高等代数习题课讲义 - 洛岩

高等代数习题课讲义

高等代数习题课讲义7

幂等矩阵

性质

r(A)+r(A-In)=n（是充要的）

证明

rA+rB=rank

\[\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \\ \end{pmatrix} \]

r(A)=tr(A)

证明

和trace联系是不是很诡异？
设r(A)=r,把A分解成Pdiag{Ir,O}Q的形式，然后利用A²=A得到等式，把QP进行分块得到一个肥肠重要的其实左上角是我单位阵哒！然后根据tr()里面可以交换就乱乘一套得到结果了。

刚学PDQ就会用，现在就忘了？

一个震撼zy同学的轮转题
抡砖你的证法穿透我这整个胸膛

题目

设A1...Am是n阶方阵，A1+...+Am=In，则下述条件等价：
1它们都是幂等的
2他们的秩和为n
3当1<=i<j<=m时 AiAj=AjAi=0

证明

1→2 利用上一个性质
2→1&3
我们来构造一个超级无敌巨大矩阵

\[\begin{pmatrix} O & O & ... & O \\ O & A1 & ... & O \\ . & . & ... & . \\ O & O & ... & Am \end{pmatrix} \]

然后第一行加上每一行，第一列加上每一列，恭喜你左上角得到In（是大题目条件）
然后我们用这个In来整活：
把第一行和第一列其他的全部通过初等行列变换消成0。
恭喜你得到右下角一大坨有规律又很熟悉的东西！
我们还没用第二个条件呢。。。
为什么要构造这个超级无敌大矩阵？
那么多r相加我们还能干啥？
所以说变了这么多，r还是n，啥意思呢？r是左上角In的秩，也就是说已经满了。
右下角的全是0！
3→1 直接利用Ai=Ai In=Ai(A1+...+Am)=Ai²

反对称矩阵

反对称矩阵的行列式非负。确切地说，奇数阶的时候直接是0.

证明

奇数阶：根据反对称矩阵的定义。
偶数阶：数学归纳。
2阶的我们当然会。
如果A是2k阶呢？
我们得往下降。
算行列式，往下降？反对称？
展开！？但是那么多个数我都不知道！
你tm不会先变成一行只有一个数的？
我们要坚信第一行它一定有一个a1j不是0（要不然就行列式=0白给了）
那么以它为基准，把其他列的第一行全部化成0。---------（1）
这时候第一列没动，右下角已经乱七八糟了。
别急，反对称也挺对称的，我们得来全套。
以第j行为基准，其他行的第一列，和之前的系数完全一样，全部加减成0！-----------（2）
这时候我们得到了一个第一行和第一列有同一个数（相反数）的大矩阵B。
我们的初衷是：想降阶，降成n-2 (2k-2)的。
是展开两次。
那么先要确保展开之后确实是n-2的反对称。
我们把（1）里的行变换打包变成左乘的矩阵P，这时候（2）对应的是右乘的P转置。
\begin{equation} PAP^T=B \end{equation}
两边取转置，我们得到B老人家是反对称的。
成功了。
展开两次，|A_n|=a_1j²|A_n-2|
甚至可以证明行列式是平方数的乘积。

前几天看到这题会写还记得很早以前助教讲了，看讲义本尊咋就懵逼了？

伴随矩阵

(AB)* =B * A *

证明

如果A B都可逆 那直接套定义
如果有不可逆的奥义·数学分析取A_t=A+tI B_t=B+tI
令t→0取极限。。。。
（有无数个t使得At Bt可逆）
这方法出现过很多次，希望您记得！

Hamilton-Cayley

A是数域P上的n阶矩阵，f(λ)=|λI-A|=λn+b1λn-1+…+bn-1λ+bn是A的特征多项式，则f(A)=An+b1An-1+...+bn-1A+bnE=0。

证法1
我们得想办法把这堆b(字面意思)弄出来。
奥义·取伴随矩阵
可能是馋伴随矩阵定义右边的行列式吧
取λI-A的伴随矩阵B，则B的每一项都是关于λ的不超过n-1次的多项式。
所以存在B₀...B_n-1 使得
\begin{equation} B=\lambda^{n-1} B_0+...+B_{n-1} \end{equation}
（其实下标反着也没啥关系.jpg)（你好，有的，原题所有下标都是反着对应，看着不舒服）
根据伴随矩阵的定义，B(λ)(λI-A)=|λI-A|I=f(λ)I
左边直接展开，右边代入f
比较系数得到n个关于 B b_i A的等式
然后把b_i代入所求的式子中就可以神奇地减成0了。

矩阵的逆

幂零矩阵A，I-A是可逆的 而且逆是因式分解的样子

1.两个并不方的A(mxn)B(nxm) I_m-AB可逆 则(I_n-BA)^-1=？

证1
泰 勒 展 开
(I_n-BA)^-1=I_n+BA+...+(BA)ⁿ...
结 合 律
=I_n+B(I_m+AB+...)A
套 娃
=I_n+B(I_m-AB)^-1A
终
为了防止被老师看出来我们直接验证它们乘起来是单位矩阵就好了
证2谁记住了证1还能理解证2啊
In-BA=In-B(Im-AB)(Im-AB)^-1A
无 中 生 有
=In-(B-BAB)(Im-AB)^-1=In-(In-BA)B(Im-AB)^-1
战 术 转 移

这个公式是有用的。

给出运用：

例11 Sherman-Morrison formula（然而我并不知道中文叫啥所以也不好搜）

bing到一个甚至贴了python实现的博客https://blog.csdn.net/jclian91/article/details/80254568
我们不知道为什么要往上面那个公式靠，但是首先要有单位阵啊，所以提出A^-1，然后套上面的步骤
关于三个乘一起怎么切：如果不是切成nx1的，那两个都是nxn的，啥也看不出来，题目里的条件也用不上。
那个奇怪的非零条件：就是保证"Im-AB"可逆，（在这道题里已经是一个一阶矩阵也就是实数了）（鬼会想到这么奇怪的条件是这么凑的啊）

记得助教说：计算机求逆真的很烦，所以能不求就不求，这个曲线救国只用求A逆就可以得到

例12 Woodbury matrix identity

这还是道好心的证明题，凑一凑就好。不过证明逆是这一串的题不是乘起来=I就走人吗
题目里第三个可逆是用来证"Im-AB"可逆的。

2.求一个分块矩阵的逆（已知右下角的那块可逆）

我们用初等行变换法求逆。由于只告诉了E可逆，我们肯定从E入手，而得到单位矩阵再消别的会很舒服。
这时候也许会稍微卡一下：一个B-CE^-1D是不是可逆呢？
事实上，A是可逆的，则初等行变换之后是满秩的，（右下角已经是单位阵了不过好像也不重要）所以它当然是满秩的。
**事实上，我们把B-CE^-1D叫分块E在矩阵A中的Schur补。

变：已知左上角的B可逆
同样把E-DB^-1C叫B在A中的Schur补。

3.接着上面那道题，我们干脆把A逆也分块设出来，求证|A||Y|=|B|

\[\begin{pmatrix} V & W \\ X & Y \\ \end{pmatrix} \]

证1

你看结论里有B，我们试着用一下第二题变式的结论，
【但是前提是B可逆】
也就是把变换完之后右边那一堆奇奇怪怪的抄下来，当然我们只需要Y。Y长得还是挺好看的，|Y|=|E-DB^-1C|^-1
但是tm怎么证|A|=|B||E-DB^-1C|啊？
|A|是一个我们不太好动的东西。我们只能又把它写成分块的。或者说这个式子里的行列式都不太动得了。
行列式相乘又有等号？
矩阵相乘的等式取行列式可以得到这些东西。
也许我们应该去找矩阵的方程。当然BA阶数都不一样。那就凑点单位阵。至于只要是上三角，右上角是啥不关我事。
仔细想想E-DB^-1C这东西，是A分块第一行乘B逆之后，第二行减第一行D倍（消掉左下角的D）算来的。
把这个行变换打包成一个左乘矩阵，它是下三角，它的行列式等于1/|B|。
【B不可逆咋办】
法1
这时候B不是满秩，|B|=0，则C必须满秩要不然|A|=0。再看一眼结论，只用证|Y|=0。
我们把AA^-1=I强行代一下，那么右上角的BW+CY=O，移项取行列式得到
|C||Y|=-|B||W|=0，则|Y|=0。C真的必须满秩吗……我怎么感觉我写错了。
法2
也是证明|Y|=0.
我们反证。那Y可逆。
我们对A逆运用这道题的结论（因为上一种情况证的"B"可逆的时候已经得到了！！！）
1/|A|·|B|=|Y|与|B|=0矛盾。
法3
“如果xxx不可逆的情况…………………………………………”有没有想起来前面的！！！！
我们就把A加上tI然后取极限。
当然这个数分需要证明它在0连续。
这是一堆多项式。
AB好说，我们看Y怎么是行列式了。Y是A逆的右下角的一块。A^-1=A*/|A|而A的伴随矩阵每一项都是多项式。所以把Y拆开也是多项式除法。

证2

我们在证1情况2的法1里用到了让A和A逆分块的各部分随缘乘加的方程。
然后取行列式。
其实我们可以一步到位，整道题全靠取行列式。
也就是说，凑一些上三角下三角，补一些I换一些O，en凑到行列式等于|Y|和|B|的n阶矩阵。
太魔法了兄弟。
A乘（分块：左上角I右上角D右下角Y）=分块：左上角B右下角I左下角D
大概是右边的B只能摆左上角，那右下角是单位。左边A左乘的话保B左上角I右上角O然后凑不出来。A右乘保B左上角I左下角O，保Y右下角必Y，保右上角O刚好BW+CY=0右上角填W，其实最后左下角乘出啥也不重要了。

4.这道题也太离谱了吧

（不知道用助教xgg的一道题会不会侵权耶..但是确实懒得抄题了 侵删（
太离谱了太离谱了太离谱了！！！！这在算天书吗！

欧几里得空间

在n维向量空间Rn中定义内积后，就称之为Euclid空间。

内积：对称线性正定

极化恒等式

注意a²=(a,a)=a^Ta
即|a+b|²=(a+b,a+b)

一个“高维”的“托勒密”（应该不是这么叫）

这反演就生草

JOJO，我已经迷失在欧几里得空间了！我是个三维空间的普通生物！
讲欧几里得空间大概是后面用内积的很多，而且我们平时生活习惯了欧氏空间应该强调一下身边空气的重要（非欧空间：）

正交矩阵

正交矩阵是怎么提出来的？

刚才说了欧几里得空间，我们考虑V到V的线性映射。
我们再考虑两种特殊的线性映射，它们是等价的：
1.保内积
2.保长度
证明的核心也是|a|²=(a,a)。对于2→1，要努力化成一样的向量，我们考虑的是α+β。

如果对于一个矩阵A，线性映射f(α)=Aα，满足上面的保内积保长度，这个A是正交矩阵。（A^TA=I>）

正交矩阵的性质

1.所有列（行）向量构成标准正交基

2.行列式值是±1旋转/反射

3.A^TA=I

QR分解

对于一个可逆矩阵A，存在正交矩阵Q和主对角元都是正数的上三角矩阵R，A=QR，这样的分解是唯一的。

存在性

助教使用了很多种方法，我们还是用最传统的施密特正交化法。
设A的列向量组是(α1...αn)。
A是可逆的，所以它们线性无关，我们开始施密特正交化。前提不能忘了！
然后再单位化。得到η1...ηn。
(η1...ηn)就是我们想要的Q。
剩下的会和R有关吗？
当然η1...ηn是能被α1...αn线性表示的，我们全部把相应系数设出来，
由正交化的过程，βi确实只由α1...αi线性表示。除以一个模长当然也还是。而且αi的系数是1/模长.
这样叠起来是一个上三角B。它的主对角元是正数。
AB=Q.
取R=B逆即可。

唯一性

如果A=Q1R1=Q2R2
我们要证他们相等。。。啥玩意啊？
还好这些矩阵性质好，可逆的，正交矩阵还可以避开逆
上三角的乘积还是上三角，正交的乘积还是正交，
又是上三角又是正交那得是单位阵
你把Q1Q2贴贴R1R2贴贴（逆）
发现这等式tm又是上三角又是正交矩阵
所以说是Q1^TQ2=R1R2^-1=I
也就是Q1=Q2 R1=R2

当A不是方阵但是满秩时

还是可以正交化得到Q但是它已经不方了，它的列向量组是线性无关的也是长度是单位的，但是行向量组莫得。所以这个伪正交矩阵Q^TQ=In但是QQ^T并不一定是Im

当A不可逆时

施密特正交化会出现0，Q里有0了，没办法推出唯一。

QR分解可以快速计算最小二乘法的解。

最小二乘法是啥啊啊啊啊啊啊A^TAX=A^TB

一道。。。题

α是一列模长为1的向量，证明存在一个对称的正交矩阵A，使得A的第一列是α。
啥啊？？？搁这扩充呢？
我们把α的第一个元素a抓出来，剩下一列叫做β(是n-1行的），所以a²+β^Tβ=1
然后让A是（假装打出来了）（待定系数就离谱）（但是系数后面的才离谱吧。。？）
所以A²=...=I然后得到两个（我想要的）等式
根据一个和前面模长条件解出待定的系数k。
这时候我们发现要保证分母不为0，这只要单独讨论a=±1的时候即可
然后再丢到想要等于单位的一堆里，展开好家伙还真的是单位。。。