第三讲 线性变换及其矩阵
一、线性变换及其运算
定义：设V是数域K上的线性空间，T是V到自身的一个映射，使得对于V中的任意元素x均存在唯一的y
V与之对应，则称T为V的一个变换或算子，记为
Tx＝y
称y为x在变换T下的象，x为y的原象。
若变化T还满足
T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)
x,y
V, k,l
K
称T为线性变换。
[例1] 二维实向量空间
，将其绕原点旋转
角的操作就是一个线性变换。
[证明] 
可见该操作T为变换，下面证明其为线性变换
，k，l
T是线性变换。
[例2] 次数不超过
的全体实多项式
构成实数域上的一个
维的线性空间，其基可选为
，微分算子
是
上的一个线性变换。
[证明] 显然
对
而言是变换，
要证明
满足线性变换的条件
，k，l
是
上的线性变换。
2. 性质
- 线性变换把零元素仍变为零元素
- 负元素的象为原来元素的象的负元素
- 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组
[证明] 线性变换T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)
（1）T(0)=T(0x)=0(Tx)=0
（2）T(-x)=(-1)(Tx)=-(Tx)
（3）元素组
线性相关，即存在一组不全为零的数
使
则 
线性相关。
[得证]
应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关。若线性变换
将所有的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩的线性变换，其变换矩阵为满秩矩阵。
3. 线性变换的运算
- 恒等变换
：
- 零变换
：
- 变换的相等：
、
是
的两个线性变换，
，均有
，则称
＝
- 线性变换的和
+
：
，
- 线性变换的数乘
：
，
负变换：
- 线性变换的乘积
：
，
- 逆变换
：
，若存在线性变换
使得
，则称
为
的逆变换
＝
- 线性变换的多项式：
，并规定
需要说明的是：
1）
也称为单位变换，它的矩阵表示为单位矩阵
；
2）
对应的矩阵表示为零矩阵；
3）和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律；
4）不是所有的变换都具有逆变换，只有满秩变换才有逆变换，
；
5）恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积多项式及逆变换（若存在）均为线性变换。
二、线性变换的矩阵表示
线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。
设
是线性空间
的一个线性变换，且
是
的一个基，
n，存在唯一的坐标表示
＝
因此，要确定线性变换
，只需确定基元素在该变换下的象就可以了。
对于任意元素
，在该基下，变换后
的坐标表示为
同时
对比可知：
＝
即： 
- 定义：把
称为
在基
下的矩阵。
- 定理：设
是
的一个基，
、
在该基下的矩阵分别为
、
。则有
（1）
（2）
（3）
（4）
推论1. 设
为纯量t的m次多项式，
为线性空间
的一个线性变换，且在
的基
下的矩阵为
，则
其中
推论2. 设线性变换
在
的基
下的矩阵为
，元素
在该基下的坐标为
，则
在该基下的坐标
满足
＝
3.相似矩阵
设
在
的两个基
及
的矩阵分别为
和
，且
＝
，则
即
和
为相似矩阵。
[证明] 
即
定理：
阶方阵
和
相似的充要条件是
和
为同一线性变换在不同基下的矩阵。
[证明] 必要性：已知
和
相似，即存在可逆矩阵
使
选取一个基
，定义
考虑
可作为基，且
和
为同一线性变换在不同基下的矩阵。
充分性的证明由相似矩阵定义的证明给出。
三、线性变换及矩阵的值域和核
- 定义：设
是线性空间
的线性变换，称
为
的值域；
称为
的核。
和
均为
的子空间。
设
为
阶矩阵，称
为矩阵
的值域；
为
的核。
、
称为
的秩和零度；
、
称为
的秩和零度。
- 定理：（1）
（2）
（3）
，
为
的列数。
若
是线性变换
的矩阵，则
=
，
=
作业：P77－78，1、26、7