多元函数二阶偏导数的矩阵表示 - integral

多元函数二阶偏导数的矩阵表示

几天前，求解二维 Laplace 方程，为了方便，欲用坐标变换把直角坐标化为极坐标。花费了不小的力气才得到结果，所以就寻思把二阶偏导的内容整理一下，便得出用线性代数的方法求解多元函数微分的技巧。

几天前，求解二维 Laplace 方程，为了方便，欲用坐标变换把直角坐标化为极坐标。花费了不小的力气才得到结果，所以就寻思把二阶偏导的内容整理一下，便得出此技巧。

 

发现过程大致如下，整理资料的时候，顺手尝试了这样一道题目：

解题过程就是普通的求导运算得到的结果是：

看着这么有规律的下标，不用说，各位一定想到了矩阵，而且是3阶方阵......
为了得到更一般的规律，必须用符号再一次的进行运算。对于多元复合函数 求其二阶偏导数：

1. 一阶偏导数为：

   

2. 进一步求二阶偏导数：

   

3. 上面式子的结构很清晰，是一个完全二次型加上两个向量的积：

   
   
   
   也许这里想一下矩阵的运算法则和偏微分的法则，数学素养可能会稍有提升……

4. 同理有：

   
   
   

   类似地，可以依次得出其他二次偏导的结果...

    

5. 另外，值得一提的是，这种方法也适用于二中间变量，二自变量，甚至稍加修改便可以推广 到求n阶偏导... 例如， 和， 的二阶偏导数，都可以在片刻得到结果。

回到初始，把二维直角坐标的 Laplace 方程 化为极坐标：

• 二维直角坐标 Laplace 方程 数学形式如下:

  
  

  值得注意的是，它的物理解释简单明了。表示热或者物质扩散在某种特殊的情况下处于稳定状态， 或者说变化相当小，可以看作与时间无关。

   

• 根据二阶的二次偏导公式：
  • 对极角:
  • 对极径:
• 根据坐标变换公式:
  
  
• 可以求出以下结果：
  • 
  • 

     

  • 

     

  • 

     

  • 

     

  • 

     

• 把4.的结果代入到2.：

  
  
  

• （2）加上（1）除以r的平方：

  
  
  

• 因为(在4.里第一个等式)：

  
  
  

• 根据:

  

结果已经得到，文章也该结束了……

本文是为了测试数学公式的输出问题所写，内容没有太多新意和思想，大家见谅！如果发现文中 错误，请一定要点击下面链接发邮件与我交流

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