最大公约数，也称最大公因数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。解法有很多，现在来总结一下：
1、穷举法
这是暴力的方法，即选择两个数中较小的一个作为遍历的范围大小。然后从1开始遍历，判断同时满足是两个数的因子的数有哪些，然后求出最大值即可。
2、更相减损法
这个思想起源于我国古代的《九章算术》，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。原文是这么描述的：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
翻译成白话将就是：
第一步：对于任意给定的两个正整数a、b，要求出他们的最大公约数，首先判断他们俩是否都是偶数（能被2整除），如果都是偶数则一直除以2约简，直至不能再被2整除,while(a%2==0 && b%2==0){a = a/2;,b=b/2;}；
第二步：如果不是，那么就执行下一步，即用较大的数减去较小的数，然后将所得的差值赋值给原先拥有较大值的那个变量，再拿这个变量与较小值的那个变量进行比较，继续用二者中较大的减去较小的，直到两个变量相等；
最后，将第一步约简掉的2依次乘以第二步得到的“等数”就是最大公约数。算法实现代码如下：
public int gcd_num2(int a,int b){ while (a!=b){ if (a>b){ a = a-b; }else { b = b-a; } } return a; }
3、辗转相除法
辗转相除法：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里德算法。对于任意给定的两个正整数，假设a>b,那么先判断b是否为0，如果为0，则最大公约数直接就是a，如果不为0，就将两个整数a与b进行相除，如果余数为0（a%b==0），则b为两数的最大公约数；如果不等于0，则将b赋值给a，将余数赋值给b，再对新的a、b进行递归运算求最大公约数，递归的结束条件就是b==0。
public int gcd_num(int a,int b){ return b == 0?a:gcd_num(b,a%b); }
参考自：百度百科