导论
这个笔记让你看完了觉得自己也可以发明微积分，这话对不对我不知道，但是我觉得这个思想很棒，就好似我们面试中常常问到的HashMap的源码，实际我们理解了精髓之后自己也可以实现我们自己的Map。
详情可以见：自己写一个Map
听人说一件事情，和自己从头到尾实现一件事情是很不一样的。本文向你展现这些法则的来源，是很自然的规律，不要死记硬背，但是练习计算能力就只能靠你自己了。
你可以窥见 微积分的三个中心思想：积分、微分、两者互逆。 不过故事开头很简单，人物是你和一个圆。你想找出圆的面积。
你在多次尝试后将它切割成了多个同心圆：我们将厚度用符号 dr替代。这个 dr 越小，最后的结果就月准确。
当这个 dr 越来越小后，整个就仿佛是一个三角形，其中的缝隙已不复存在。
如果你是一个数学家，还想着借此发展出能解决一般问题的工具和技巧。大量微小的数值之和来求近似。
积分
导数的悖论
数学法则只要与现实有关，都是不确定的；若是确定的，都与现实无关。——阿尔伯特·爱因斯坦
悖论就是，先说现实问题，再说数学问题。 一瞬间的变化没有什么道理，但却是导数想表达出的含义。这是怎么回事？
现实问题是，汽车上机速度表是怎么计算出来的？瞬时速率 这个概念又是怎样的？
假如说，一个汽车在行驶，我给他拍了一个照片，那么我可以通过这个照片看出来汽车的速度吗？显然不可以。
所以，其实我们还是取一个微小的时间间隔来计算汽车的 瞬时速率 ，也就引出了下图我们的计算公式：
dt is not“infinitely small”，用了这个小技巧后瞬时速率就有意义了。
用几何来求导
“他曾没有足够的想象力来当数学家。不过他成了一名诗人，现在过得挺好。” 一大卫.希尔伯特
为什么一个微积分的学生，在大部分时间里面都要纠结于抽象函数的导数，而不是在实实在在的考虑变化率的问题，这是因为许多显示世界中的现象，许多我们想用微积分来分析的实际问题，都需要用到多项式，三角函数，指数函数或者其他的纯函数来表达，因此如果你可以熟练的掌握这些技巧，那你就学到了可以精确的描绘事物变化率的语言。
导数的实质是某个微小量的变化。
下面介绍几个函数，来加深你的思维理解：
f(x) = x^2
f(x) = x^3
f(x) = sinx
链式法则和乘积法则的形象解释
当你的脑海中有了清晰直观的图像，不过将世界模型化，你用到的大多数函数，需要或多或少的混合，组合，微调这些函数。所以我们要理解一下复杂的组合是如何求导的。
我们遇到的函数一般只会有这三种方式的层叠，它们想变多大变多大，但是你总能得到它。
加法法则
乘积
函数复合
链式法则，结合上面的函数复合理解。一个一个往里面带入，剥洋葱呢。
指数函数求导
所以数学家们就在想有没有一个底数可以使这个系数为1。
所以就有了这个特殊的常数e。正是有了这个常数带给我们的便捷，任何2t，3t这样的函数，都可以写成e的常数乘t次幂。
隐函数求导
例如下图，dx都是我假设出来的，所以还怎么说dy呢？
所以这种曲线就叫做隐函数曲线，即满足某种关于变量x，y的性质，所有（x，y）点的集合。而这种有多个变量的表达式求导究竟有什么意思呢？这个奇怪的过程就叫做隐函数求导。
极限
求导的正式化，极限的ε-δ定义，以及洛必达法则的原理。
处理 0 / 0 极限，1 / 1 极限。某些时候我们可以用一下伯努利法则。
积分与微积分基本定理
积分，求导的运算。给个例子，基于前面的理解这个很容易想明白。
积分可以用来求连续变量的平均值。我们可以通过这一点来解释为什么积分和求导互为逆运算。
积分计算面积，微积分的基本定理，看图也好理解。
高阶导数
位移--》速度--》加速度 就是一个很好的例子。
泰勒级数
泰勒多项式是一种特别强大的寻找近似值的工具，而泰勒级数可以给出表示函数的新方法。
引入：高中物理问题：求单摆最低点表达式
这个cos在这里就很让人费解，让我们很难看出单摆和其他的振荡现象之间的关系。但是如果你这样将它近似：
可以将近似的函数设置成P（x）的样子，通过一定会过某点可以确定常量C0，通过某确定点的斜率确定C1。
还可以在这个多项式上加几个更高次幂的项，来近似更高阶的导数。无论我们的高阶项什么样，都不会影响我们的低阶项。（除阶乘是因为求导后系数一次次递减出来的）。
现在我们用几何的方式来解释泰勒多项式的二次项。
而当我们计算无穷多项的时候我们就可以说这个泰勒多项式是泰勒级数了，如果它无限趋近某个值，我们就可以说它是收敛的。但是有的函数可能到了到高次幂后，部分区间是近似的，其他的部分会随着高次幂的递增 “摇摆”，我们就称它是发散的。
扩展
变换的视角，它可以和更高级的微积分知识无缝的转换，来一个例子：
连分数-趣味题
导数不能知识看做表示斜率的新函数，而是反映函数对于输入值微小变化的敏感程度，而斜率只是用图像来分析函数时候的一种体现。
还有一种看导数的方式，输入空间在各个区间内被压缩或者拉伸的程度，一种映射方式（类似俩个数轴），有点像 线代-行列式 的感觉。
回到上面的问题，我们一般可以替换之后取极限。
用映射的角度来看待这个问题（被惊艳到了）
更新中…………