简介

比较好的一个投资模型

题目

投资的收益和风险
市场上有n种资产$s_i(i=1,2,…,n)$可以选择，现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资。这n中资产在这一时期内购买$s_i$的平均收益率为$r_i$,风险损失率为$q_i$,投资越分散，总的风险越少，总体风险可用投资的$s_i$中最大的一个风险来度量。
购买$s_i$时要付交易费，费率为$p_i$,当购买额不超过给定值$u_i$时，交易费按购买$u_i$计算。另外，假定同期银行存款利率是$r_0$,既无交易费又无风险($r_0=5%$)。
已知n=4时相关数据如表1.1所列。

$s_i$ $r_i/$% $q_i/$% $p_i/$% $u_i/$元
$s_1$ 28 2.5 1 103
$s_2$ 21 1.5 2 198
$s_3$ 23 5.5 4.5 52
$s_4$ 25 2.6 6.5 40
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定资金M，有选择购买若干资产或存银行生息，使净收益尽可能大，总体风险尽可能小。

解答

1.2.2 符号规定和基本假设

符号规定
(1) $s_i$表示第i种投资项目，如股票、债券等，$i=0,1,…,n$, 其中$s_0$指存入银行。
(2) $r_i$,$p_i$,$q_i$,分别表示$s_i$的平均收益率、交易费率、风险损失率，$i=0,1,…,n$,其中$p_0=0,q_0=0$。
(3) $u_i$表示$s_i$的交易定额，$i=1,2,…,n$。
(4) $x_i$表示投资项目$s_i$的资金,$i=0,1,…,n$.
(5) a表示投资风险度。
(6) Q表示总体收益。
基本假设
(1) 投资数额M相当大，为了便于计算，假设M = 1。
(2) 投资越分散，总的风险越小。
(3) 总体风险用投资项目$s_i$中最大的一个风险来度量。
(4) n+1中资产$s_i$是相互独立的。
(5) 在投资的这一时期内, $r_i,p_i,q_i$ 为定值，不受以外因素影响。
(6) 净收益和总体风险只受$r_i,p_i,q_i$影响，不受其他因素干扰。
1.2.3 模型的分析与建立
(1) 总体风险用所投资的s_i中最大的一个分享来衡量，即
$max⁡\{q_i x_i | i=1,2,…,n\}$ # $q_i$表示风险损失率，$x_i$表示投入的资金
(2) 购买$s_i (i=1,2,…,n)$所付交易费是一个分段函数，即

\[\text {交易费}=\left\{\begin{array}{ll} p_{i} x_{i}, & x_{i}>u_{i} \\ p_{i} u_{i}, & x_{i} \leq u_{i} \end{array}\right. \]

// $x_i$是金额，$p_i$是交易费率但是不清楚为啥当金额小于$u_i$的时候，交易费是$p_i u_i$ 可能是缺少生活经验吧。
因为题目给定的定值$u_i$（单位：元）相对总投资M很少，$p_i u_i$更小，这样购买$s_i$的净收益可以简化为$(r_i-p_i ) x_i$。
(3) 要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型。
目标函数为

\[\left\{\begin{array}{l} \max \sum_{i=0}^{n}\left(r_{i}-p_{i}\right) x_{i} \\ \min \left\{\max _{1 \leq i \leq n}\left\{q_{i} x_{i}\right\}\right\} \end{array}\right. \]

约束条件为

\[\left\{\sum_{i=0}^{n}\left(1+p_{i}\right) x_{i}=M\right. \]

// 注目标函数就是要收益最大，风险最小。
// 注约束条件就是 $sum(x_i+x_i p_i)=M$ 就是真正投入到项目中的钱 + 交的费率 = 总投资额M
(4) 模型简化
在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个分线率为a, 即$(q_i x_i)/M≤a(i=1,2,…,n)$，可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。
模型一固定风险水平，优化收益
$$\max \sum_{i=0}^{n}\left(r_{i}-p_{i}\right) x_{i}$$

\[\text {s.t.}\left\{\begin{aligned} \frac{q_{i} x_{i}}{M} & \leq a, i=1,2, \ldots, n \\ \sum_{i=0}^{n}\left(1+p_{i}\right) x_{i} &=M, x_{i} \geq 0, i=0,1, \ldots, n \end{aligned}\right.\]

1.2.4 模型一的求解

\[\min f=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185] *\left[x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right]^{T} \]

\[\text { s.t. }\left\{\begin{array}{c} x_{0}+1.01 x_{1}+1.02 x_{2}+1.045 x_{3}+1.065 x_{4}=1 \\ 0.025 x_{1} \leq a \\ 0.015 x_{2} \leq a \\ 0.055 x_{3} \leq a \\ 0.026 x_{4} \leq a \\ x i \geq 0, i=0,1, \ldots, 4 \end{array}\right. \]

// 注求所投资收益的最大值也就是求最小负收益
// 注 $0.05 * x_0$ 就是存银行的收益，0.28 – 0.01 = 0.27 也就是投资$x_1$的收益率
// 注 $0.025x_1$ 怎么来的呢？$2.5% x_1$ 就是其风险，风险要小于一个给定值，在这个约束下求得的最大的值。
1.2.5 结果分析
风险 a 与收益 Q之间的关系如图1.1所示。从图1.1可以看出：
风险大，收益也大。
当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。冒险的投资者会出现集中投资的情况，饱受的投资者则尽量分散投资。
在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快；在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢。所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的转折点作为最优投资组合，大约是a=0.6%,Q=20%,所对应的投资方案为
风险度$a=0.006$,收益$Q=0.2019，x_0 =0, x_1 = 0.24, x_2=0.4,x_3 = 0.1091,x_4=0.2212$。
1.2.6 代码附录

clc,clear
a = 0;
hold on; % hold on point in printer
while a < 0.05
    c = [-0.05, -0.27, -0.19, -0.185, -0.185];
    A = [zeros(4,1), diag([0.025, 0.015, 0.055, 0.026])];
    b = a * ones(4, 1);
    Aeq = [1, 1.01, 1.02, 1.045, 1.065];
    beq = 1;
    LB = zeros(5,1);
    [x, Q] = linprog(c,A,b,Aeq, beq, LB);
    Q = -Q;
    plot(a, Q, \'*k\');
    a = a + 0.001;
end
xlabel(\'a\'),ylabel(\'Q\')

// linprog注
// LB = zeros(5, 1) 表示 x_0, x_1, x_2, x_3, x_4 都是大于等于0的值
// A =

     0    0.0250         0         0         0
     0         0    0.0150         0         0
     0         0         0    0.0550         0
     0         0         0         0    0.0260

// ones(4,1)
ans =

// A, b 表示 AX≤b 也就是那些个不等式也就是风险要小于一个给定的值
// Aeq beq 应该是等式 x_0+1.01x_1+1.02x_2+1.045x_3+1.065x_4=1
// c 表示 cX 求最小值 linprog 应该默认求的是最小值。

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