“DTFT”是“Discrete Time Fourier Transformation”的缩写，中文术语是“离散时间傅立叶变换”。传统的傅立叶变换（FT）一般只能用来分析连续时间信号的频谱，而计算机只会处理离散的数字编码消息，所以现代社会需要对大量的离散时间序列信号进行傅立叶分析。DTFT就是IT领域中对离散时间信号进行频谱分析的数学工具之一。
一、定义
设有离散时间序列x（n），则其离散时间傅立叶变换（DTFT）定义为
(1)
其中Ω为数字角频率，单位为弧度。而上式的逆变换称之为X（e^jΩ）的傅立叶逆变换（IDTFT），定义为
(2)
二、DTFT与Z变换的关系
其实DTFT是一种特殊的Z变换。在Z变换中，如果复变量z仅在z平面的单位圆（r=|z|=1或σ=0）上取值，则复变量转化为纯虚变量，即
(3)
那么根据双边Z变换的定义便可导出DTFT：
(4)
同理也可导出其逆变换IDTFT：
(5)
这里Z变换的收敛域（ROC）是z平面上的单位圆，逆变换的环路积分路径C对应于数字角频率Ω的一个周期（－π，π）作为积分区间。
三、离散时间序列的频谱
离散时间序列x（n）的傅里叶变换（DTFT），是数字角频率Ω的复函数，也叫频谱函数，可以表示为
(6)
其模|X（e^jΩ）|为幅度频谱，其幅角φ（Ω）为相位频谱，均为数字角频率Ω的连续函数。其中数字角频率
(7)
也是复变量e^jΩ 的幅角，周期为2π 。从而离散时间序列x（n）的频谱X（e^jΩ），也是数字角频率Ω的以2π 为周期的周期函数。
四、DTFT的用途
就如用傅立叶变换（FT）可以分析连续时间信号的频谱一样，我们利用DTFT可以分析离散时间序列的频谱。
例1：最简单的离散时间序列就是单位样值序列δ（n），由式（1）可求其DTFT为
(8)
说明单位样值序列δ（n）的频谱是数字角频率Ω域上的常量1。如果给定时间信号的抽样周期Ts，由式（7）可知其频谱是ω域上的水平线。
例2：长度N＝4的单位矩形序列
(9)
如下图所示：
图1 单位矩形序列（长度N=4）
显然是长度为N＝4的有限长离散时间序列。根据式（1）可求其DTFT为
(10)
幅度频谱为
(11)
相位频谱为
(12)
注意：其中
表示方括号内表达式引入的相移。
单位矩形序列
的幅度频谱图为
图2 单位矩形序列（长度N=4）的频谱
相位频谱图（略）。
可见单位矩形序列的频谱（DTFT）是连续频谱，且是数字角频率Ω的周期函数，周期为2π。
五、DTFT的局限性：
离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为，在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角频率Ω上却是连续的周期函数。而计算机只能处理变量离散的数字信号。
所以，如果要想利用计算机实现DTFT的运算，必须进一步探索路子，建立时域离散和频域离散的对应关系。详情且听周法哲下回分解。
（作者：周法哲2009-7-25于广东）