第3章 符号运算
3.1 算术符号操作
命令 +、-、*、.*、\、.\、/、./、^、.^、’、.’
功能 符号矩阵的算术操作
用法如下：
A+B、A-B 符号阵列的加法与减法。
若A与B为同型阵列时，A+B、A-B分别对对应分量进行加减；若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行加减。
A*B 符号矩阵乘法。
A*B为线性代数中定义的矩阵乘法。按乘法定义要求必须有矩阵A的列数等于矩阵B的行数。即：若An*k*Bk*m=(aij)n*k.*(bij)k*m=Cn*m=(cij)n*m，则，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。或者至少有一个为标量时，方可进行乘法操作，否则将返回一出错信息。
A.*B 符号数组的乘法。
A.*B为按参量A与B对应的分量进行相乘。A与B必须为同型阵列，或至少有一个为标量。即：An*m.*Bn*m=(aij)n*m.*(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij* bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。
A\B 矩阵的左除法。
X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解。我们指出的是，A\B近似地等于inv(A)*B。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。
A.\B 数组的左除法。
A.\B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时，An*m.\Bn*m=(aij)n*m.\(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij\ bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。
A/B 矩阵的右除法。
X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解。我们指出的是，B/A粗略地等于B*inv(A)。若X不存在或者不唯一，则产生一警告信息。矩阵A可以是矩形矩阵（即非正方形矩阵），但此时要求方程组必须是相容的。
A./B 数组的右除法。
A./B为按对应的分量进行相除。若A与B为同型阵列时，An*m./Bn*m=(aij)n*m./(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij/bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。
A^B 矩阵的方幂。
计算矩阵A的整数B次方幂。若A为标量而B为方阵，A^B用方阵B的特征值与特征向量计算数值。若A与B同时为矩阵，则返回一错误信息。
A.^B 数组的方幂。
A.^B为按A与B对应的分量进行方幂计算。若A与B为同型阵列时，An*m..^Bn*m=(aij)n*m..^(bij)n*m=Cn*m=(cij)n*m，则cij= aij^bij，i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。若A与B中至少有一个为标量，则把标量扩大为与另外一个同型的阵列，再按对应的分量进行操作。
A\' 矩阵的Hermition转置。
若A为复数矩阵，则A\'为复数矩阵的共轭转置。即，若A=(aij)=(xij+i*yij)，则。
A.\' 数组转置。
A.\'为真正的矩阵转置，其没有进行共轭转置。
例3-1
>>syms a b c d e f g h;
>>A = [a b; c d];
>>B = [e f; g h];
>>C1 = A.*B
>>C2 = A.^B
>>C3 = A*B/A
>>C4 = A.*A-A^2
>>syms a11 a12 a21 a22 b1 b2;
>>A = [a11 a12; a21 a22];
>>B = [b1 b2];
>>X = B/A; % 求解符号线性方程组X*A=B的解
>>x1 = X(1)
>>x2 = X(2)
计算结果为：
C1 =
[ a*e, b*f]
[ c*g, d*h]
C2 =
[ a^e, b^f]
[ c^g, d^h]
C3 =
[ -(a*c*f+c*b*h-a*e*d-b*d*g)/(a*d-b*c), (a*b*h-b^2*g+a^2*f-b*a*e)/(a*d-b*c)]
[ -(-c*e*d+c*d*h+c^2*f-d^2*g)/(a*d-b*c), (a*d*h+a*c*f-b*c*e-b*d*g)/(a*d-b*c)]
C4 =
[ -b*c, b^2-a*b-b*d]
[ c^2-a*c-d*c, -b*c]
x1 =
(-a22*b1+b2*a21)/(a12*a21-a11*a22)
x2 =
-(-a12*b1+a11*b2)/(a12*a21-a11*a22)
3.2 基本运算
命令1 合并同类项
函数 collect
格式 R = collect(S) %对于多项式S中的每一函数，collect(S)按缺省变量x的次数合并系数。
R = collect(S,v) %对指定的变量v计算，操作同上。
例3-2
>>syms x y;
>>R1 = collect((exp(x)+x)*(x+2))
>>R2 = collect((x+y)*(x^2+y^2+1), y)
>>R3 = collect([(x+1)*(y+1),x+y])
计算结果为：
R1 =
x^2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)
R2 =
y^3+x*y^2+(x^2+1)*y+x*(x^2+1)
R3 =
[ (y+1)*x+y+1, x+y]
命令2 列空间的基
函数 colspace
格式 B = colspace(A) %返回矩阵B，其列向量形成由矩阵A的列向量形成的空间的坐标基，其中A可以是符号或数值矩阵。而size(colspace(A),2)等于rank(A)。即由A生成的空间维数等于A的秩。
例3-3
>>syms a b c
>>A = sym([1,a;2,b;3,c])
>>B = colspace(A)
计算结果为：
A =
[ 1, a]
[ 2, b]
[ 3, c]
B =
[ 1, 0]
[ 0, 1]
[ -(3*b-2*c)/(-b+2*a), (-c+3*a)/(-b+2*a)]
命令3 复合函数计算
函数 compose
格式 compose(f,g) %返回复合函数f[g(y)]，其中f=f(x)，g=g(y)。其中符号x为函数f中由命令findsym(f) 确定的符号变量，符号y为函数g中由命令findsym(g) 确定的符号变量。
compose(f,g,z) %返回复合函数f[g(z)]，其中f=f(x)，g=g(y)，符号x、y为函数f、g中由命令findsym确定的符号变量。
compose(f,g,x,z) %返回复合函数f[g(z)]，而令变量x为函数f中的自变量f=f(x)。令x=g(z)，再将x=g(z)代入函数f中。
compose(f,g,x,y,z) %返回复合函数f[g(z)]。而令变量x为函数f中的自变量f=f(x)，而令变量y为函数g中的自变量g=g(y)。令x=g(y)，再将x=g(y)代入函数f=f(x)中，得f[g(y)]，最后用指定的变量z代替变量y，得f[g(z)]。
例3-4
>>syms x y z t u v;
>>f = 1/(1 + x^2*y); h = x^t; g = sin(y); p = sqrt(-y/u);
>>C1 = compose(f,g) % 令x=g=sin(y)，再替换f中的变量x=findsym(f)。
>>C2 = compose(f,g,t) % 令x=g=sin(t)，再替换f中的变量x=findsym(f)。
>>C3 = compose(h,g,x,z) % 令x=g=sin(z)，再替换h中的变量x。
>>C4 = compose(h,g,t,z) % 令t=g=sin(z)，再替换h中的变量t。
>>C5 = compose(h,p,x,y,z) % 令x=p(y)=sqrt(-y/u)，替换h中的变量x，再将y换成z。
>>C6 = compose(h,p,t,u,z) % 令t=p(u)=sqrt(-y/u)，替换h中的变量t，再将u换成z。
计算结果为：
C1 =
1/(1+sin(y)^2*y)
C2 =
1/(1+sin(t)^2*y)
C3 =
sin(z)^t
C4 =
x^sin(z)
C5 =
((-z/u)^(1/2))^t
C6 =
x^((-y/z)^(1/2))
命令4 符号复数的共轭
函数 conj
格式 conj(X) %返回符号复数X的共轭复数
例3-5
X=real(X) + i*imag(X)，则conj(X)=real(X) - i*imag(X)
命令5 符号复数的实数部分
函数 real
格式 real(Z) %返回符号复数z的实数部分
命令6 符号复数的虚数部分
函数 imag
格式 imag(Z) %返回符号复数z的虚数部分
命令7 余弦函数的整函数
格式 Y = cosint(X) %计算余弦函数在点X处的整函数值。其中X可以是数值矩阵，或符号矩阵。余弦函数的整函数定义为：，其中为Euler常数，=0.57721566490153286060651209… i=1,2,…,size(X)。Euler常数可以通过命令vpa(\'eulergamma\')获得。
例3-6
>>cosint(7.2)
>>cosint([0:0.1:1])
>>syms x;
>>f = cosint(x);
>>diff(x)
计算结果为：
ans =
0.0960
ans =
Columns 1 through 7
Inf -1.7279 -1.0422 -0.6492 -0.3788 -0.1778 -0.0223
Columns 8 through 11
0.1005 0.1983 0.2761 0.3374
ans =
1
命令8 设置变量的精度
函数 digits
格式 digits(d) %设置当前的可变算术精度的位数为整数d位
d = digits %返回当前的可变算术精度位数给d
digits %显示当前可变算术精度的位数
说明 设置有意义的十进制数值的、在Maple软件中用于做可变算术精度（命令为：vpa）计算的数字位数。其缺省值为32位数字。
例3-7
>>z = 1.0e-16 % z为一很小的数
>>x = 1.0e+2 % x为较大的数
>>digits(14)
>>y1 = vpa(x*z+1) % 大数1“吃掉”小数x*y
>>digits(15)
>>y2 = vpa(x*z+1) % 防止“去掉”小数x*y
计算结果为：
z =
1.0000e-016
x =
100
y1 =
1.0000000000000
y2 =
1.00000000000001
命令9 将符号转换为MATLAB的数值形式
函数 double
格式 R = double(S) %将符号对象S转换为数值对象R。若S为符号常数或表达式常数，double返回S的双精度浮点数值表示形式；若S为每一元素是符号常数或表达式常数的符号矩阵，double返回S每一元素的双精度浮点数值表示的数值矩阵R。
例3-8
>>gold_ratio = double(sym(\'(sqrt(5)-1)/2\')) % 计算黄金分割率。
>>T = sym(hilb(4))
>>R = double(T)
计算结果为：
gold_ratio =
0.6180
T =
[ 1, 1/2, 1/3, 1/4]
[ 1/2, 1/3, 1/4, 1/5]
[ 1/3, 1/4, 1/5, 1/6]
[ 1/4, 1/5, 1/6, 1/7]
R =
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000
0.3333 0.2500 0.2000 0.1667
0.2500 0.2000 0.1667 0.1429
命令10 符号表达式的展开
函数 expand
格式 R = expand(S) %对符号表达式S中每个因式的乘积进行展开计算。该命令通常用于计算多项式函数、三角函数、指数函数与对数函数等表达式的展开式。
例3-9
>>syms x y a b c t
>>E1 = expand((x-2)*(x-4)*(y-t))
>>E2 = expand(cos(x+y))
>>E3 = expand(exp((a+b)^3))
>>E4 = expand(log(a*b/sqrt(c)))
>>E5 = expand([sin(2*t), cos(2*t)])
计算结果为：
E1 =
x^2*y-x^2*t-6*x*y+6*x*t+8*y-8*t
E2 =
cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)
E3 =
exp(a^3)*exp(a^2*b)^3*exp(a*b^2)^3*exp(b^3)
E4 =
log(a*b/c^(1/2))
E5 =
[ 2*sin(t)*cos(t), 2*cos(t)^2-1]
命令11 符号因式分解
函数 factor
格式 factor(X) %参量x可以是正整数、符号表达式阵列或符号整数阵列。若X为一正整数，则factor(X)返回X的质数分解式。若x为多项式或整数矩阵，则factor(X)分解矩阵的每一元素。若整数阵列中有一元素位数超过16位，用户必须用命令sym生成该元素。
例3-10
>>syms a b x y
>>F1 = factor(x^4-y^4)
>>F2 = factor([a^2-b^2, x^3+y^3])
>>F3 = factor(sym(\'12345678901234567890\'))
计算结果为：
F1 =
(x-y)*(x+y)*(x^2+y^2)
F2 =
[(a-b)*(a+b), (x+y)*(x^2-x*y+y^2)]
F3 =
(2)*(3)^2*(5)*(101)*(3803)*(3607)*(27961)*(3541)
命令12 符号表达式的分子与分母
函数 numden
格式 [N,D] = numden(A)
说明 将符号或数值矩阵A中的每一元素转换成整系数多项式的有理式形式，其中分子与分母是相对互素的。输出的参量N为分子的符号矩阵，输出的参量D为分母的符号矩阵。
例3-11
>>syms x y a b c d;
>>[n1,d1] = numden(sym(sin(4/5)))
>>[n2,d2] = numden(x/y + y/x)
>>A = [a, 1/b;1/c d];
>>[n3,d3] = numden(A)
计算结果为：
n1 =
6461369247334093
d1 =
9007199254740992
n2 =
x^2+y^2
d2 =
y*x
n3 =
[ a, 1]
[ 1, d]
d3 =
[ 1, b]
[ c, 1]
命令13 搜索符号表达式的最简形式
函数 simple
格式 r = simple(S) %该命令试图找出符号表达式S的代数上的简单形式，显示任意的能使表达式S长度变短的表达式，且返回其中最短的一个。若S为一矩阵，则结果为整个矩阵的最短形式，而非是每一个元素的最简形式。若没有输出参量r，则该命令将显示所有可能使用的算法与表达式，同时返回最短的一个。
[r,how] = simple(S) %没有显示中间的化简结果，但返回能找到的最短的一个。输出参量r为一符号，how为一字符串，用于表示算法。
例3-12
>>syms x
>>R1 = simple(cos(x)^4+sin(x)^4)
>>R2 = simple(2*cos(x)^2-sin(x)^2)
>>R3 = simple(cos(x)^2-sin(x)^2)
>>R4 = simple(cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2))
>>R5 = simple(cos(x)+i*sin(x))
>>R6 = simple( (x+1)*x*(x-1))
>>R7 = simple(x^3+3*x^2+3*x+1)
>> [R8,how] = simple(cos(3*acos(x)))
计算的结果为：
R1 =
1/4*cos(4*x)+3/4
R2 =
3*cos(x)^2-1
R3 =
cos(2*x)
R4 =
cos(x)+i*sin(x)
R5 =
exp(i*x)
R6 =
x ^3-x
R7 =
(x+1)^3
R8 =
4*x^3-3*x
how =
expand
命令14 符号表达式的化简
函数 simplify
格式 R = simplify(S)
说明 使用Maple软件中的化简规则，将化简符号矩阵S中每一元素。
例3-13
>>syms x a b c
>>R1 = simplify(sin(x)^4 + cos(x)^4)
>>R2 = simplify(exp(c*log(sqrt(a+b))))
>>S = [(x^2+5*x+6)/(x+2),sqrt(16)];
>>R3 = simplify(S)
计算结果为：
R1 =
2*cos(x)^4+1-2*cos(x)^2
R2 =
(a+b)^(1/2*c)
R3 =
[ x+3, 4]
命令15 符号矩阵的维数
函数 size
格式 d = size(A) %若A为m*n阶的符号矩阵，则输出结果d=[m，n]。
[m,n] = size(A) %分别返回矩阵A的行数于m，列数于n。
d= size(A, n) %返回由标量n指定的A的方向的维数：n=1为行方向，n=2为列方向。
例3-14
>>syms a b c d
>>A = [a b c ; a b d; d c b; c b a];
>>d = size(A)
>>r = size(A, 2)
计算结果为：
d =
4 3
r =
3
命令16 代数方程的符号解析解
函数 solve
格式 g = solve(eq) %输入参量eq可以是符号表达式或字符串。若eq是一符号表达式x^2 -2*x-1或一没有等号的字符串’x^2-2*x-1’，则solve(eq)对方程eq中的缺省变量(由命令findsym(eq)确定的变量)求解方程eq=0。若输出参量g为单一变量，则对于有多重解的非线性方程，g为一行向量。
g = solve(eq,var) %对符号表达式或没有等号的字符串eq中指定的变量var求解方程eq(var)=0。
g = solve(eq1,eq2,…,eqn) %输入参量eq1,eq2,…,eqn可以是符号表达式或字符串。该命令对方程组eq1,eq2,…,eqn中由命令findsym确定的n个变量如x1,x2,…,xn求解。若g为一单个变量，则g为一包含n个解的结构；若g为有n个变量的向量，则分别返回结果给相应的变量。
g = solve(eq1,eq2,…,eqn,var1,var2,…,varn) %对方程组eq1,eq2,…,eqn中指定的n个变量如var1,var2,…,varn求解。
注意：对于单个的方程或方程组，若不存在符号解，则返回方程（组）的数值解。
例3-15
>>solve(\'a*x^2 + b*x + c\')
>>solve(\'a*x^2 + b*x + c\',\'b\')
>>solve(\'x + y = 1\',\'x - 11*y = 5\')
>>A = solve(\'a*u^2 + v^2\', \'u - v = 1\', \'a^2 - 5*a +6\')
计算结果为：
ans =
[ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))]
[ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]
ans =
-(a*x^2+c)/x
ans =
x: [1x1 sym]
y: [1x1 sym]
A =
a: [4x1 sym]
u: [4x1 sym]
v: [4x1 sym]
命令17 以共同的子表达式形式重写一符号表达式
函数 subexpr
格式 [Y,SIGMA] = subexpr(X,SIGMA)
[Y,SIGMA] = subexpr(X,\'SIGMA\')
说明 找出符号表达式 X中相同的子表达式，再结合命令pretty(X)将X中相同的、比较复杂的子字符串用符号%1,%2,…代替。而用命令pretty(Y)将X中相同的、比较复杂的子字符串用符号SIGMA代替。
例3-16
>>t = solve(\'a*x^3+b*x^2+c*x+d = 0\');
>> [r,s] = subexpr(t,\'s\');
>>pretty(t)
>>pretty(r)
计算结果为：（略）
命令18 特征多项式
函数 poly
格式 p = poly(A)或p = poly(A, v)
说明 若A为一数值阵列，则返回矩阵A的特征多项式的系数，且有：命令poly(sym(A))近似等于poly2sym(poly(A))。其近似程度取决于舍入误差的大小。若A为一符号矩阵，则返回矩阵A的变量为x的特征多项式。若带上参量v，则返回变量为v的特征多项式。
例3-17
>>A = hilb(4);
>>p = poly(A)
>>q = poly(sym(A))
>>s = poly(sym(A),z)
计算结果为：
p =
1.0000 -1.6762 0.2652 -0.0017 0.0000
q =
x^4-176/105*x^3+3341/12600*x^2-41/23625*x+1/6048000
s =
-176/105*z^3+3341/12600*z^2-41/23625*z+1/6048000+z^4
命令19 将多项式系数向量转化为带符号变量的多项式
函数 poly2sym
格式 r = poly2sym(c)和r = poly2sym(c, v)
说明 将系数在数值向量c中的多项式转化成相应的带符号变量的多项式（按次数的降幂排列）。缺省的符号变量为x；
若带上参量v，则符号变量用v显示。poly2sym使用命令sym的缺省转换模式（有理形式）将数值型系数转换为符号常数。该模式将数值转换成接近的整数比值的表达式，否则用2的幂指数表示。若x有一数值值，且命令sym能将c的元素精确表示，则eval(poly2sym(c))的结果与polyval(c,x)相同。
例3-18
>>r1 = poly2sym([1 2 3 4])
>>r2 = poly2sym([.694228, sqrt(2), sin(pi/3)])
>>r3 = poly2sym([1 0 1 -1 2], y)
计算结果为：
r1 =
x^3+2*x^2+3*x+4
r2 =
6253049924220329/9007199254740992*x^2+x*2^(1/2)+1/2*3^(1/2)
r3 =
y^4+y^2-y+2
命令20 将复杂的符号表达式显示成我们习惯的数学书写形式
函数 pretty
格式 pretty(S) %用缺省的线型宽度79显示符号矩阵s中每一元素
pretty(S,n) %用指定的线型宽度n显示
例3-19
>>A = sym(pascal(3));
>>B = eig(A)
>>pretty(B,50) % 多看几次结果，会发现该命令显示的特点
>>syms x
>>y=log(x)/sqrt(x);
>>dy = diff(y)
>>pretty(dy)
计算结果为：
B =
[ 1]
[ 4+15^(1/2)]
[ 4 -15^(1/2)]
[ 1 ]
[ ]
[ 1/2]
[4 + 15 ]
[ ]
[ 1/2]
[4 - 15 ]
dy =
1/x^(3/2)-1/2*log(x)/x^(3/2)
1 log(x~)
---- - 1/2 -------
3/2 3/2
x~ x~
命令21 从一符号表达式中或矩阵中找出符号变量
函数 findsym
格式 r = findsym(S) %以字母表的顺序返回表达式S中的所有符号变量（注：符号变量为由字母（除了i与j）与数字构成的、字母打头的字符串）。若S中没有任何的符号变量，则findsym返回一空字符串。
r = findsym(S,n) %返回字母表中接近x的n个符号变量
例3-20
>>syms a x y z t alpha beta
>>1 = findsym(sin(pi*t*alpha+beta))
>>S2 = findsym(x+i*y-j*z+eps-nan)
>>S3 = findsym(a+y,pi)
计算结果为；
S1 =
pi, alpha, beta, t
S2 =
NaN, x, y, z
S3 =
a, y
命令22 函数的反函数
函数 finverse
格式 g = finverse(f) %返回函数f 的反函数。其中f为单值的一元数学函数，如f=f(x)。若f的反函数存在，设为g，则有g[f(x)] = x。
g = finverse(f,u) %若符号函数f中有几个符号变量时，对指定的符号自变量v计算其反函数。若其反函数存在，设为g，则有g[f(v)] = v。
例3-21
>>syms x p q u v;
>>V1 = finverse(1/((x^2+p)*(x^2+q)))
>>V2 = finverse(exp(u-2*v),u)
计算结果为：
Warning: finverse(1/(x^2+p)/(x^2+q)) is not unique.
> In D:\MATLABR12\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at line 43
V1 =
1/2/x*2^(1/2)*(x*(-x*q-x*p+(x^2*q^2-2*x^2*q*p+x^2*p^2+4*x)^(1/2)))^(1/2)
V2 =
2*v+log(u)
命令23 嵌套形式的多项式的表达式
函数 horner
格式 R = horner(P) %若P为一符号多项式的矩阵，该命令将矩阵的每一元素转换成嵌套形式的表达式R。
例3-22
>>syms x y
>>H1 = horner(2*x^4-6*x^3+9*x^2-6*x-4)
>>H2 = horner([x^2+x*y;y^3-2*y])
计算结果为：
H1 =
-4+(-6+(9+(-6+2*x)*x)*x)*x
H2 =
[ x^2+x*y]
[ (-2+y^2)*y]
命令24 符号表达式求和
函数 symsum
格式 r = symsum(s) %对符号表达式s中的符号变量k（由命令findsym(s)确定的）从0到k-1求和
r = symsum(s,v) %对符号表达式s中指定的符号变量v从0到v-1求和
r = symsum(s,a,b) %对符号表达式s中的符号变量k（由命令findsym(s)确定的）从a到b求和
r = symsum(s,v,a,b) %对符号表达式s中指定的符号变量v从a到b求和
例3-23
>>syms k n x
>>r1 = symsum(k^3)
>>r2 = symsum(k^2-k)
>>r3 = symsum(sin(k*pi)/k,0,n)
>>r4 = symsum(k^2,0,10)
>>r5 = symsum(x^k/sym(\'k!\'), k, 0,inf) %为使k!通过MATLAB表达式的检验，必须把它作为一符号表达式。
计算结果为：
r1 =
1/4*k^4-1/2*k^3+1/4*k^2
r2 =
1/3*k^3-k^2+2/3*k
r3 =
-1/2*sin(k*(n+1))/k+1/2*sin(k)/k/(cos(k)-1)*cos(k*(n+1))-1/2*sin(k)/k/(cos(k)-1)
r4 =
385
r5 =
exp(x)
命令25 广义超几何函数
函数 hypergeom
格式 hypergeom(n, d, z) %该命令为广义超几何函数F(n,d,z)，即已知的Barnes扩展超几何函数，记做jFk，其中j=length(n)，k=length(d)。对于标量a,b与c，hypergeom([a,b],c, z)为Gauss超几何函数2F1(a,b;c,z)。
说明 超几何函数的定义为：， 其中
例3-24
>>syms a z n
>>H1 = hypergeom([],[],z)
>>H2 = hypergeom(1,[],z)
>>H3 = hypergeom(1,2,\'z\')
>>H4 = hypergeom([1,2],[2,3],\'z\')
>>H5 = hypergeom(a,[],z)
>>H6 = hypergeom([],1,-z^2/4)
>>H7 = hypergeom([-n, n],1/2,(1-z)/2)
计算结果为：
H1 =
exp(z)
H2 =
-1/(-1+z)
H3 =
(exp(z)-1)/z
H4 =
-2*(-exp(z)+1+z)/z^2
H5 =
(1-z)^(-a)
H6 =
besselj(0,z)
H7 =
hypergeom([n, -n],[1/2],1/2-1/2*z)