前言
三角函数的求值，对许多学生而言，都是个噩梦，我们不妨借助这篇博文梳理思路。
考察角度
角度一：已知角是一个，未知角也是一个角
分析：如果已知的角为一个，如\(\alpha-\cfrac{\pi}{3}\)，未知角也是一个，如\(\alpha\)，此时二者之间的关系往往利用互余、互补、半角、倍角、特殊角的角度建立联系，
比如本题目\(\alpha=(\alpha-\cfrac{\pi}{3})+\cfrac{\pi}{3}\)，
故\(sin\alpha=sin[(\alpha-\cfrac{\pi}{3})+\cfrac{\pi}{3}]=sin(\alpha-\cfrac{\pi}{3})cos\cfrac{\pi}{3}+cos(\alpha-\cfrac{\pi}{3})sin\cfrac{\pi}{3}=\cfrac{15+8\sqrt{3}}{34}\).
- 备注：简单题目只需要用到互余、互补、半角、倍角、特殊角中的某一个角度就可以求解；
分析：注意到已知角为一个\(\alpha+\cfrac{\pi}{6}\)，未知角也是一个\(2\alpha+\cfrac{\pi}{12}\)，
故二者之间的联系可能是从余、补、半、倍、特的角度建立联系，
故将已知角二倍得到\(2(\alpha+\cfrac{\pi}{6})=2\alpha+\cfrac{\pi}{3}\)，发现还是和未知角不一样，故做差就发现，
故\(sin(2\alpha+\cfrac{\pi}{12})=sin[2(\alpha+\cfrac{\pi}{6})-\cfrac{\pi}{4}]\)
\(=sin[2(\alpha+\cfrac{\pi}{6})]cos\cfrac{\pi}{4}-cos[2(\alpha+\cfrac{\pi}{6})]sin\cfrac{\pi}{4}\)
\(=2sin(\alpha+\cfrac{\pi}{6})cos(\alpha+\cfrac{\pi}{6})cos\cfrac{\pi}{4}-[2cos^2(\alpha+\cfrac{\pi}{6})-1]sin\cfrac{\pi}{4}\)
\(=\cdots=\cfrac{17\sqrt{2}}{50}\).
- 备注：复杂一些的题目可能需要用到互余、互补、半角、倍角、特殊角中的某两个以上的角度才可以求解；
分析：\(cos(\cfrac{2\pi}{3}+2\alpha)=cos[\pi-(\cfrac{\pi}{3}-2\alpha)]\)
\(=-cos[2(\cfrac{\pi}{3}-\alpha)]=-1+2sin^2(\cfrac{\pi}{3}-\alpha)\)
\(=-1+2\times (\cfrac{1}{4})^2=-\cfrac{7}{8}\)，故选A。
分析：先将已知条件变形为\(\sqrt{3}sin(\alpha+\cfrac{\pi}{6})=-\cfrac{4\sqrt{3}}{5}\)，
即\(sin(\alpha+\cfrac{\pi}{6})=-\cfrac{4}{5}\)，求\(cos(\alpha+\cfrac{2\pi}{3})\)；
到此题目的要求明显多了，就是个给值求值题目；
故这样变形，\(cos(\alpha+\cfrac{2\pi}{3})=cos(\alpha+\cfrac{\pi}{6}+\cfrac{\pi}{2})=-sin(\alpha+\cfrac{\pi}{6})=\cfrac{4}{5}\)；
解析：因为 \(0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}\)， 所以 \(75^{\circ}<75^{\circ}+2\alpha<255^{\circ}\)，
又因为 \(\sin(75^{\circ}+2\alpha)=-\cfrac{3}{5}<0\)， 所以 \(180^{\circ}<75^{\circ}+2\alpha<255^{\circ}\)，
又由于角 \(75^{\circ}+2\alpha\) 为第三象限角，所以 \(\cos(75^{\circ}+2\alpha)=-\cfrac{4}{5}\)
又由于\(\sin(75^{\circ}-\alpha)=\cos(15^{\circ}+\alpha)\)，[注意：动态角的互余关系]
所以 \(\sin(15^{\circ}+\alpha)\cdot\sin(75^{\circ}-\alpha)=\sin(15^{\circ}+\alpha)\cdot\cos(15^{\circ}+\alpha)\)
\(=\cfrac{1}{2}\sin(30^{\circ}+2\alpha)=\cfrac{1}{2}\sin [(75^{\circ}+2\alpha)-45^{\circ}]\)
\(=\cfrac{1}{2}[\sin(75^{\circ}+2\alpha)\cos45^{\circ}-\cos(75^{\circ}+2\alpha)\cdot\sin 45^{\circ}]\)
\(=\cfrac{1}{2}\times(-\cfrac{3}{5}\times \cfrac{\sqrt{2}}{2}+\cfrac{4}{5}\times\cfrac{\sqrt{2}}{2})=\cfrac{\sqrt{2}}{20}\)
- 角度二：已知角为两个，未知角为一个角，此时常常用两个已知角的线性表示来刻画未知角
分析：如果已知的角为两个，如\(\alpha\)和\(\alpha-\beta\)；未知角是一个，如\(\beta\)，此时二者之间的关系往往利用两个已知角的和差就能凑出未知角，比如本题目\(\beta=\alpha-(\alpha-\beta)\)
故\(tan\beta=tan[\alpha-(\alpha-\beta)]=\cfrac{tan\alpha-tan(\alpha-\beta)}{1+tan\alpha\cdot tan(\alpha-\beta)}=-\cfrac{1}{12}\)
分析：由题目\(sin\alpha+sin\beta=\sqrt{3}(cos\beta-cos\alpha)\)，则\(sin\alpha+\sqrt{3}cos\alpha=\sqrt{3}cos\beta-sin\beta\)，
即\(cos(\alpha-\cfrac{\pi}{6})=cos(\beta+\cfrac{\pi}{6})\)，
又\(\alpha-\cfrac{\pi}{6}\in(-\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{\pi}{3})\)，\(\beta+\cfrac{\pi}{6}\in(\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{2\pi}{3})\)，
则有\(\alpha-\cfrac{\pi}{6}=\beta+\cfrac{\pi}{6}\)，即\(\alpha=\beta+\cfrac{\pi}{3}\)
故\(sin3\alpha+sin3\beta=sin3(\beta+\cfrac{\pi}{3})+sin3\beta\)
\(=sin(3\beta+\pi)+sin3\beta=-sin3\beta+sin3\beta=0\)
法一: 因为 \(\alpha\) 为锐角， \(\beta\) 为第二象限角，
则有\(0<\alpha<\cfrac{\pi}{2}\)，\(2k\pi+\cfrac{\pi}{2}<\beta<2k\pi+\pi\)，\(k\in \Z\)，
故有\(2k\pi-\pi<\alpha-\beta<2k\pi\)，\(2k\pi+\cfrac{\pi}{2}<\alpha+\beta<2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}\)，\(k\in \Z\)，
又由于\(\cos (\alpha-\beta)>0\)，\(\sin (\alpha+\beta)>0\)，
所以 \(\alpha-\beta\) 为第四象限角， \(\alpha+\beta\) 为第二象限角，
因此 \(\sin(\alpha-\beta)=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos(\alpha+\beta)=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)
所以 \(\sin2\alpha=\sin(\alpha-\beta+\alpha+\beta)=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\times(-\cfrac{\sqrt{3}}{2})+\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{2}=1\)
因为 \(\alpha\) 为锐角，所以\(2\alpha=\cfrac{\pi}{2}\)，
所以 \(\sin(3\alpha-\beta)=\sin(2\alpha+\alpha-\beta)=\cos(\alpha-\beta)=\cfrac{1}{2}\)，选 \(B\).
法二: 因为 \(\alpha\) 为锐角， \(\beta\) 为第二象限角，
则有\(0<\alpha<\cfrac{\pi}{2}\)，\(2k\pi+\cfrac{\pi}{2}<\beta<2k\pi+\pi\)，\(k\in \Z\)，
故有\(2k\pi-\pi<\alpha-\beta<2k\pi\)，\(2k\pi+\cfrac{\pi}{2}<\alpha+\beta<2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}\)，\(k\in \Z\)，
又由于\(\cos (\alpha-\beta)>0\)，\(\sin (\alpha+\beta)>0\)，
所以 \(\alpha-\beta\) 为第四象限角， \(\alpha+\beta\) 为第二象限角，
因此 \(\sin(\alpha-\beta)=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\cos(\alpha+\beta)=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，
所以 \(\cos2(\alpha-\beta)=2\cos^{2}(\alpha-\beta)-1=2\times(\cfrac{1}{2})^{2}-1=-\cfrac{1}{2}\)，
\(\sin2(\alpha-\beta)=2\sin(\alpha-\beta)\cos(\alpha-\beta)=2\times(-\cfrac{\sqrt{3}}{2})\times\cfrac{1}{2}=-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)，
所以 \(\sin(3\alpha-\beta)=\sin[2(\alpha-\beta)+(\alpha+\beta)]\)
\(=\sin2(\alpha-\beta)\cos(\alpha+\beta)+\cos2(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta)\)
\(=(-\cfrac{\sqrt{3}}{2})\times(-\cfrac{\sqrt{3}}{2})+(-\cfrac{1}{2})\times\cfrac{1}{2}=\cfrac{1}{2}\)，故选\(B\).
分析：由已知可得：\(sin\alpha=\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)，\(cos(\alpha+\beta)=\pm\cfrac{4}{5}\)，
若\(cos(\alpha+\beta)=\cfrac{4}{5}>\cfrac{\sqrt{5}}{5}=cos\alpha\)，则有\(\alpha+\beta<\alpha\)，
即\(\beta<0\)，这与\(\beta\)为锐角矛盾舍去，故\(cos(\alpha+\beta)=-\cfrac{4}{5}\)，
所以\(cos\beta=cos[(\alpha+\beta)-\alpha]\)
\(=cos(\alpha+\beta)cos\alpha+sin(\alpha+\beta)sin\alpha\)
\(=\cfrac{2\sqrt{5}}{25}\)，故选\(A\)。
法1：由题目可知，\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}(sin\alpha+cos\alpha)=\cfrac{3}{5}\)，则\(sin\alpha+cos\alpha=\cfrac{3\sqrt{2}}{5}\)，
和\(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\)联立，得到\(2sin^2\alpha-\cfrac{6\sqrt{2}}{5}sin\alpha-\cfrac{7}{25}=0\)，即\((\sqrt{2}sin\alpha+\cfrac{1}{5})(\sqrt{2}sin\alpha-\cfrac{7}{5})=0\)
解得\(sin\alpha=-\cfrac{\sqrt{2}}{10}\)，或\(sin\alpha=\cfrac{7\sqrt{2}}{10}\)(不符，舍去)，
即\(sin\alpha=-\cfrac{\sqrt{2}}{10}\)，\(cos\alpha=\cfrac{7\sqrt{2}}{10}\)，从而\(tan\alpha=-\cfrac{1}{7}\)
代入\(tan(\alpha-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{tan\alpha-1}{1+tan\alpha}=-\cfrac{4}{3}\)；
法2：由\(sin\alpha+cos\alpha=\cfrac{3\sqrt{2}}{5}\)，得到\(2sin\alpha cos\alpha=-\cfrac{7}{25}\)，
则有\((sin\alpha-cos\alpha)^2=\cfrac{32}{25}\)，由于\(\alpha\)为第Ⅳ象限角，
得到\(sin\alpha-cos\alpha=-\cfrac{4\sqrt{2}}{5}\)，又\(sin\alpha+cos\alpha=\cfrac{3\sqrt{2}}{5}\)，
即\(sin\alpha=-\cfrac{\sqrt{2}}{10}\)，\(cos\alpha=\cfrac{7\sqrt{2}}{10}\)，从而\(tan\alpha=-\cfrac{1}{7}\)
代入\(tan(\alpha-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{tan\alpha-1}{1+tan\alpha}=-\cfrac{4}{3}\)；
法3：由\(2sin\alpha cos\alpha=-\cfrac{7}{25}\)，得到\(\cfrac{2sin\alpha cos\alpha}{sin^2\alpha+cos^2\alpha}=-\cfrac{7}{25}\)，
则\(\cfrac{2tan\alpha}{tan^2\alpha+1}=-\cfrac{7}{25}\)，解得\(tan\alpha=-7\)或\(tan\alpha=-\cfrac{1}{7}\)，
又由于又\(sin\alpha+cos\alpha=\cfrac{3\sqrt{2}}{5}\)，则\(|cos\alpha|>|sin\alpha|\)，即\(|tan\alpha|<1\)，
故保留\(tan\alpha=-\cfrac{1}{7}\)，代入\(tan(\alpha-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{tan\alpha-1}{1+tan\alpha}=-\cfrac{4}{3}\)；
[法1]：从数的角度分析，借助三角函数的变换求解；将已知的角看成两个角\(\theta\)和\(\cfrac{\pi}{4}\)的差，
由于\(\sin(\theta-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\)，即\(\sin\theta\cdot \cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cos\theta\cdot \cfrac{\sqrt{2}}{2}=\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\),
整理得到，\(\sin\theta-\cos\theta=\cfrac{4}{3}\)，两边平方得到\(1-\sin2\theta=\cfrac{16}{9}\)
则\(\sin2\theta=-\cfrac{7}{9}\)，故选\(B\);
[法2]：从数的角度分析，借助三角函数的变换求解；将已知的角\(\theta-\cfrac{\pi}{4}\)看成一个整体角，
\(\sin2\theta=\cos(\cfrac{\pi}{2}-2\theta)=\cos2(\cfrac{\pi}{4}-\theta)=\cos2(\theta-\cfrac{\pi}{4})\)
\(=1-2\sin^2(\theta-\cfrac{\pi}{4})=1-2\cdot (\cfrac{2\sqrt{2}}{3})^2=-\cfrac{7}{9}\)，故选\(B\);
[法3]：从形的角度分析，借助三角函数线求解；
做平面直角坐标系和单位圆，由\(\sin(\theta-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{2\sqrt{2}}{3}\)可知，
则角\(\theta-\cfrac{\pi}{4}\)的终边位于射线\(OA\)或\(OB\)上，其关于\(y\)轴对称，
将其顺时针旋转\(\cfrac{\pi}{4}\)，得到角\(\theta\)的终边位于射线\(OC\)或\(OD\)上，其关于\(y=-x\)轴对称，
将角\(\theta\)乘以\(2\)倍，则得到角\(2\theta\)的终边位于射线\(OM\)或\(ON\)上，其关于\(y\)轴对称，
结合图像，如果做其正弦线，可知首先排除选项\(A\)，\(C\)，比较选项\(B\)，\(D\)，可知应该排除\(D\)，而选\(B\)；
可转化型
分析：当由两个已知角 \(\alpha\) 和 \(\alpha+\beta\) 的代数和不能表示未知角时，我们应该考虑能不能得到另外的两个已知角，再来表示未知角，很明显就渗透有转化划归思想在里面。
解析：由题目可知， \(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=\cfrac{3}{5}\)，
由于 \(\alpha\)，\(\beta\in (0,\cfrac{\pi}{2})\)，故 \(\sin2\alpha=\cfrac{4}{5}\)，\(\sin(\alpha+\beta)=\cfrac{12}{13}\)，
则 \(\cos(\alpha-\beta)=\cos[2\alpha-(\alpha+\beta)]\)
\(=\cos2\alpha\cdot\cos(\alpha+\beta)+\sin2\alpha\cdot\sin(\alpha+\beta)=\cfrac{63}{65}\)
故选 \(B\).
新题补充
分析：由已知条件，解方程得到\(sin\alpha=-2\)(舍去)，\(sin\alpha=\cfrac{3}{4}\)，则\(cos2\alpha=1-2sin^2\alpha=-\cfrac{1}{8}\)。
分析：由\(\alpha\)为第Ⅳ象限角，且\(sin(\alpha+\cfrac{\pi}{3})=\cfrac{3}{5}\)，则\(cos(\alpha+\cfrac{\pi}{3})=\cfrac{4}{5}\)，
则\(sin(\alpha+\cfrac{\pi}{12})=sin[(\alpha+\cfrac{\pi}{3})-\cfrac{\pi}{4}]=\cfrac{3}{5}\times \cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cfrac{4}{5}\times \cfrac{\sqrt{2}}{2}=-\cfrac{\sqrt{2}}{10}\)。
分析：\(sin2\alpha=-cos(\cfrac{\pi}{2}+2\alpha)=-[2cos^2(\alpha+\cfrac{\pi}{4})^2-1]=-\cfrac{9}{16}\)，故选\(B\).
法1：先求得\(tan\alpha=-\cfrac{1}{7}\)，则\(\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{-1}{7}=\cfrac{-k}{7k}\)，\((k\neq 0)\)，
则\(sin\alpha=-k\)，\(cos\alpha=7k\)，则由\(k^2+49k^2=1\)得到\(k^2=\cfrac{1}{50}\)，
故\(sin2\alpha=2sin\alpha\cdot cos\alpha=2\times (-k)\times 7k=-14\times k^2=-14\times \cfrac{1}{50}=-\cfrac{7}{25}\)，故选\(C\)。
法2：先求得\(tan\alpha=-\cfrac{1}{7}\)，由二次齐次式可得
\(sin2\alpha=\cfrac{2sina\cdot cos\alpha}{sin^2\alpha+cos^2\alpha}=\cfrac{2tan\alpha}{tan^2\alpha+1}=-\cfrac{7}{25}\)，故选\(C\)。
法1：由\(\sin(\alpha+\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha+\cos\alpha)=\cfrac{\sqrt{2}}{10}\)，可以得到\(\sin\alpha+\cos\alpha=\cfrac{1}{5}\)，
又\(\alpha\)为第二象限角，结合勾股数\(3,4,5\)，可知\(\sin\alpha=\cfrac{4}{5}\)，\(\cos\alpha=-\cfrac{3}{5}\)，
\(\tan\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{\sin\cfrac{\alpha}{2}}{\cos\cfrac{\alpha}{2}}\)
\(=\cfrac{\sin\cfrac{\alpha}{2}\cdot 2\cdot\cos\cfrac{\alpha}{2}}{\cos\cfrac{\alpha}{2}\cdot 2\cdot\cos\cfrac{\alpha}{2}}=\cfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\)
\(=\cfrac{\frac{4}{5}}{1-\frac{3}{5}}=2\)， 故选\(C\).
法2：由\(\sin(\alpha+\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin\alpha+\cos\alpha)=\cfrac{\sqrt{2}}{10}\)，可以得到\(\sin\alpha+\cos\alpha=\cfrac{1}{5}\)，
则\(\sin\alpha+\cos\alpha=\cfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin^2\cfrac{\alpha}{2}+\cos^2\cfrac{\alpha}{2}}\)
\(=\cfrac{2\cdot\sin\cfrac{\alpha}{2}\cdot \cos\cfrac{\alpha}{2}+\cos^2\cfrac{\alpha}{2}-\sin^2\cfrac{\alpha}{2}}{\sin^2\cfrac{\alpha}{2}+\cos^2\cfrac{\alpha}{2}}\)
\(=\cfrac{2\tan\cfrac{\alpha}{2}-\tan^2\cfrac{\alpha}{2}+1}{\tan^2\cfrac{\alpha}{2}+1}=\cfrac{1}{5}\)
解得，\(\tan\cfrac{\alpha}{2}=2\)或\(\tan\cfrac{\alpha}{2}=-\cfrac{1}{3}\)，
由于\(\alpha\)为第二象限角，由八卦图法可知，\(\tan\cfrac{\alpha}{2}>0\)，故\(\tan\cfrac{\alpha}{2}=2\)，故选\(C\).
分析：\(\cos\alpha=\cos^2\cfrac{\alpha}{2}-\sin^2\cfrac{\alpha}{2}=\cfrac{\cos^2\cfrac{\alpha}{2}-\sin^2\cfrac{\alpha}{2}}{\cos^2\cfrac{\alpha}{2}+\sin^2\cfrac{\alpha}{2}}\)
\(=\cfrac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}=\cfrac{1-9}{1+9}=-\cfrac{4}{5}\)；故选\(B\).