计算矩阵特征值是一个经典数值计算问题，而很多相关方法都是基于幂迭代的基。如该思想的一个复杂版本被称为QR算法，可以计算出典型矩阵所有的特征值。幂迭代的动机是与矩阵相乘可以将向量推向主特征值向量的方向，其在工业界的一大应用就是PageRank算法。PageRank算法作用在有向图上的迭代算法，收敛后可以给每个节点赋一个表示重要性程度的值，该值越大表示节点在图中显得越重要。
1. 幂迭代算法（简称幂法）
(1) 占优特征值和占优特征向量
已知方阵\(\bm{A} \in \R^{n \times n}\), \(\bm{A}\)的占优特征值是量级比\(\bm{A}\)所有其他特征值都大的特征值\(\lambda\)，若这样的特征值存在，则与\(\lambda\)相关的特征向量我们称为占优特征向量。
(2) 特征值的性质
如果一个向量反复与同一个矩阵相乘，那么该向量会被推向该矩阵的主特征向量的方向。如下面这个例子所示：
import numpy as np
def prime_eigen(A, x, k):
x_t = x.copy()
for j in range(k):
x_t = A.dot(x_t)
return x_t
if __name__ == '__main__':
A = np.array(
[
[1, 3],
[2, 2]
]
)
x = np.array([-5, 5])
k = 4
r = prime_eigen(A, x, k)
print(r)
# 250, 260
为什么会出现这种情况呢？因为对\(\forall \bm{x} \in \R^{n}\)都可以表示为\(A\)所有特征向量的线性组合(假设所有特征向量张成\(\R^n\)空间)。我们设\(\bm{x}^{(0)} = (-5, 5)^T\)，则幂迭代的过程可以如下表示：
可以看出是和占优特征值对应的特征向量在多次计算后会占优。在这里4是最大的特征值，而计算就越来越接近特征向量\((1, 1)^T\)的方向。
不过这样重复与矩阵连乘和容易导致数值上溢，我们必须要在每步中对向量进行归一化。就这样，归一化和与矩阵\(\bm{A}\)的连乘构成了如下所示的幂迭代算法：
import numpy as np
def powerit(A, x, k):
for j in range(k):
# 每次迭代前先对上一轮的x进行归一化
u = x/np.linalg.norm(x)
# 计算本轮迭代未归一化的x
x = A.dot(u)
# 计算出本轮对应的特征值
lam = u.dot(x)
# 最后一次迭代得到的特征向量x需要归一化为u
u = x / np.linalg.norm(x)
return u, lam
if __name__ == '__main__':
A = np.array(
[
[1, 3],
[2, 2]
]
)
x = np.array([-5, 5])
k = 10
# 返回占优特征值和对应的特征向量
u, lam = powerit(A, x, k)
print("占优的特征向量:\n", u)
print("占优的特征值:\n", lam)
算法运行结果如下：
占优的特征向量:
[0.70710341 0.70711015]
占优的特征值:
3.9999809247674625
观察上面的代码，我们在第\(t\)轮迭代的第一行，得到的是归一化后的第\(t-1\)轮迭代的特征向量近似值\(\bm{u}^{(t-1)}\)（想一想，为什么），然后按照\(\bm{x}^{(t)} = \bm{A}\bm{u}^{(t-1)}\)计算出第\(t\)轮迭代未归一化的特征向量近似值\(\bm{x}^{(t)}\)，需要计算出第\(t\)轮迭代对应的特征值。这里我们我们直接直接运用了结论\(\lambda^{(t)} = (\bm{u}^{(t-1)})^T \bm{x^{(t)}}\)。该结论的推导如下：
证明
对于第\(t\)轮迭代，其中特征值的近似未\(\bm{\lambda}^{(t)}\)，我们想解特征方程
以得到第\(t\)轮迭代时该特征向量对应的特征值\(\lambda^{(t)}\)。我们采用最小二乘法求方程\((2)\)的近似解。我们可以写出该最小二乘问题的正规方程为
然而我们可以写出该最小二乘问题的解为
式子\((4)\)就是瑞利（Rayleigh）商。给定特征向量的近似，瑞利商式特征值的最优近似。又由归一化的定义有
则我们可以将式\((4)\)写作：
又因为前面已经计算出\(\bm{x}^{(t)} = \bm{A} \bm{u}^{(t-1)}\)，为了避免重复计算，我们将\(\bm{x}^{(t)}\)代入式\((5)\)得到：
证毕。
可以看出，幂迭代本质上每步进行归一化的不动点迭代。
2. 逆向幂迭代
上面我们的幂迭代算法用于求解（绝对值）最大的特征值。那么如何求最小的特征值呢？我们只需要将幂迭代用于矩阵的逆即可。
我们有结论，矩阵\(\bm{A}^{-1}\)的最大特征值就是矩阵\(\bm{A}\)的最小特征值的倒数。事实上，对矩阵\(\bm{A} \in \R^{n \times n}\) ,令其特征值表示为\(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n\)，如果其逆矩阵存在，则逆矩阵\(A\)的特征值为\(\lambda_1^{-1}, \lambda_2^{-1}, ..., \lambda_n^{-1}\), 特征向量和矩阵\(A\)相同。该定理证明如下：
证明
有特征值和特征向量定义有
这蕴含着
因而
得证。
对逆矩阵\(\bm{A}^{-1}\)使用幂迭代，并对所得到的的\(\bm{A}^{-1}\)的特征值求倒数，就能得到矩阵\(\bm{A}\)的最小特征值。幂迭代式子如下：
但这要求我们对矩阵\(\bm{A}\)求逆，当矩阵\(\bm{A}\)过大时计算复杂度过高。于是我们需要稍作修改，对式\((8)\)的计算等价于
这样，我们就可以采用高斯消元对\(\bm{x}^{(t+1)}\)进行求解，
不过，我们现在这个算法用于找出矩阵最大和最小的特征值，如何找出其他特征值呢？
如果我们要找出矩阵\(\bm{A}\)在实数\(s\)附近的特征值，可以对矩阵做出接近特征值的移动。我们有定理：对于矩阵\(\bm{A} \in \R^{n \times n}\)，设其特征值为\(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n\)，则其转移矩阵\(\bm{A}-sI\)的特征值为\(\lambda_1 -s, \lambda_2 -s, ..., \lambda_n -s\)，而特征向量和矩阵\(A\)相同。该定理证明如下：
证明
有特征值和特征向量定义有
从两侧减去\(sI\bm{v}\)，得到
因而矩阵\(\bm{A} - sI\)的特征值为\(\lambda - s\)，特征向量仍然为\(\bm{v}\)，得证。
这样，我们想求矩阵\(\bm{A}\)在实数\(s\)附近的特征值，可以先对矩阵\((\bm{A}-sI)^{-1}\)使用幂迭代求出\((\bm{A}-sI)^{-1}\)的最大特征值\(b\)（因为我们知道转移后的特征值为\((\lambda - s)^{-1}\)，要使\(\lambda\)尽可能接近\(s\)，就得取最大的特征值），其中每一步的\(x^{(t)}\)可以对\((\bm{A}-sI)\bm{x}^{(t)}=\bm{u}^{(t-1)}\)进行高斯消元得到。最后，我们计算出\(\lambda = b^{-1} + s\)即为矩阵\(A\)在\(s\)附近的特征值。该算法的实现如下：
import numpy as np
def powerit(A, x, s, k):
As = A-s*np.eye(A.shape[0])
for j in range(k):
# 为了让数据不失去控制
# 每次迭代前先对x进行归一化
u = x/np.linalg.norm(x)
# 求解(A-sI)xj = uj-1
x = np.linalg.solve(As, u)
lam = u.dot(x)
lam = 1/lam + s
# 最后一次迭代得到的特征向量x需要归一化为u
u = x / np.linalg.norm(x)
return u, lam
if __name__ == '__main__':
A = np.array(
[
[1, 3],
[2, 2]
]
)
x = np.array([-5, 5])
k = 10
# 逆向幂迭代的平移值，可以通过平移值收敛到不同的特征值
s = 2
# 返回占优特征值和对应的特征值
u, lam = powerit(A, x, s, k)
# u为 [0.70710341 0.70711015]，指向特征向量[1, 1]的方向
print("占优的特征向量:\n", u)
print("占优的特征值:\n", lam)
算法运行结果如下：
占优的特征向量:
[0.64221793 0.7665221 ]
占优的特征值:
4.145795530352381
3. 幂迭代的应用：PageRank算法
幂迭代的一大应用就是PageRank算法。PageRank算法作用在有向图上的迭代算法，收敛后可以给每个节点赋一个表示重要性程度的值，该值越大表示节点在图中显得越重要。
比如，给定以下有向图：
其邻接矩阵为：
我们将邻接矩阵沿着行归一化，就得到了马尔可夫概率转移矩阵\(\bm{M}\)：
我们定义上网者从一个页面转移到另一个随机页面的概率是\(q\)，停留在本页面的概率是\(1-q\)。设图的节点数为\(n\)，然后我们可以计算Google矩阵做为有向图的一般转移矩阵。对矩阵每个元素而言，我们有：
注意，Google矩阵每一列求和为1，这是一个随机矩阵，它满足一个性质，即最大特征为1.
我们采用矩阵表示形式，即：
其中\(\bm{E}\)为元素全为1的\(n \times n\)方阵。
然后我们定义向量\(\bm{p}\)，其元素\(\bm{p}_i\)是待在页面\(i\)上的概率。我们由前面的幂迭代算法知道，矩阵与向量重复相乘后向量会被推到特征值为1的方向。而这里，与特征值１对应的特征向量是一组页面的稳态概率，根据定义这就是\(i\)个页面的等级，即PageRank算法名字中的Rank的由来。（同时，这也是\(G^T\)定义的马尔科夫过程的稳态解)。故我们定义迭代过程：
注意，每轮迭代后我们要对\(\bm{p}\)向量归一化（为了减少时间复杂度我们除以\(p\)向量所有维度元素中的最大值即可，以近似二范数归一化）；而且，我们在所有轮次的迭代结束后也要对\(p\)向量进行归一化（除以所有维度元素之和以保证所有维度之和为1）。
我们对该图的PageRank算法代码实现如下(其中移动到一个随机页面的概率\(q\)按惯例取0.15)：
import numpy as np
# 归一化同时迭代，k是迭代步数
# 欲推往A特征值的方向，A肯定是方阵
def PageRank(A, p, k, q):
assert(A.shape[0]==A.shape[1])
n = A.shape[0]
M = A.copy().astype(np.float32) #注意要转为浮点型
for i in range(n):
M[i, :] = M[i, :]/np.sum(M[i, :])
G = (q/n)*np.ones((n,n)) + (1-q)*M
G_T = G.T
p_t = p.copy()
for i in range(k):
y = G_T.dot(p_t)
p_t = y/np.max(y)
return p_t/np.sum(p_t)
if __name__ == '__main__':
A = np.array(
[
[0, 1, 1],
[0, 0, 1],
[1, 0, 0]
]
)
k = 20
p = np.array([1, 1, 1])
q = 0.15 #移动到一个随机页面概率通常为0.15
# 概率为1-q移动到与本页面链接的页面
R= PageRank(A, p, k, q)
print(R)
# [0.38779177 0.21480614 0.39740209]
可以看到20步迭代结束后网页的Rank向量\(\bm{R}=(0.38779177, 0.21480614, 0.39740209)^T\)，这也可以看做网页的重要性程度。
知名程序库和源码阅读建议
PageRank算法有很多优秀的开源实现，这里推荐几个项目：
(1) Spark-GraphX
GraphX是一个优秀的分布式图计算库，从属于Spark分布式计算框架，采用Scala语言实现了很多分布式的图计算算法，也包括我们这里所讲的PageRank算法。
文档地址：https://spark.apache.org/graphx
源码地址：https://github.com/apache/spark
(2) neo4j
neo4j是一个采用Java实现的知名的图数据库，该数据库也提供了PageRank算法的实现。
文档地址：https://neo4j.com/
源码地址：https://github.com/neo4j/neo4j.git
(3) elastic-search
如果你有兴趣深入研究搜索引擎的实现，那么向你推荐elastic-search项目，它是基于Java实现的一个搜索引擎。
文档地址：https://www.elastic.co/cn/
源码地址：https://github.com/elastic/elasticsearch.git
参考文献
- [1] Timothy sauer. 数值分析(第2版)[M].机械工业出版社, 2018.
- [2] 李航. 统计学习方法(第2版)[M]. 清华大学出版社, 2019.