符号转换为MATLAB的数值形式

函数  double

格式  R = double(S)   %将符号对象S转换为数值对象R。若S为符号常数或表达式常数,double返回S的双精度浮点数值表示形式;若S为每一元素是符号常数或表达式常数的符号矩阵,double返回S每一元素的双精度浮点数值表示的数值矩阵R。

3-8

>>gold_ratio = double(sym(\'(sqrt(5)-1)/2\'))    % 计算黄金分割率。

>>T = sym(hilb(4))

>>R = double(T)

计算结果为:

gold_ratio =

          0.6180

T =

    [  1, 1/2, 1/3, 1/4]

    [ 1/2, 1/3, 1/4, 1/5]

    [ 1/3, 1/4, 1/5, 1/6]

    [ 1/4, 1/5, 1/6, 1/7]

R =

    1.0000    0.5000    0.3333    0.2500

    0.5000    0.3333    0.2500    0.2000

    0.3333    0.2500    0.2000    0.1667

    0.2500    0.2000    0.1667    0.1429

命令10  符号表达式的展开

函数  expand

格式  R = expand(S)   %对符号表达式S中每个因式的乘积进行展开计算。该命令通常用于计算多项式函数、三角函数、指数函数与对数函数等表达式的展开式。

3-9

>>syms x y a b c t

>>E1 = expand((x-2)*(x-4)*(y-t))

>>E2 = expand(cos(x+y))

>>E3 = expand(exp((a+b)^3)) 

>>E4 = expand(log(a*b/sqrt(c))) 

>>E5 = expand([sin(2*t), cos(2*t)])

计算结果为:

E1 =

     x^2*y-x^2*t-6*x*y+6*x*t+8*y-8*t

E2 =

     cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)

E3 =

     exp(a^3)*exp(a^2*b)^3*exp(a*b^2)^3*exp(b^3)

E4 =

     log(a*b/c^(1/2))

E5 =

     [ 2*sin(t)*cos(t),    2*cos(t)^2-1]

命令11  符号因式分解

函数  factor

格式  factor(X)   %参量x可以是正整数、符号表达式阵列或符号整数阵列。若X为一正整数,则factor(X)返回X的质数分解式。若x为多项式或整数矩阵,则factor(X)分解矩阵的每一元素。若整数阵列中有一元素位数超过16位,用户必须用命令sym生成该元素。

3-10

>>syms a b x y

>>F1 = factor(x^4-y^4) 

>>F2 = factor([a^2-b^2, x^3+y^3]) 

>>F3 = factor(sym(\'12345678901234567890\'))

计算结果为:

F1 =

      (x-y)*(x+y)*(x^2+y^2)

F2 =

     [(a-b)*(a+b),  (x+y)*(x^2-x*y+y^2)]

F3 =

     (2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)

命令12  符号表达式的分子与分母

函数  numden

格式  [N,D] = numden(A) 

说明  将符号或数值矩阵A中的每一元素转换成整系数多项式的有理式形式,其中分子与分母是相对互素的。输出的参量N为分子的符号矩阵,输出的参量D为分母的符号矩阵。

3-11

>>syms x y a b c d;

>>[n1,d1] = numden(sym(sin(4/5))) 

>>[n2,d2] = numden(x/y + y/x)

>>A = [a, 1/b;1/c d];

>>[n3,d3] = numden(A)

计算结果为:

n1 =

     6461369247334093

d1 =

     9007199254740992

n2 =

     x^2+y^2

d2 =

    y*x

n3 =

    [ a, 1]

    [ 1, d]

d3 =

    [ 1, b]

    [ c, 1]

命令13  搜索符号表达式的最简形式

函数  simple

格式  r = simple(S)   %该命令试图找出符号表达式S的代数上的简单形式,显示任意的能使表达式S长度变短的表达式,且返回其中最短的一个。若S为一矩阵,则结果为整个矩阵的最短形式,而非是每一个元素的最简形式。若没有输出参量r,则该命令将显示所有可能使用的算法与表达式,同时返回最短的一个。

[r,how] = simple(S)   %没有显示中间的化简结果,但返回能找到的最短的一个。输出参量r为一符号,how为一字符串,用于表示算法。

3-12

>>syms x

>>R1 = simple(cos(x)^4+sin(x)^4)

>>R2 = simple(2*cos(x)^2-sin(x)^2)

>>R3 = simple(cos(x)^2-sin(x)^2)

>>R4 = simple(cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2))

>>R5 = simple(cos(x)+i*sin(x))

>>R6 = simple( (x+1)*x*(x-1))

>>R7 = simple(x^3+3*x^2+3*x+1)

>> [R8,how] = simple(cos(3*acos(x)))

计算的结果为:

R1 =

     1/4*cos(4*x)+3/4

R2 =

     3*cos(x)^2-1

R3 =

     cos(2*x)

R4 =

     cos(x)+i*sin(x)

R5 =

     exp(i*x)

R6 =

     x ^3-x

R7 =

     (x+1)^3

R8 =

     4*x^3-3*x

how =

      expand

命令14  符号表达式的化简

函数  simplify

格式  R = simplify(S) 

说明  使用Maple软件中的化简规则,将化简符号矩阵S中每一元素。

3-13

>>syms x a b c

>>R1 = simplify(sin(x)^4 + cos(x)^4) 

>>R2 = simplify(exp(c*log(sqrt(a+b))))

>>S = [(x^2+5*x+6)/(x+2),sqrt(16)];

>>R3 = simplify(S)

计算结果为:

R1 =

     2*cos(x)^4+1-2*cos(x)^2

R2 =

     (a+b)^(1/2*c)

R3 =

     [ x+3,   4] 

命令15  符号矩阵的维数

函数  size

格式  d = size(A)       %Am*n阶的符号矩阵,则输出结果d=[mn]

      [m,n] = size(A)    %分别返回矩阵A的行数于m,列数于n

      d= size(A, n)     %返回由标量n指定的A的方向的维数:n=1为行方向,n=2为列方向。

3-14

>>syms a b c d

>>A = [a b c ; a b d; d c b; c b a];

>>d = size(A)

>>r = size(A, 2)

计算结果为:

d =

     4     3

r =

     3

命令16  代数方程的符号解析解

函数  solve

格式  g = solve(eq)   %输入参量eq可以是符号表达式或字符串。若eq是一符号表达式x^2 -2*x-1或一没有等号的字符串’x^2-2*x-1’,则solve(eq)对方程eq中的缺省变量(由命令findsym(eq)确定的变量)求解方程eq=0。若输出参量g为单一变量,则对于有多重解的非线性方程,g为一行向量。

g = solve(eq,var)   %对符号表达式或没有等号的字符串eq中指定的变量var求解方程eq(var)=0

g = solve(eq1,eq2,,eqn)   %输入参量eq1,eq2,…,eqn可以是符号表达式或字符串。该命令对方程组eq1,eq2,…,eqn中由命令findsym确定的n个变量如x1,x2,…,xn求解。若g为一单个变量,则g为一包含n个解的结构;若g为有n个变量的向量,则分别返回结果给相应的变量。

g = solve(eq1,eq2,,eqn,var1,var2,,varn)   %对方程组eq1,eq2,…,eqn中指定的n个变量如var1,var2,,varn求解。

注意:对于单个的方程或方程组,若不存在符号解,则返回方程(组)的数值解。

3-15

>>solve(\'a*x^2 + b*x + c\') 

>>solve(\'a*x^2 + b*x + c\',\'b\') 

>>solve(\'x + y = 1\',\'x - 11*y = 5\') 

>>A = solve(\'a*u^2 + v^2\', \'u - v = 1\', \'a^2 - 5*a +6\')

计算结果为:

ans =

[ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))]

[ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]

ans =

-(a*x^2+c)/x

ans = 

    x: [1x1 sym]

    y: [1x1 sym]

A = 

    a: [4x1 sym]

    u: [4x1 sym]

    v: [4x1 sym]

命令17  以共同的子表达式形式重写一符号表达式

函数  subexpr

格式  [Y,SIGMA] = subexpr(X,SIGMA)

[Y,SIGMA] = subexpr(X,\'SIGMA\') 

说明  找出符号表达式 X中相同的子表达式,再结合命令pretty(X)将X中相同的、比较复杂的子字符串用符号%1,%2,…代替。而用命令pretty(Y)将X中相同的、比较复杂的子字符串用符号SIGMA代替。

3-16

>>t = solve(\'a*x^3+b*x^2+c*x+d = 0\'); 

>> [r,s] = subexpr(t,\'s\');

>>pretty(t)

>>pretty(r)

计算结果为:(略)

命令18  特征多项式

函数  poly

格式  p = poly(A)p = poly(A, v) 

说明  若A为一数值阵列,则返回矩阵A的特征多项式的系数,且有:命令poly(sym(A))近似等于poly2sym(poly(A))。其近似程度取决于舍入误差的大小。若A为一符号矩阵,则返回矩阵A的变量为x的特征多项式。若带上参量v,则返回变量为v的特征多项式。

3-17

>>A = hilb(4); 

>>p = poly(A)

>>q = poly(sym(A))

>>s = poly(sym(A),z)

计算结果为:

p =

    1.0000   -1.6762    0.2652   -0.0017    0.0000

q =

    x^4-176/105*x^3+3341/12600*x^2-41/23625*x+1/6048000

s =

    -176/105*z^3+3341/12600*z^2-41/23625*z+1/6048000+z^4

命令19  将多项式系数向量转化为带符号变量的多项式

函数  poly2sym

格式  r = poly2sym(c)r = poly2sym(c, v)  

说明  将系数在数值向量c中的多项式转化成相应的带符号变量的多项式(按次数的降幂排列)。缺省的符号变量为x

若带上参量v,则符号变量用v显示。poly2sym使用命令sym的缺省转换模式(有理形式)将数值型系数转换为符号常数。该模式将数值转换成接近的整数比值的表达式,否则用2的幂指数表示。若x有一数值值,且命令sym能将c的元素精确表示,则eval(poly2sym(c))的结果与polyval(c,x)相同。

3-18

>>r1 = poly2sym([1 2 3 4]) 

>>r2 = poly2sym([.694228, sqrt(2), sin(pi/3)]) 

>>r3 = poly2sym([1 0 1 -1 2], y)

计算结果为:

   r1 =

       x^3+2*x^2+3*x+4

   r2 =

       6253049924220329/9007199254740992*x^2+x*2^(1/2)+1/2*3^(1/2)

   r3 =

       y^4+y^2-y+2

命令20  将复杂的符号表达式显示成我们习惯的数学书写形式

函数  pretty

格式  pretty(S)    %用缺省的线型宽度79显示符号矩阵s中每一元素

      pretty(S,n)   %用指定的线型宽度n显示

3-19

>>A = sym(pascal(3));

>>B = eig(A)

>>pretty(B,50)  % 多看几次结果,会发现该命令显示的特点

>>syms x

>>y=log(x)/sqrt(x);

>>dy = diff(y)

>>pretty(dy) 

计算结果为:

B =

     [         1]

     [ 4+15^(1/2)]

     [ 4 -15^(1/2)]

[    1    ]

[         ]

[      1/2]

[4 + 15   ]

[         ]

[      1/2]

[4 - 15   ]

dy =

    1/x^(3/2)-1/2*log(x)/x^(3/2)

 1          log(x~)

----  - 1/2   -------

  3/2          3/2

x~          x~

命令21  从一符号表达式中或矩阵中找出符号变量

函数  findsym

格式  r = findsym(S)   %以字母表的顺序返回表达式S中的所有符号变量(注:符号变量为由字母(除了ij)与数字构成的、字母打头的字符串)。若S中没有任何的符号变量,则findsym返回一空字符串。

r = findsym(S,n)  %返回字母表中接近xn个符号变量

3-20

>>syms a x y z t alpha beta

>>1 = findsym(sin(pi*t*alpha+beta))

>>S2 = findsym(x+i*y-j*z+eps-nan)

>>S3 = findsym(a+y,pi)

计算结果为;

   S1 =

        pi, alpha, beta, t

   S2 =

       NaN, x, y, z

   S3 =

       a, y

命令22  函数的反函数

函数  finverse

格式  g = finverse(f)   %返回函数的反函数。其中f为单值的一元数学函数,如f=f(x)。若f的反函数存在,设为g,则有g[f(x)] = x。

g = finverse(f,u)  %若符号函数f中有几个符号变量时,对指定的符号自变量v计算其反函数。若其反函数存在,设为g,则有g[f(v)] = v。

3-21

>>syms x p q u v;

>>V1 = finverse(1/((x^2+p)*(x^2+q))) 

>>V2 = finverse(exp(u-2*v),u)

计算结果为:

   Warning: finverse(1/(x^2+p)/(x^2+q)) is not unique.

   > In D:\MATLABR12\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at line 43

   V1 =

       1/2/x*2^(1/2)*(x*(-x*q-x*p+(x^2*q^2-2*x^2*q*p+x^2*p^2+4*x)^(1/2)))^(1/2)

   V2 =

       2*v+log(u)

命令23  嵌套形式的多项式的表达式

函数  horner

格式  R = horner(P)   %P为一符号多项式的矩阵,该命令将矩阵的每一元素转换成嵌套形式的表达式R。

3-22

>>syms x y

>>H1 = horner(2*x^4-6*x^3+9*x^2-6*x-4) 

>>H2 = horner([x^2+x*y;y^3-2*y])

计算结果为:

   H1 =

       -4+(-6+(9+(-6+2*x)*x)*x)*x

   H2 =

       [  x^2+x*y]

       [ (-2+y^2)*y]

命令24  符号表达式求和

函数  symsum

格式  r = symsum(s)     %对符号表达式s中的符号变量k(由命令findsym(s)确定的)从0k-1求和

r = symsum(s,v)    %对符号表达式s中指定的符号变量v0v-1求和

r = symsum(s,a,b)   %对符号表达式s中的符号变量k(由命令findsym(s)确定的)从ab求和

r = symsum(s,v,a,b)   %对符号表达式s中指定的符号变量vab求和

3-23

>>syms k n x

>>r1 = symsum(k^3) 

>>r2 = symsum(k^2-k) 

>>r3 = symsum(sin(k*pi)/k,0,n) 

>>r4 = symsum(k^2,0,10) 

>>r5 = symsum(x^k/sym(\'k!\'), k, 0,inf)   %为使k!通过MATLAB表达式的检验,必须把它作为一符号表达式。

计算结果为:

r1 = 

    1/4*k^4-1/2*k^3+1/4*k^2

r2 =

    1/3*k^3-k^2+2/3*k

r3 =

     -1/2*sin(k*(n+1))/k+1/2*sin(k)/k/(cos(k)-1)*cos(k*(n+1))-1/2*sin(k)/k/(cos(k)-1)

r4 =

     385

r5 =

     exp(x)

命令25  广义超几何函数

函数  hypergeom

格式  hypergeom(n, d, z)   %该命令为广义超几何函数F(n,d,z),即已知的Barnes扩展超几何函数,记做jFk,其中j=length(n),k=length(d)。对于标量a,bchypergeom([a,b],c, z)Gauss超几何函数2F1(a,b;c,z)。

说明  超几何函数的定义为:,  其中

3-24

>>syms a z n

>>H1 = hypergeom([],[],z)

>>H2 = hypergeom(1,[],z) 

>>H3 = hypergeom(1,2,\'z\') 

>>H4 = hypergeom([1,2],[2,3],\'z\')

>>H5 = hypergeom(a,[],z) 

>>H6 = hypergeom([],1,-z^2/4)

>>H7 = hypergeom([-n, n],1/2,(1-z)/2) 

计算结果为:

H1 =

     exp(z)

H2 =

    -1/(-1+z)

H3 =

    (exp(z)-1)/z

H4 =

    -2*(-exp(z)+1+z)/z^2

H5 =

    (1-z)^(-a)

H6 =

    besselj(0,z)

H7 =

    hypergeom([n, -n],[1/2],1/2-1/2*z)