联合分布（一）：什么是概率分布

时间：2024-02-25 11:05:00

1）基础知识预备：概率分布

　1.1）定义：

　　广义地，它指称随机变量的概率性质，即一个随机变量在概率空间的分布状况

　　狭义地，它是指随机变量的概率分布函数，定义如下：

　　　　　　　　　　　　　　对于任意实数a，有： FX(a) = P(X≤a) ，FX(a)即是a的概率分布函数，而 P(X≤a) 则是在随机变量X取值≤a时的所有的概率之和，所以概率分布函数又称为累计概率函数。

ps：个人认为叫做累计概率函数更好理解一些啊！！！更详细的剖解请参考 https://www.jianshu.com/p/b570b1ba92bb

但是对于离散分布，再用FX(a) = P(X≤a) 这个公式表达就不准确了，因为FX(a)表示的是随机变量X≤a的概率值之和，但是当X是离散随机变量的话，X≤a显然就不合理了。所以对于离散分布：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 用语言来描述的话，就是：把所有小于等于x的概率值相加，所以本质上还是概率的累积值，只不过在表达上比上式更为严谨。

 

　　1.2）研究的意义：

　　说完了概率分布的定义，接下来我们当然要了解这个概率分布它到底有什么用，为什么我们要去研究它？这样以便我们能够更好的理解它。

　　举个例子吧：将每一天的降雨量设为X，显然，这个X是一个随机变量，那么你如果要研究降雨量，你是会选择研究当X等于某一特定值得概率还是会选择研究X落在实数域上某一区间上的概率呢？

　　显而易见，肯定是后者啦。你看天气预报有把每个降雨量的概率告诉你吗（当然这个也不可能。。。），还不是告诉你明天是小雨还是中雨或者是大雨用这样的区间的形式。而概率分布就是描述一个随机变量在某一个区间上的概率。

　　下面是从各处引用（ctrl+c、ctrl+v）来的我们经常会听到的一些随机分布。因为本文的重点是为了引出联合分布这个知识点，所以对下面的各种分布就不多说了。

　　ps：以上都是一些不成熟的个人见解，如果有误，还烦请指出！

 

　　1.3）常见的几种分布：

　　#二项分布：详细请参考：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E4%BD%88

　　　　二项分布是一种离散型的概率分布。故明思义，二项代表这个随机变量只有两种可能的结果。

　　　　  掷硬币就是一个典型的二项分布。当我们要计算抛硬币n次，恰巧有x次正面朝上的概率，可以使用二项分布的公式：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 　　　　　　其中，p为正面朝上的概率

　　#泊松分布：

　　　　泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数

　　　　泊松分布的概率质量函数为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}

　　　　泊松分布的参数λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率。

　　#正态分布：

　　　　又名高斯分布，是一个非常常见的连续概率分布。正态分布在统计学上十分重要，经常用在自然和社会科学来代表一个不明的随机变量。

　　　　若随机变量X服从一个位置参数（X的期望）为\mu 、尺度参数（X的标准差）为\sigma 的正态分布，记为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　X \sim N(\mu,\sigma^2),

　　　　有几种不同的方法用来说明一个随机变量。最直观的方法是概率密度函数，这种方法能够表示随机变量每个取值有多大的可能性。

　　　　累积分布函数是一种概率上更加清楚的方法，请看下边的例子。

　　　　正态分布的概率密度函数：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　正态分布的累计概率函数（由密度函数表示的）：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　正态分布的累积分布函数能够由一个叫做误差函数的特殊函数表示：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　\Phi (z)={\frac 12}\left[1+\operatorname {erf}\left({\frac {z-\mu }{\sigma {\sqrt 2}}}\right)\right].

　　　　标准正态分布的累积分布函数习惯上记为\Phi ，它仅仅是指\mu=0，\sigma=1时的值，

　　　　　　　　　　　　　　　　 \Phi(x) =F(x;0,1)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \exp\left(-\frac{t^2}{2}\right) \, dt.

　　　　将一般正态分布用误差函数表示的公式简化，可得：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \Phi(z) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) \right] .

　　　　关于正态分布的几个特征：

　　　　a.密度函数关于平均值对称

　　　　b.平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。

　　　　c.函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。

　　　　d.95.449974%的面积在平均数左右两个标准差2 \sigma的范围内。

　　　　e.99.730020%的面积在平均数左右三个标准差3 \sigma的范围内。

　　　　f.99.993666%的面积在平均数左右四个标准差4 \sigma的范围内。

　　　　g.函数曲线的拐点为离平均数一个标准差距离的位置。

　　　　关于正态分布的几个性质：

  1. 如果X \sim N(\mu, \sigma^2) \,且a与b是实数，那么a X + b \sim N(a \mu + b, (a \sigma)^2) 
  2. 如果X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)与Y \sim N(\mu_Y, \sigma^2_Y)是统计独立的正态随机变量，那么：
    • 它们的和也满足正态分布U = X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y) 
    • 它们的差也满足正态分布V = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y).
    • U与V两者是相互独立的。（要求X与Y的方差相等）
  3. 如果X \sim N(0, \sigma^2_X)和Y \sim N(0, \sigma^2_Y)是独立正态随机变量，那么：如果X_1, \cdots, X_n为独立标准正态随机变量，那么X_1^2 + \cdots + X_n^2服从*度为n的卡方分布。
    • 它们的积X Y服从概率密度函数为p的分布
      p(z) = \frac{1}{\pi\,\sigma_X\,\sigma_Y} \; K_0\left(\frac{|z|}{\sigma_X\,\sigma_Y}\right),其中K_0是修正贝塞尔函数（modified Bessel function）
    • 它们的比符合柯西分布，满足X/Y \sim \mathrm{Cauchy}(0, \sigma_X/\sigma_Y).

 

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