Finance_finacial_engineering

Chapter 1

1. 什么是金融工程

广义定义：金融工程是对金融工具和流程的设计、开发和应用，为金融问题提供创造性的解决方案。
狭义定义：金融工程是通过运用创新的结构化金融工具为企业、机构和个人提供风险管理解决方案。

2. 什么是套利

无套利原理：在完美的无摩擦的市场中，相同的资产具有相同的价格。(一价定律)

3. MM理论

3.1 两种公司价值度量方法
　　会计度量：账面价值 — 成本计价—面向过去（）
　　金融度量：市场价值—折现计价—面向未来　（估值）　

　　会计等式：复式记账法 资产（资金用途） = 负债（资金来源） + 权益

　　金融等式：资金用途=资金来源

3.2 资本结构

　　金融杠杆：负债价值/总资产价值或负债价值/权益价值

3.3 MM理论及其假设:

　　MM理论：在不考虑公司所得税，且企业经营风险相同而只有资本结构不同时，公司的资本结构与公司的市场价值无关

　　MM理论假设：

无摩擦市场假设 : 企业不需缴纳所得税, 无交易成本, 不存在信息不对称, 企业的利益相关方可以无成本的解决彼此的利益冲突
负债无风险假设

　　企业资本结构对企业价值的影响：税盾效应（负债的利息是免税支出），税收情况下加权平均成本（负债+权益），股票价格。

税盾

A、B公司的BEIT为1亿。但B公司有负债，少交了税负。反而比A公司的价值高出了1320万元。

D：debit

E：equity

r_f 是无风险收益率

r_e 是权益风险的预期收益率

T：Tax

Chapter 2 资金的时间价值与利率期限结构

总结：

资金的时间价值，比如利率作为时间价值的度量。
基准利率以及利率期限结构。
远期价格以及远期利率。
远期合约的深入分析对复制组合这套方法的理解。

1.1 基准利率：即无风险利率。无风险利率随着期限而变化。（短期国债利率）

　　r是折现率也叫利率，度量的是资金的回报率。由于r受很多因素影响，所以使用r_t

2.1 名义利率 = 真实利率+通货膨胀率

　 真实利率 = 春时间价值+风险溢价

3.1 金融风险：

违约风险
流动性风险
购买力风险
利率风险
汇率风险
其他市场风险

无风险证券：国库券

4.1 复利

复利：就是将利息滚入本金计算复利。

4.2 零息债券：

5.1 利率期限结构:

一般来讲，收益率曲线是随时间变长而上升的，即长期债券的利率高于短期债券的利率。

短期利率又是由什么决定的？

央行是短期利率市场的垄断参与者。各国央行通过公开市场操作，或者对商业银行的窗口指导来调控短期利率，用来平滑经济体中的流动性波动。

通过短期利率影响中长期借贷利率，同时也引导通货膨胀预期。因此当经济活动过热时，央行通过提高短期利率来提高经济主体的借贷成分，抑制总需求降低通胀压力。这时收益率曲线一般是上升形态；当经济活动衰退时，央行通过短期利率的降低来降低经济主体的借贷成本，提升总需求，增加通货膨胀的预期。这时收益率曲线一般是下降形态。

流动性：就是短期变现的能力。显然短期债券相对于长期债券而言是易于变现的。投资者在做投资决策时，都偏好于流动性。

举个例子比如：我存钱是为了买房，预期在一年以后，但一年期的利率远比要三年的低。这时我可以购买三年期的债券，同时为了规避，一年以后的债券下跌的风险，我可以购买一个利率互换来规避风险。因为即使除掉风险管理的成本也比我购买一年期的债券收益率高。这时我就偏离了习惯，而购买期限比较长的债券。

根据以上收益率曲线的理论，当市场预期未来短期利率有下降的趋势，这意味着经济处于周期性衰退。因为此时，央行采取一周期调控降低利率，降低融资成本提高总需求。

现在我们来看看历史上发生的情形，收益率曲线反转亍经济衰退之间的关系。

图中展示的是：美国一九六八年到二零零六年之间的经济增长率与长短期利息差的历史走势。

按照美国国家经济研究局的定义：GDP的负增长就定义为经济的衰退。

利息差定义为：十年期国债收益率减去六个月短期国库券收益率之差。

经济增长率我们用红线表示，长短期利息差我们用蓝线表示。

图中我们可以很清楚的看到在这段时间内，美国共发生了六次衰退，分别发生在一九七三年，七五年八一年八三年，九零年和二零零二年，而对于每一次衰退利息差都早三到六个月之前发生了反转，这表明收益率的反转，在历史上非常好的预示了未来的经济衰退。

这是收益率曲线给我们带来的重要市场信息之一，因为这个指标的超前性收益率曲线通常也用来预测股市的走势。

6. 远期价格和远期利率

上图的算法是错的。为什么错的呢?

证券的定价必须满足无套利均衡定价，也就是这样定出来的价格。是否会产生套利的机会呢

如果有那它必定不是均衡价格，如果通过了无套利的检验，这时候定出来的价格才是无套利的均衡定价。

下面我们就用无套利均衡定价的方法来确定这个合约的远期价格:

如果无风险债券利率是rf等于百分之五，那么F就应该等于S0也就是一百乘以一加rf也就是一百零五，则F=105元。

　　　　　　　　　　　　现在cash　　利息/期望收益　　未来cash

策略一　买入无风险债券　　100　　　　　　5%　　　　　105

策略二　买入股票　　　　　100　　　　　　15%　　　　　 ?　　　

为了更清楚的了解套利机制是如何定价的。我们先假定远期合约是F等于一百零六元。我们看看这个假定的远期价格是否会产生套利机会。

我们建立这样的头寸，卖出面值为一百元的无风险债券，相当于以无风险利率借入一百元现金。

这一百元现金用来买入现价为一百元的股票，同时我们卖空这支股票的远期合约。

建立好这样的头寸后，我们看看这个头寸的现金流情况。

当期没有现金流入，也没有现金流出，因为远期合约的建立不产生当期现金流。

当期现金流一年以后也就是，远期合约到期的时候，卖空的远期现金流是远期价格一百零六减去S1。

股票的即期价格是S1卖空的债券还本付息，导致现金流出一百零五元到期日现金流入是一百零六减去一百零五是等于一元。这就是典型的无风险套利机会。

当期没有任何的投入，而到期日有正的现金流，这是免费的午餐。因此任何理性投资人都会做同样的交易，也就是卖空远期买入股票，使得远期价格下跌，直到跌至一百零五元，才会使到期日的现金流入消失。

如果远期价格低于一百零五元，我们可以做反向的交易，这样会使远期价格上升，也就是市场的套利机制。使得远期价格必须等于一百零五元。

通过以上的分析，我们可以得出以下的结论：

首先资产的远期价格不等于市场对于未来即期价格的预期商品的远期价格只与即期价格和无风险利率有关

7. 远期利率与互换

远期利率是如何确定的呢？

采用第一种投资策略，现在每一元钱的投资，两年后的市场价值是一加r2的二次方。

采用第二种投资策略，现在每一元的投资价，在第二年后的市场价格应该是一加r1乘以一加f1到2。

如果市场上一年以后的一年期国库券远期价格是F，国库券面值是p，远期利率是1f2就应该等于p减F除以F，也就是说远期利率，是已知的r1和r2也都是已知的，而这两种投资策略是无风险的，产生完全一样的现金流。由无套利均衡价格可知，两种的结果应该是相同的，也就是有以上这个公式。

N期的价格应该等于一加rn的n次方，然后是一加r1和一加所有这些远期利率的一个阶乘。

这张图总结了，零息利率折现因子和远期利率之间的关系：

所谓互换，广义来说就是买卖双方互相交换不同资产产生的收益。

之所以会有这样的交易出现是由于市场分割监管资本管制等导致。某一类投资人不方便持有某种资产，但又希望获取这种资产的经济收益。如货币互换。

利率互换是指买卖上方对同一货币的不同期限利率之间的互换。

比如说长期固定利率和短期浮动利率之间的互换。

图中这是一个典型的利率互换的现金流，按照合约规定对于利率互换协议，买方收取浮动利息，支付固定利息，而卖方收取固定利息，支付浮动利息。

在我们的现金流图中，箭头朝上表示现金的流入，箭头朝下是现金的流出。

我们用等长度的实线箭头表示固定利率支付，而用不同程度的箭头表示浮动利率的利息的支付。

由于利率互换市场是柜台交易市场，合约的确定由买卖双方协商决定，因此采用其他的浮动利率也是非常常见的，比如短期国库券利率，商业票据利率等等。但由于这些浮动利率之间的高度相关性，以及市场的流动性，同业拆借利率是最常见的浮动利率指数。

现金流如图所示其中，i记为息票利率，本金记为Par，Par乘以i 就是每期支付的利息

如果对于这种债券市场，根据他的风险状况所要求的预期回报率是r,，则净现值表示为NPV等于当期的现金流出也就是p0 （今天的债券价格）再加上未来现金流的折现以r为折现率，他们的净现值应该等于零。

前面我们已经说过，如果息票利率i和资金成本r相等，那么价格就应该等于它的面值p0等于Par，这呢就是我们要定义的平价债券。

现在我们用浮动利率筹措一笔资金数额等于平价债券的面值筹措的资金就是用来投资于这项平价债券。假如筹措的资金和投资的债券的付息日是严格匹配的这两个策略的现金流，如图所示，现在我们如果把这两个现金流合在一起，本金就会相互抵消所得到的就是利率的流入和流出了，这也就是我们得到的右侧的现金流，而我们发现这正好就是利率互换协议卖方的现金流，所以一个利率互换的空头是等于用浮动利率筹措资金并投资于平价债券的策略，而得到那互换的定价就变成了定出平价债券的息票利率

前面我们讨论过，利率互换的价格也就是利率互换的固定利息，就是平价债券的息票率，那么平价债券的息票率，又是如何决定的呢？

平价债券的定价方式，可以由零息债券的价格。用此来做折现得到，也就是他的未来现金流，折现得到的当期价格等于其面值可以解出息票率。这样我们得出，以下这个公式，来决定利率互换的定价。这就是平价债券的息票率也就是利率互换的定价。

Chapter 3 投资组合理论

3.1 投资组合理论：收益与风险的权衡

金融决策的核心问题是收益与风险的权衡。

投资人的投资过程，主要由两部分工作组成。第一部分是证券与市场的信息收集，对投资资产进行风险和回报的定性与定量的分析；第二部分工作是对资产进行最优的资产组合的构建。这一部分工作涉及到可行的资产组合中，决定最佳收益和风险的机会，选择最优的资产组合。

而在实际的投资决策的流程设计中，有的以第一部分为主，第二部分为辅，这称为自下而上的投资流程；而有的是以第二部分为主，第一部分为辅这称为自上而下的投资流程；当然也有以第一第二部分双重并举的策略，而每一部分的分析又包括定性与定量的分析方法。

CAPM和APT这两种经典的定价理论，是把第一部分的工作抽象出来做一些简化的假设，给定投资人具有共同的信息集合以及相同的分析方法，具体分析第二部分的组合构建与优化给出投资人对资产风险回报的需求函数，然后定出市场出清的均衡价格并刻画均衡价格的特征

我们的讨论则限于狭义的含义

首先一个问题是：是否存在一种对所有投资者来说，都适合的最佳的投资组合呢？答案是否定的

在金融市场中，并不存在一种对所有投资者来说都是最佳的投资组合。原因有以下几点：

哈里马科维茨在1952年提出了投资组合理论，它使得数量方法进入金融领域。

马科维茨采用资产预期回报率和回报率的标准差来度量收益和风险。

首先我们来分析一个两资产组合的收益和风险情况：

假定有两项资产，它们未来收益率是随机变量。我们把两项资产收益率的预期和标准差,分别记为E(r1)和E(r2)，σ1 σ2。资产1在组合里的比重是W，资产2的比重是1-W。组合的预期收益率和收益率的方差记为E(r)和σ。

由简单的概率论知识，我们有以下两个式子：

E(r)=WE(r1)+(1-W)E(r2)

σ^2=W^2 * σ1^2+(1-W)^2 * σ2^2 + 2W×(1-W)ρ σ1 σ2

其中ρ是相关系数的范围是-1和1之间

第一个式子说的是资产组合的预期收益，是组合中各项资产预期收益的加权平均。

第二个式子说的是组合的方差，也就是标准差的平方与他们之间的相关系数有关。

在以上的两资产组合中，我们先来讨论，其中一项资产是无风险资产的情况

W=E(r)-rf /E(r1)-rf，而E(r) 是等于rf加上E(r1)-rf除以σ1再乘以σ, 其中 E(r1)-rf 除以σ1, 这就是我们称的风险资产的夏普比率，也叫风险价格。

由上式我们可以得出结论，由一个有风险资产和无风险资产组成的所有组合，在风险收益图上也就是以标准差为横坐标，预期收益率为纵坐标的坐标图。在上面构成一条直线，而直线的斜率就是风险资产的夏普比率。

3.2 投资组合理论：风险的分散化

什么是风险分散?

假如有两项，有风险资产的组合，组合的收益率的方差的表达式可知 σ平方是在两项资产Wσ1减去(1-W)σ2平方和Wσ1加上(1-W)σ2平方之间的。这是因为两项资产的相关系数是在负1和正1之间，左边和右边不等式的等号成立时，对应于相关系数 ρ 等于负1和正1的情况，意味着这两项资产的风险可以完全正相关或者是负相关。这在实际上很少存在实际上它们可能是同一种资产的衍生品。

投资与资产1比例是0，投资与资产2的比例是100%，组合的预期收益率是8%，组合的标准差是0.15，我们既为组合R

第二个组合中，我们逐渐增加资产1的比例相应减少资产2的比例，投资于资产1的比例是10%，投资于资产2的比例是90%，这时组合预期收益率是8.6%，收益率的标准差是0.1479，我们标记为组合C。

重复以上过程，当我们逐渐增加资产1的比例，而减少资产2的比例，如图中所示，组合的位置从右下角向左上方移动，意味着预期收益率逐渐增加，且收益率标准差逐渐减小，当达到某一临界组合C时，标准差变为最小，这个临界组合叫做最小方差组合。

在这种情况下，资产1的比例是17%，资产2的比例是83%，预期收益率是9.02%，标准差是0.1474，这个是我们在这个，两风险资产组合当中所能得到的最小方差组合了，也就是再增加资产1的头寸组合方差又将增大，继续增加资产1的比例，比如投资与资产1的比例增加为50%，投资与资产2的比例是50%，组合的预期收益率是11%，组合的标准差增加为0.1569，我们记为组合D，直到我们把资产1的投资比例增加至100%，组合的预期收益率也就是资产1的，预期收益率是14%标准差0.2，我们记为组合S。

通过以上例子，我们发现改变资产比例，而得到的每一个组合都对应着风险收益图中的一个点，当组合中只有两种资产时，由这些点构成一条一维的曲线，这条曲线是条双曲线。但是当组合中的资产个数大于2时，在风险收益图中，所有可能组合所对应的点就不是一条一维的曲线了，而是一个二维的区域。

结论：通过扩大投资组合，即增加所包含的资产种类，而进行风险分散可以消除非系统风险，也就是企业风险，但不能消除系统风险。

由上面的式子可以得出下面有效组合的边界为一条双曲线。曲线内部的区域就构成N项资产的所有组合区域，区域中的每个点都表示一个可能的组合。

那么现在问一个问题,如果把区域中，任何两个点作为一个组合代表这些组合的点，会在图中什么位置呢？是落在两点的连线上，还是两点连线的左侧或右侧？

答案是他们一定会落在原来两个点连线的左侧，这是因为新的组合能进一步起到风险分散的作用，其标准差一定小于两个组合标准差的加权平均，这也就是曲线向上凸的原因，另外我们发现这个最小方差曲线是由上下两段构成的，而只有上方的那一段是有意义的，下面的那一段是没有意义的，因为在承受同样风险的情况下，上面的点所代表的投资组合的预期收益率比下面的点要高。因此我们称上方的那一段为有效组合边界。

有效组合边界的存在是和个别投资者的偏好没有关系的，那么具体到每一个投资人到底应该选择有效组合边界上的哪一个点呢？

为了说清楚这一点，我们需要介绍一下，投资者的风险收益效用函数。

效用函数是投资人对资产组合的偏好进行排序的方法，在所有的资产组合中，假如风险一定预期收益率越高的资产组合效用函数的数值越大，而收益一定风险大的资产组合。

效用函数：假设组合的预期收益率是 E(r) 收益的波动率，也就是标准差是σ一个典型的效用函数就可以写成U=E(r)-0.005A×σ平方，其中参数A是风险厌恶系数。

投资人越是厌恶风险，A就越高。这个效用函数说的是投资人的效用是预期收益减去风险厌恶系数与方差的乘积，通常也叫做风险调整后的预期收益，而这个才是投资人真正关注的，而不是收益率本身。

等效用函数是指给定效用函数的值，为某一个常数时，所有投资组合的预期收益与风险所满足的函数关系。

我们在风险收益图上画出一组等效用函数，所代表的曲线，每一条曲线上的组合有相同的效用值，不同效用值的曲线不相交，越往左上方移动等效用函数的函数值越大。每一条等效用函数是递增的，因为投资人对于承受高的风险要求高的风险溢价。在已经承受较高风险的情况下，要进一步增加风险就会要求更高的收益，这就是经济学里边际效用递减的原理。这使得等效用函数是个向下凹的函数。

在图中可以看出这一组等效用函数曲线中，有且只有一条适合有效组合边界相切的，这也就是所有能和有效组合边界相交的曲线中具有效用最高的那一条，这个切点所代表的组合，就是最佳组合。

3.3 两基金分离

这个定理在金融上的含义是什么呢？

如果有两支共同基金，他们都投资于有风险资产，而且都经营良好。经营良好意味着它们所管理的组合是处在有效组合边界上。那么两基金分离定理告诉我们任意别的基金，如果处于有效边界上，这个基金一定可以由原来两个基金，某种线性组合而构成。我们只要找到这样两家处在有效边界上的基金，投资人只要把资金按一定的比例分配给这两家基金就可以了。

如果引入了无风险资产我们又会得出什么样的结论呢？

这就是资本市场线在所有可能的风险资产组成构成的有效边界上最左边的点，就是最小方差组合。因为有系统风险存在最小方差组合，不是无风险的，其预期收益率，也一定高于无风险利率这样在风险收益图中，有效组合边界是不会和纵坐标相交的，而代表无风险资产的点是位于纵轴上。因此无风险资产一定落在有效组合区域之外，也就是无风险资产的加入一定能够扩展已有的有效组合边界，而构成新的有效组合边界。

根据前面的分析,无风险资产和有风险资产组成的组合是一条直线，这个新的组合的点一定落在连接无风险资产，也就是纵轴上的rf点和有效组合边界区域内。某个点的连线上，当然这样的直线有无数多条，但我们很容易从图中发现，当这条直线围绕rf点，旋转时，不管投资者的收益风险偏好如何，越在上面的直线上的点，效用越大。效用值最大的组合，一定是与有效组合边界相切的那一个点。我们把切点记为M，连接rf点和M点的这条直线就构成了无风险资产与有风险资产组合的有效组合边界这条直线就被称为 资本市场线。

我们就得到一个很有意思的结论，就是对从事投资服务的金融机构来说，不管投资者的风险偏好如何。只要找到切点所代表的有风险投资组合，再加上无风险的资产，就能为所有的投资者。提供最佳的投资方案，投资者的风险偏好就反映在组合中无风险资产所占的比例。

资本市场线的斜率是有风险资产的夏普比率，也就是说所有的资本市场线上的组合。有相同的夏普比率，当投资于有风险资产的投资比例大于1时就代表投资人采用了杠杆进行投资。

3.4 市场投资组合

在市场组合中，所有资产所占的比重就是该项资产，所占整体市场总市值的比重，这个是由市场出清条件决定。

辩证所有资产都包含在M组合中：

如果一个市场中，投资人都是理性，任何市场中存在的资产必须被包含在M所代表的资产组合中，这是因为投资人都会选择资本市场线上的点作为自己的投资组合，不被市场组合所包含的资产就会变得无人问津价格就会下跌，从而收益率会上升直到具有投资价值，而被投资人购买也就是进入到M所代表的组合中。

那么市场组合应该包含所有投资人的所有资产，但在实践当中，市场组合通常是由一些涵盖广泛有代表性的证券指数所代替，比如标准普尔500指数，日经指数恒生指数，以及中国的上证指数和深证指数。它们的构成成分都反映了相应的市场所交易的各种资产的构成比例，以此类指数为基础而开发出来的指数产品往往可以用来作为市场组合的替代品，这种与某个市场指数挂钩的策略被称为指数化投资策略。

这种指数化投资策略在西方被养老基金共同基金等金融机构广泛采用，这种策略分两步走，第一步是按照市场的组成比例来构成有风险资产的组合，这样也一定实现了风险的分散化。第二步是将资金按照投资者的风险偏好，分别投资到有风险的市场组合和无风险的资产中这种策略调节起来非常方便。

如果觉得风险偏大就可以增加无风险资产的比例，如果觉得风险偏小就可以增加有风险资产组合的比例。

3.5 资本资产定价模型CAPM

假设：

结论：

β系数它度量的是某一资产的系统风险。

β系数的一个重要性质是可加性。假如有一个N项资产的组合中各项资产比重是Wi，则组合的β系数就等于各项资产β系数的加权平均。组合的收益率也满足证券市场线

证券市场线给出单个资产的定价给定其系统风险的度量是β。资产收益率必须满足证券市场线。

如图所示，横轴是β值纵轴是预期收益率，无风险资产的β值是0，因此它处在图中的纵轴上，而市场组合的β值是1，证券市场线斜率为市场组合的风险溢价

所有资产，必须在这条证券市场线上。如果有一个新的资产，比如一个IPO的股票它价格是在证券市场线以下，也就是E(r)是小于rf+β×市场的风险溢价，这会出现什么结果呢？简单起见，假设这个资产β是1，如果不是1呢？我们总是可以通过购买无风险资产，使这个资产与无风险资产构成的组合变为β是等于1的，那么投资人持有市场组合，投资人如果要购买这个IPO股票，就必须卖掉相应一部分市场组合。这个头寸只占整体组合的一小部分，新股票的非系统风险，可以被分散掉，这样结果是投资人整体风险不变，但是降低了收益这样任何理性投资人都会拒绝购买这个资产。如果这个股票要上市，必须把价格降下来，提高预期收益率使得价格满足证券市场线的条件，相反如果这支新股票价格太低，预期收益率定在了证券市场线以上那么把这项资产加到投资人的有效组合中，将在风险不变的同时增加收益，那么这支股票买的人一定很多供不应求，价格就会上升导致预期收益率下降，直到价格满足证券市场线的条件，这就是价格趋于证券市场线的经济机制。

第四章指数模型与套利定价理论

第五章市场环境、交易方式与资产定价

5.1 试产有效性（一）

主要内容：

市场组织：场内和场外；有形和无形（网络）；

交易方式：盯市和非盯市；容许卖空和不容许卖空。

监管办法：税收处理和会计处理

不同的市场环境有不同的效率，而市场效率从根本上来说是市场信息的传播速度。

5.2 市场有效性（二）：随机漫步与有效市场假说

弱有效形式假说是这样认为的股价已经反映了全部能从市场交易数据中得到的信息，这些信息包括过去的股票价格交易量等，也就是说对市场的价格趋势分析是徒劳的，过去的股价资料是公开的，且几乎毫不费力就可以获得。弱有效假说认为，如果这样的数据能可靠地传达未来业绩，那所有投资者肯定已经学会如何运用这些信号了。随着这些信号变得广为人知，它们最终会失去效力。

半强有效形式假说认为与公司前景有关的，全部公开的已知信息一定已经反应在股价中了，除了过去的价格信息外，这种信息还包括公司生产线的基本数据管理质量，资产负债表，持有的专利，利润预测等等。此外，如果任一投资者从公开已知资源获取这些信息，就可以认为它会被反映在股价中，

最后一种，是强有效形式假说。他们认为股价反映了全部与公司有关的信息，甚至包括仅为内幕人员所知的信息，这个假定是相当极端的很少人会相信。公司管理层早在关键信息被公布之前，就以此在市场进行买卖以获取利润。

5.3 市场有效性（三）：市场有效性的投资策略

与三种有效形式相对应的投资策略与弱有效形式假说对应的是技术分析的投资方法。

比如著名的道氏理论：

与半强有效形式假说对应的是基于基本面分析的投资方法。

5.4 市场有效性（四）：市场有效性检验

5.5 远期与期货定价

对于投资资产我们可以从无套利假设出发推出其现货价格与远期和期货价格的关系，对于消费资产（铜，石油，猪肉等）却做不到这一点，这是因为消费资产没有卖空机制使得套利交易无法顺利进行。没有中间收入的投资资产的远期合约，比如不分红的股票、零息债券等。对于这类资产，远期合约相当于借钱购买标的资产，其远期价格只与借贷成本有关。

如果 T是远期合约的到期日，r是无风险利率，我们假定连续复利，那么远期合约价格F0 和现货价格S0之间的关系就是F₀=S₀e^rT。

如果标的资产支付固定的中间收入，我们假设资产支付的中间收入的现值是 I，那么这个资产的远期合约价格F0和现货价格S0之间的关系F₀=（S₀-I）e^rT。直观上看，这是由于采用标的资产和卖空债券复制远期合约长头寸时，由于中间收入的现值是 I ，因此当期需要用来购买标的资产，而卖空的债券现值就减少 I，因此有以上的远期价格。这里的收入只要是具有固定的现值就可以了。

现在考虑标的资产支付一个已知的红利率，而并不是固定的现金收入的情况，这意味着在中间收入支付时，其数量是资产价格的一定比例。假如某资产预计支付的年红利率是5%，这意味着资产每年支付一次收入，其收入为资产价格的5%，这是收益率是年复利，也可能意味着收入支付为一年两次，每次支付的收入数量等于资产价格的2.5%。这时收益率是每年复利两次我们采用连续复利的形式，对红利率进行计量，我们定义q为资产在远期合约期限内的平均年收益率。

远期合约的价值

在刚刚进入远期合约时，远期合约的价值为零。进入合约之后远期合约价值，可能为正也可能为负，这是因为远期合约的标的资产在变化。

在这里要区分远期合约的价值和远期价格，它们是不同的。在远期合约的初期，资产的执行价格等于远期价格，因此其价值f等于0。随着时间的推移，远期价格不等于其执行价格，远期合约的价值就不等于零。

远期与期货

远期和期货价格的关系：远期和期货的合约是完全一样的，只是交易方式和结算方式不一样。

当无风险利率是常数时，两个具有同样期限和执行价格的远期和期货的价格是相同的。

但是当利率是变化的，并且是随机变化的时候，远期价格与期货价格，从理论上讲会有区别。那么为什么远期期货价格的区别？会和利率的波动相关呢？

我们举个例子

如果标的资产价格与利率高度正相关，比如说以利率为标的的期货，如欧洲美元期货当标的资产上升时，期货长头寸的持有者因为期货的每日结算保证金就会上升，期货价格与利率的正相关，造成利率也可能上升，这使得上升的保证金能以高于以平均利率的利率获取回报，而当标的资产价格下跌时，投资者马上会遭受损失，这时亏损所带来的融资费用将低于平均的利率，而持有远期长头寸的投资者将不会因为利率的这种上下波动而受到影响，因此，在其他条件相同的情况下，期货的长头寸比远期的长头寸更具吸引力，因此期货价格会稍高于远期价格；相反，当标的资产价格与利率高度负相关时，比如说以债券为标的的国债期货，则有相反的效应，期货价格则会稍稍低于远期价格。

一般来说，当我们考虑标的资产是股票股票指数商品货币时，由于其价格波动率远大于利率波动，我们可以假设利率是一个常数，它而不会影响定价结果，即使当利率是标的资产的情况下，在期限小于几个月时，期货与远期的理论差异，在大多数情况下也是可以忽略的，其他可能造成远期与期货价格差异的因素，还包括税收交易费用以及对于保证金的处理办法等，因为交易所的清算中心的作用，期货合约中的对手违约风险很小，另外，有时期货合约的市场流动性要比远期合约好，虽然有这么多不确定因素，对于大多数情况下，我们仍然可以比较合理的假定远期价格等于期货价格。

股指期货

由于股票指数通常由几十上百种股票构成，所以可以近似看成是连续支付股息的资产。

股息收益率记为q

假设标准普尔500指数现在的点数为1000点，该指数所含股票的红利收益率预计为每年5%（连续复利），3个月期标准普尔500指数期货的市价为950点，3个月期无风险连续复利年利率为10%，请问如何套利？

货币的远期与期货合约

这里的标的资产是一个单位的外币，我们定义变量S0是一个单位外币的本币价格，F0是一个单位外币的远期或期货价格。

r是本币的无风险利率

我们把外币无风险利率记为rf

消费商品期货

单位时间的存储费用率来计量记为小的u

但相对于金银等投资资产消费商品的不同点在于没有卖空机制。这使得当F0大于它的理论价格时，投资人无法通过买入期货卖空现货的方式进行套利。

5.6 互换

与期货交易不同互换通常采用柜台交易方式，金融机构在其中承担中介服务并承担一定的风险。

互换的真正的经济学含义是发挥交易各方的比较优势创造价值。

互换市场的主要参与人有那些？它们应用互换的目标是什么？

1)直接用户，包括银行、公司、金融和保险机构、国际组织代理机构和*部门等。直接用户运用互换市场的主要目的是：获得低成本的筹资；获得高收益的资产；对利率、汇率风险进行保值；进行短期资产负债管理；进行投机。

2)金融中介，金融中介或银行间运用互换市场目的：主要是为了获得手续费收入，或从交易机会中获利。

利率互换

1.2% - 0.7% =0.5%

0.5%/2 = 0.25% 每个公司得到的利润。

第六章期权定价与无套利均衡分析

期权分为两种：按预先敲定价购买标的资产的合约，称为认购期权，或者叫买权，或者叫call，按敲定价格卖出标的资产的合约称为认沽期权，或者买权英文叫put。

买卖双方预先敲定价格称为执行价Strike。

期权的期限称为到期日T

美式期权是在到期日之前都可以执行的期权。我们用小写c和p分别代表欧式的 认购期权和认沽期权

欧式期权只有到期日才能行权的期权。大写C和P分别代表美式的认购期权和认沽期权

图中代表期权在到期日时，期权买卖双方的损益状态图，我们把期权的买方称为多头，期权的卖方称为空头。

6.2 期权定价的基本无套利关系

第一个关系或说的是：认购期权的价值永远不会高于标的资产本身的价值，认沽期权的价值永远不会高于执行价X。

第二欧式认沽期权的价值不高于执行价用无风险利率折现的现值

第三期权的价格绝不为负，美式期权的价值绝不低于欧式期权的价值。

第四个关系说的是对于到期日时间长的美式期权的价值不会低于到期日时间短的同样的美式期权的价值。

第五个关系式是说美式期权的价值不低于其内涵价值

我们可以用静态无套利分析方法，来验证以上期权无套利关系，从这个过程中我们既学习无套利分析的方法，同时也熟悉期权定价的关系。

我们假定标的资产是一个不分红利的股票，其价格记为S（t），t是当前价格当前时间，执行价格是X，无风险利率rf。我们希望验证的是以下这个关系式是否成立。

这个式子表示：欧式认购期权不仅大于其内在价值，还大于其内在价值加上行权价从交易日到到期日的利息。这对到期日较长或利率较高的市场估计期权价格是很有用的。

平值期权是指行权价格等于标的期货合约价格的期权合约。

实值期权是指看涨期权（看跌期权）的行权价格低于（高于）标的期货合约价格的期权合约。

虚值期权是指看涨期权（看跌期权）的行权价格高于（低于）标的期货合约价格的期权合约。

下面我们利用反正法：

首先，我们卖空一股股票，当期现金流就是当前股票价格St，到期的现金流是多少呢？因为你需要买回股票，所以是负的，到期市场价格S(T)。

第二，我们购买欧式认购期权，当期现金流就是期权的价格c，到期现金流就是行权价也就是S(T)-X与0相比最大的值。

第三，我们购买无风险证券，当期的现金流就是购买证券的面值，用无风险利率折现到期日的现金流就是获得无风险证券的面值。

那么我们来看这3个交易最终的净现金流，在当期和到期日分别是多少？当期的现金流，如图所示，而这个价格根据我们的假设是大于零的，那么到期现金流是多少呢？得到以下这个公式这个也是大于零的，所以这就产生了套利就是说在当期你获得正的现金流，到期日你又获得正的现金流或至少没有任何的负债，所有理性的投资人都会竞相来做这个交易，使得股票的价格下跌而期权的价格上升，直到使得我们的不等式成立。

由以下的公式可以看出美式期权不会提前提取。这是美式认购期权和欧式认购期权的关系。