使用分治算法解决循环赛日程安排问题
问题描述：某学校举行乒乓球比赛，在初赛阶段设置为循环赛，设有n位选手参赛，初赛共进行n-1天，每位选手要与其他每一位选手进行一场比赛，然后按照积分排名选拔进入决赛的选手，根据学校作息时间，要求每位选手每天必须比赛一场，不能轮空。
代码如下：
#include <stdio.h>
#defi ne MAXN 64
int a[MAXN+1][MAXN+1]={0};
void gamecal(int k,int n);
void gamecal(int k,int n) //处理编号k开始的n个选手的日程
{
int i,j;
if(n==2)
{
a[k][1]=k; //参赛选手编号
a[k][2]=k+1; //对阵选手编号
a[k+1][1]=k+1; //参赛选手编号
a[k+1][2]=k; //对阵选手编号 2号选手对阵1号选手
}
else{
gamecal(k,n/2);
gamecal(k+n/2,n/2); // 以四个选手为例，3号选手开始安排2名选手
for( i=k;i<k+n/2;i++) //填充矩阵右上角
{
for(j=n/2+1;j<=n;j++)
{
a[i][j]=a[i+n/2][j-n/2];
}
}
for(i=k+n/2;i<k+n;i++) //填充矩阵右下角
{
for(j=1+n/2;j<=n;j++)
{
a[i][j]=a[i-n/2][j-n/2];
}
}
}
}
int main(){
int m,i,j;
printf("请输入参赛选手的人数:");
scanf("%d",&m);
j=2;
for(i=2;i<8;i++) //判断是否为2的整数次幂
{
j=j*2;
if(j==m) break;
}
if(i>=8)
{
printf("参赛选手人数必须为2的整数次幂，且不超过64！\n");
return 0;
}
gamecal(1,m);
printf("\n编号");
for(i=2;i<=m;i++)
printf("%2d天",i-1);
printf("\n");
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j<=m;j++)
printf("%4d",a[i][j]); //将全局变量数组a[][]整合输出
printf("\n");
}
return 0;
}
程序功能和算法原理
- 功能：根据参赛选手的数量，生成一个完整的比赛日程表，即每位选手在每一轮比赛中的对手编号。
-
算法原理：该程序使用分治策略递归地构建日程表：
- 如果只有两名选手，直接安排他们相互对战。
- 如果选手数量大于2，则将选手分成两组，每组递归地调用
gamecal函数进行安排。 - 安排完两组内部的比赛后，通过填充矩阵的方法安排组间比赛，确保每个选手都能与其他组的每个选手对战。
代码详细说明
gamecal函数
- 接受两个参数：
k表示当前处理的起始选手编号，n代表当前处理的选手总数。 - 基本情况：当
n == 2时，意味着这是最小的比赛单位，直接安排这两个选手相互对战。 - 分治递归：首先对半分组，然后对每一半调用
gamecal进行递归处理。 - 组间安排：使用两个嵌套循环完成组间的比赛安排，具体包括填充矩阵的右上角和右下角部分。
main函数
- 询问用户输入参赛选手人数，并检查是否满足条件（是2的整数次幂且不超过64）。
- 调用
gamecal函数从1开始，为所有选手生成日程表。 - 打印出完整的日程表，其中行表示选手编号，列表示比赛天数，表格内容为每天对应的对手编号。
关键技术和算法优势
- 分治思想：通过将问题分解为更小的子问题来简化复杂度。
- 递归实现：简洁而高效地实现算法逻辑。
- 灵活的矩阵操作：巧妙地利用数组填充技术完成日程表的构建。
为了清晰地演示循环赛日程表的填充过程，我们以4个选手为例子。这个过程体现了分治法的应用，其中问题不断被分解成更小的单元，然后递归处理和合并结果。
演示日程表的填充过程
首先，我们有4个选手（1, 2, 3, 4），我们需要为这些选手安排一个日程表使得每位选手都与其他所有选手进行比赛，且每轮只进行一次比赛。
日程表初始为空：
plaintextCopy Day1 Day2 Day3
1
2
3
4
分治步骤
Step 1: 处理基本情况
对于最基础的情况（即两个选手），日程表如下所示：
plaintextCopy Day1
1 2
2 1
这意味着选手1将在第一天与选手2比赛，而选手2将在第一天与选手1比赛。
Step 2: 分治和递归
当有4个选手时，我们按照分治策略，将这4个选手分为两组，每组2个选手（1和2是第一组，3和4是第二组）。首先，我们为前两个选手和后两个选手各自执行Step 1中的过程。
plaintextCopy Day1
1 2
2 1
Day1
3 4
4 3
Step 3: 合并结果
接下来要合并这两部分的结果，确保组内的选手也与组外的每个选手进行比赛。我们通过矩阵操作来完成这一点：
- 将后半组（3，4）的日程复制到前半组（1，2）的Day2上，这样就保证了每位选手至少与另外两位选手比赛。
- 将前半组（1，2）的日程复制到后半组（3，4）的Day2上，形成镜像关系，完成全部比赛日程的安排。
结果如下：
plaintextCopy Day1 Day2
1 2 3
2 1 4
3 4 1
4 3 2
此时，每个选手已经与其他两名选手比赛过，但还需要加入Day3以保证每名选手都能与剩余的那名选手比赛。
Step 4: 额外步骤—完成剩余日程
为了完成整个日程表，我们需进一步调整，确保所有选手均能相互竞赛，最终完成的日程表如下：
plaintextCopy Day1 Day2 Day3
1 2 3 4
2 1 4 3
3 4 1 2
4 3 2 1
回到代码来分析
for( i=k;i<k+n/2;i++) //填充矩阵右上角
{
for(j=n/2+1;j<=n;j++)
{
a[i][j]=a[i+n/2][j-n/2];
}
}
for(i=k+n/2;i<k+n;i++) //填充矩阵右下角
{
for(j=1+n/2;j<=n;j++)
{
a[i][j]=a[i-n/2][j-n/2];
}
}
填充矩阵右上角
考虑到日程表的左半部分（即前n/2天）已经通过递归调用被成功地填充了，现在的目标是填充右上角的部分，即为每个选手安排剩余的对手。
-
为什么这样填充：
a[i][j]=a[i+n/2][j-n/2];的意思是将下半区（下组选手）的比赛日程“复制”到上半区（上组选手）的右侧空白位置，但是因为是对不同的组之间进行比赛的安排，所以需要进行适当的调整。这里利用了循环赛日程的对称性和重复性，确保每位选手都能与其他小组中的每一位选手比赛。-
i+k表示当前处理列（选手），j+n/2表示当前处理行（天数），这个赋值实际上是在说：“今天我要与谁比赛？去看看另一个组相对应的那天他们是与谁比赛的，然后就与那个人比赛”。由于日程表的前半部分（左侧）已经被填充，我们可以通过参考这些已有的安排来填充右侧。
-
填充矩阵右下角
接下来填充右下角的部分，其逻辑类似于右上角部分的填充，只是方向相反。
-
为什么这样填充：
a[i][j]=a[i-n/2][j-n/2];的意思是将上半区（上组选手）的比赛日程“复制”到下半区（下组选手）的右侧空白位置，同样地，因为涉及到不同组之间的比赛安排，所以做了相应的调整。这种方法保证了日程表的完整性和公平性，使得每位选手最终都能与其他所有参赛者进行比赛。
在这两步操作中，通过巧妙地利用已知的日程（左侧部分）来生成未知的日程（右侧部分），算法展示了分治法的强大能力：将问题分解成子问题，解决子问题，然后合并结果。通过这样的方式，即使在没有显式地计算出每对选手之间具体比赛日的情况下，也能确保构建一个符合要求的循环赛日程表。