在系统分析中，会涉及到多项式矩阵互质性的判别问题，此类问题通常归结为两种
1）具有相同行数的多项式左互质； 2）具有相同列数的多项式右互质；
一、多项式矩阵的右公因子（左公因子）的定义：
二、多项式矩阵的最大右公因子（最大左公因子）的定义：
首先这个公因子要满足（定义1）所描述的，其次若满足以下条件则说明此多项式矩阵R(λ)为最大右（左）公平因子；
三、gcrd构造定理：（用于求解两个多项式矩阵的最大右公因子）
简单的说明就是将带求两个矩阵堆叠，进行初等行变换，最后划归的非零部分就是两个多项式矩阵的最大右公因子；
四、gcrd的基本性质：
1）不唯一性：若R(λ)为具有相同列数p的两个多项式矩阵D(λ)和N(λ)的一个gcrd，而W(λ)为任意p阶单模矩阵，
则W(λ)R(λ)也是D(λ)和N(λ)的一个gcrd；【乘以一个单模矩阵后仍为gcrd】
2）R1(λ)和R2(λ)是多项式矩阵D(λ)和N(λ)的gcrd，则当R1(λ)为满秩矩阵（单模矩阵）时，R2(λ)也为满秩矩阵（单模矩阵）；
【说明不同gcrd的秩是相同的】
3）对于给定的n*n和m*n的多项式矩阵D(λ)和N(λ)，则当其组合和矩阵为列满秩时，其所有的gcrd也必定列满秩；
4）如果R(λ)是n*n和m*n的多项式矩阵D(λ)和N(λ)的一个gcrd，则R(λ)可以表示为：
R(λ)=X(λ)D(λ)+Y(λ)N(λ) 的形式，其中X(λ)和Y(λ)分别为n*n和n*m的矩阵；
五、右（左）互质的概念：
定义：两个具有相同列数的多项式矩阵D(λ)和N(λ)，如果其最大右公因子是单模矩阵，则称其为右互质的。
结合上述右互质的性质，得出X(λ)D(λ)+Y(λ)N(λ)=E则两多项式右互质；相应的也可以定义左互质的概念；
除此之外，右互质的充要条件是这两个多项式矩阵堆叠而成的矩阵其史密斯标准型为单位阵【E 0】;
六、既约性问题：
这里的deg是求 对应多项式的最高次数，第一个是求每一行的最高项次数，第二个是求每一列的最高项次数；
举个例子：（如下图所示）
列既约与行既约的定义：（这里的 deg|M(λ)| 为所求行列式的最高次数项）
通过上述定义既可以判断一个多项式矩阵是行既约还是列既约；
七、舒尔定理：对于矩阵A存在一个酉矩阵U使得U^H A U=T，这里的T为上三角矩阵，其对角元为A的特征值；
（对于任意一个矩阵A存在一个酉矩阵U使得U^H A U=T，T为上三角矩阵，当A为正规阵时，T为对角矩阵）
QR分解定理：A为n阶复数矩阵，则存在酉矩阵Q以及上三角矩阵R使得A=QR；（QR分解可以用来求解矩阵的
特征值，以及求解线性方程组）