新学期开始了，这也是我在中大的最后一个学期了，课程上，这学期要同时硬刚微分几何、泛函分析和实变函数，据说这是数院最难的三门课。工作上要完成数院的毕业论文，估计答辩完之前都会是要手忙脚乱的状态，没多少能玩的时间。经历过寒假我觉得更新博客是学习上最有效率的方式，因此我尽量挤出时间对这几门课更新自己的理解，主要参考依据还是课程的内容。
微分几何主要是利用微积分的工具研究几何图形，与之对比的是，高中的圆锥曲线内容是从函数的角度研究几何图形。它分为两个部分，经典微分几何和整体微分几何，前者是研究曲线和曲面的局部性质的，即曲线和曲面在一点邻近的行为的性质，后者是指局部性质对整个曲线和曲面的行为影响。
第1周第1次课的内容涉及3个方面，参数曲线、内积和外积。
一、参数曲线
我们知道的是，三维向量$(x,y,z)$的集合构成了三维空间$R^{3}$，这个三维向量也称为三维坐标点，现在我们需要找到一些点的集合，使之构成一条三维曲线。
三维曲线在一定意义上是一维的，这是因为我们利用参数方程的形式表达曲线，下面先给出曲线的第一种定义。
Def1 (可微参数曲线，Parameterised differentable curves，PDC)从实直线$R$的一个开区间$I=(a,b)$到$R^{3}$中的一个可微映射$\alpha ： I \longrightarrow R^{3}$称为一条可微参数曲线。
P.S：可微是指，对于单个实变量的实函数，它在所有点都具有任意阶的导数，也可以说实函数是光滑的。
记号：
$$\vec{\alpha (t)} = ( x(t) , y(t) , z(t) )，where \ t \in I , I \in (a,b)$$
$$a和b分别有可能为-∞和+∞，t称为参数，简写为\alpha：I \longrightarrow R^{3}$$
第二个给出的是切向量的定义。
Def2 (切向量，tangent vectors)记$x^{\'}(t)$为$x$在$t$点的一阶导数，并且对函数$y$和$z$采用类似的记号，那么向量$\vec{\alpha ^{\'} (t)} = (x^{\'}(t),y^{\'}(t),z^{\'}(t)) \in R^{3}$称为曲线$\alpha$在$t$点的切向量(速度向量)，像集$\vec{\alpha (I)} \subset R^{3}$称为$\alpha$的轨迹。
再给出正则曲线的定义，然后我们就可以给出一些例子了。
Def3 (正则曲线，Regular Parameterised differentable curves，RPDC)设$\alpha : I \longrightarrow R^{3}$为可微参数曲线，对每个$t \in I$，如果$\vec {\alpha ^{\'} (t)} \neq 0$，那么可以定义一条包含点$\vec {\alpha (t)}$和向量$\vec {\alpha ^{\'}(t)}$的直线，又称为$\alpha$在$t$点的切线。并且称$\vec {\alpha ^{\'} (t)} = 0$的点$t$为$\alpha$的奇点，我们称没有奇点的可微参数曲线为正则可微参数曲线。
Exm4 可微参数曲线$$\vec{\alpha (t)} = (cost , sint , t) , t \in R$$的轨迹是柱面$x^{2} + y^{2} = 1$上间距为$2π$的螺旋线，参数$t$是$x$轴与连接原点O和点$\alpha (t)$在$xy$平面上的投影的直线的夹角。
Exm5 映射$$\alpha: R \rightarrow R^{2} , \vec{\alpha (t)} = (t^{3},t^{2}) , t \in R$$是可微参数曲线，轨迹如下：
二、内积
设$\vec u=(u_{1},u_{2},u_{3}) \in R^{3}$，并且定义它的范数为$$|\vec u| = \sqrt{u_{1}^2+u_{2}^2+u_{3}^2}$$其几何意义为从点$(u_{1},u_{2},u_{3})$到原点$O=(0,0,0)$的距离。
Def6 (内积，Inner Product，Scalar Product)令$\vec u=(u_{1},u_{2},u_{3}) ，\vec v=(v_{1},v_{2},v_{3}) \in R^{3}$，设$\theta , 0 \leq \theta \leq π$，它是线段$Ou$和$Ov$形成的夹角，内积$\vec u \cdot \vec v$定义为$$\vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v|cos \theta$$
内积成立以下的性质
Thm7 (内积的性质)
1. 假设$u$和$v$是非零向量，则当且仅当$\vec u$与$\vec v$正交时，$\vec u \cdot \vec v =0$
2. $\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u$
3. $\lambda (\vec u \cdot \vec v) = \lambda \vec u \cdot \vec v = \vec u \cdot \lambda \vec v$
4. $\vec u \cdot (\vec v+\vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w$
5. 如果$\vec {u(t)}$和$\vec {v(t)}$都是正则曲线，那么有$\frac {d}{dt}(\vec {u(t)} \cdot \vec {v(t)}) = \vec {u^{\'}(t)} \cdot \vec {v(t)} + \vec {u(t)} \cdot \vec {v(t)}$
P.S：当确定基$\vec {e_{1}} = (1,0,0)，\vec {e_{2}} = (0,1,0)，\vec {e_{3}} = (0,0,1)$，记$$\vec u = u_{1}e_{1}+u_{2}e_{2}+u_{3}e_{3}，\vec v = v_{1}e_{1}+v_{2}e_{2}+v_{3}e_{3}$$那么可以得到$$\vec u \cdot \vec v = u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}$$
三、外积
首先我们继续沿用在内积中定义好的基，这组基也叫作自然正交基，同样地，记设$\vec u=(u_{1},u_{2},u_{3}) \in R^{3}$和$\vec v=(v_{1},v_{2},v_{3}) \in R^{3}$，
Def8 (外积，Outer Product，Vector Product)外积定义为如下形式：$$\begin{array} \vec u \wedge \vec v =& \left | \begin{array}{cccc} e_{1} & e_{2} & e_{3} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ \end{array} \right | \\ =& \left | \begin{array}{cccc} u_{2} & u_{3} \\ v_{2} & v_{3} \\ \end{array} \right | e_{1} - \left | \begin{array}{cccc} u_{1} & u_{3} \\ v_{1} & v_{3} \\ \end{array} \right | e_{2} + \left | \begin{array}{cccc} u_{1} & u_{2} \\ v_{1} & v_{2} \\ \end{array} \right | e_{3} \\ \end{array}$$
此外，$\vec u \wedge \vec v$还有一个长度计算公式：$$|\vec u \wedge \vec v| = |\vec u ||\vec v|sin\theta $$
外积还有如下和内积相类似的性质。
Thm9 (外积的性质)
1. $\vec u \wedge \vec v = - \vec v \wedge \vec u$
2. $\lambda ( \vec u \wedge \vec v) = (\lambda \vec u) \wedge \vec v = \vec u \wedge (\lambda \vec v) $
3. $\vec u \wedge (\vec v + \vec w) = \vec u \wedge \vec v + \vec u \wedge \vec w$
4. 如果$\vec u , \vec v \neq 0$，则$\vec u \wedge \vec v = 0 \leftrightarrow \vec u || \vec v$
5. 如果$\vec {u(t)} , \vec {v(t)}$是两个正则可微参数曲线，那么有$$\frac{d}{dt}(\vec {u(t)} \wedge \vec {v(t)}) = \vec{u^{\'}(t)} \wedge \vec{v(t)} + \vec{u(t)} \wedge \vec{v^{\'}(t)}$$
从上面的计算公式可以看到外积的计算结果是一个向量，其大小已经有了计算公式，那么怎么计算它的方向呢，我们的依据是右手定则，套用一下百度百科的图。
最后我们讨论一下叉积和点积的一些公式，它们又称为向量积的性质。
Thm10 (向量积的性质)记$\vec u,\vec v,\vec w \in R^{3}$
1. $(\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec w = det(\vec u,\vec v,\vec w) = \left | \begin{array}{cccc} u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \\ \end{array} \right |$
2. $(\vec u \wedge \vec v) \cdot \vec u = 0,(\vec u \wedge \vec v) \cdot v = 0$
3. $(\vec u \wedge \vec v) \wedge w = (\vec u \cdot \vec w)\cdot v - (\vec v \cdot \vec w)\cdot \vec w$
周三会更新第1周第2次课的内容。
