引言
我们知道，自然对数的底 e 定义为以下极限值：
这个公式很适合于对幂函数的计算进行一些测试，得到的结果是 e 的近似值，不用担心当 n 很大时计算结果会溢出。
测试程序
下面就是 Tester.cs：
1 using System; 2 using System.Numerics; 3 using System.Diagnostics; 4 using Skyiv.Extensions; 5 6 namespace Skyiv.Test 7 { 8 sealed class Tester 9 { 10 string Standard(long n) 11 { // n == 10^m 12 if (n > 100000) return "Skip"; 13 var s = BigInteger.Pow(n + 1, (int)n).ToString(); 14 s = s.Substring(0, Math.Min(31, s.Length)); 15 return s[0] + "." + s.Substring(1); 16 } 17 18 string Direct(long n) 19 { 20 if (n > 1000000000) return "Skip"; 21 var y = 1m; 22 for (var x = 1 + 1m / n; n > 0; n--) y *= x; 23 return y.ToString(); 24 } 25 26 string Binary(long n) 27 { 28 var y = 1m; 29 for (var x = 1 + 1m / n; n != 0; x *= x, n >>= 1) 30 if ((n & 1) != 0) y *= x; 31 return y.ToString(); 32 } 33 34 string ExpLog(long n) 35 { 36 return (1 + 1m / n).Pow(n).ToString(); 37 } 38 39 void Out(string name, Func<long, string> func, long n) 40 { 41 var timer = Stopwatch.StartNew(); 42 var y = func(n); 43 timer.Stop(); 44 Console.WriteLine("{0,-32} {1} {2}", y, timer.Elapsed, name); 45 } 46 47 void Run(int max) 48 { 49 for (var m = 0; m <= max; m++) 50 { 51 var n = (long)Math.Pow(10, m); 52 Console.WriteLine(string.Format("- {0:D2}:{1:N0} ", m, n).PadRight(58, \'-\')); 53 Out("Standard", Standard, n); 54 Out("Direct", Direct, n); 55 Out("Binary", Binary, n); 56 Out("ExpLog", ExpLog, n); 57 } 58 } 59 60 static void Main() 61 { 62 new Tester().Run(18); 63 } 64 } 65 }
这个程序使用四种方法来计算幂函数：
- 第 10 至 16 行的 Standard 方法使用 BigInteger.Pow 方法来计算幂函数。这个计算结果（在有效数字范围内）是准确值，作为其他方法的标准。
- 第 18 至 24 行的 Direct 方法直接将 x 乘上 n 遍来计算幂函数，是最没技术含量的暴力方法。时间复杂度是 O(N)。
- 第 26 至 32 行的 Binary 方法将 n 视为二进制数，根据其为 1 的位来计算幂函数。这是经典的算法，时间复杂度是 O(logN)。FCL 的 BigInteger.Pow 方法也是使用这个算法。
- 第 34 至 37 行的 ExpLog 方法使用 decimal 的扩展方法 Pow 来计算幂函数，是通过对数函数和指数函数来计算的：
。理论上说，时间复杂度是 O(1)。
decimal 的扩展方法
下面就是 DecimalExtensions.cs：
1 using System; 2 3 namespace Skyiv.Extensions 4 { 5 static class DecimalExtensions 6 { 7 static readonly int[] mask = { 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 }; 8 static readonly decimal ln10 = 2.3025850929940456840179914547m; 9 static readonly decimal lnr = 0.2002433314278771112016301167m; 10 static readonly decimal expmax = 66.542129333754749704054283659m; 11 static readonly decimal[] exps = 12 { 13 2.71828182845904523536028747135m, // exp(1) 14 7.38905609893065022723042746058m, // exp(2) 15 54.5981500331442390781102612029m, // exp(4) 16 2980.95798704172827474359209945m, // exp(8) 17 8886110.52050787263676302374078m, // exp(16) 18 78962960182680.6951609780226351m, // exp(32) 19 6235149080811616882909238708.93m // exp(64) 20 }; 21 22 public static decimal Log10(this decimal x) 23 { 24 return Log(x) / ln10; 25 } 26 27 public static decimal Log(this decimal x) 28 { 29 if (x <= 0) throw new ArgumentException("Must be positive"); 30 int k = 0, l = 0; 31 for (; x >= 1.10527199m; k++) x /= 10; 32 for (; x <= 0.1m; k--) x *= 10; // ( 0.1000, 1.10527199 ) 33 for (; x < 0.9047m; l--) x *= 1.2217m; // [ 0.9047, 1.10527199 ) 34 return k * ln10 + l * lnr + Logarithm((x - 1) / (x + 1)); 35 } 36 37 static decimal Logarithm(decimal y) 38 { // y in ( -0.05-, 0.05+ ), return ln((1+y)/(1-y)) 39 decimal v = 1, y2 = y * y, t = y2, z = t / 3; 40 for (var i = 3; z != 0; z = (t *= y2) / (i += 2)) v += z; 41 return v * y * 2; 42 } 43 44 public static decimal Exp(this decimal x) 45 { 46 if (x > expmax) throw new OverflowException("overflow"); 47 if (x < -66) return 0; 48 var n = (int)decimal.Round(x); 49 if (n > 66) n--; 50 decimal z = 1, y = Exponential(x - n); 51 for (int m = (n < 0) ? -n : n, i = 0; i < mask.Length; i++) 52 if ((m & mask[i]) != 0) z *= exps[i]; 53 return (n < 0) ? (y / z) : (y * z); 54 } 55 56 static decimal Exponential(decimal q) 57 { // q (almost) in [ -0.5, 0.5 ] 58 decimal y = 1, t = q; 59 for (var i = 1; t != 0; t *= q / ++i) y += t; 60 return y; 61 } 62 63 public static decimal Pow(this decimal x, decimal y) 64 { 65 if (x == 0 && y > 0) return 0; 66 if (y == 0 && x != 0) return 1; 67 return Exp(y * Log(x)); 68 } 69 } 70 }
这个程序的详细说明请见参考资料[5]和[6]。
编译和运行
在 Arch Linux 操作系统的 Mono 环境下编译和运行：
work$ dmcs -r:System.Numerics.dll Tester.cs DecimalExtensions.cs work$ mono Tester.exe - 00:1 --------------------------------------------------- 2. 00:00:00.0085818 Standard 2 00:00:00.0033230 Direct 2 00:00:00.0002739 Binary 2.0000000000000000000000000005 00:00:00.0049157 ExpLog - 01:10 -------------------------------------------------- 2.5937424601 00:00:00.0015421 Standard 2.5937424601000000000000000000 00:00:00.0000146 Direct 2.5937424601000000000000000000 00:00:00.0000092 Binary 2.5937424600999999999999999977 00:00:00.0000488 ExpLog - 02:100 ------------------------------------------------- 2.704813829421526093267194710807 00:00:00.0006872 Standard 2.7048138294215260932671947112 00:00:00.0000735 Direct 2.7048138294215260932671947103 00:00:00.0000234 Binary 2.7048138294215260932671947257 00:00:00.0000330 ExpLog - 03:1,000 ----------------------------------------------- 2.716923932235892457383088121947 00:00:00.0277308 Standard 2.7169239322358924573830881229 00:00:00.0007167 Direct 2.7169239322358924573830881218 00:00:00.0000159 Binary 2.7169239322358924573830883380 00:00:00.0000310 ExpLog - 04:10,000 ---------------------------------------------- 2.718145926825224864037664674913 00:00:03.3247007 Standard 2.7181459268252248640376646760 00:00:00.0068304 Direct 2.7181459268252248640376646665 00:00:00.0000191 Binary 2.7181459268252248640376679109 00:00:00.0000276 ExpLog - 05:100,000 --------------------------------------------- 2.718268237174489668035064824426 00:07:56.2341075 Standard 2.7182682371744896680350648397 00:00:00.0686007 Direct 2.7182682371744896680350643783 00:00:00.0000222 Binary 2.7182682371744896680350286262 00:00:00.0000255 ExpLog - 06:1,000,000 ------------------------------------------- Skip 00:00:00.0000008 Standard 2.7182804693193768838197997202 00:00:00.6837104 Direct 2.7182804693193768838198166432 00:00:00.0000241 Binary 2.7182804693193768838199803836 00:00:00.0000213 ExpLog - 07:10,000,000 ------------------------------------------ Skip 00:00:00.0000009 Standard 2.7182816925449662711985502083 00:00:06.8334721 Direct 2.7182816925449662711985623547 00:00:00.0000289 Binary 2.7182816925449662712010419841 00:00:00.0000221 ExpLog - 08:100,000,000 ----------------------------------------- Skip 00:00:00.0000009 Standard 2.7182818148676362176529774118 00:01:08.3492423 Direct 2.7182818148676362176523859621 00:00:00.0000409 Binary 2.7182818148676362176710998015 00:00:00.0000230 ExpLog - 09:1,000,000,000 --------------------------------------- Skip 00:00:00.0000007 Standard 2.7182818270999043223766453801 00:11:23.4187574 Direct 2.7182818270999043223770801045 00:00:00.0000442 Binary 2.7182818270999043220142064477 00:00:00.0000215 ExpLog - 10:10,000,000,000 -------------------------------------- Skip 00:00:00.0000007 Standard Skip 00:00:00.0000008 Direct 2.7182818283231311436196542093 00:00:00.0000349 Binary 2.7182818283231311439407330619 00:00:00.0000172 ExpLog - 11:100,000,000,000 ------------------------------------- Skip 00:00:00.0000008 Standard Skip 00:00:00.0000010 Direct 2.7182818284454538261539965115 00:00:00.0000398 Binary 2.7182818284454538262180262237 00:00:00.0000176 ExpLog - 12:1,000,000,000,000 ----------------------------------- Skip 00:00:00.0000010 Standard Skip 00:00:00.0000007 Direct 2.7182818284576860942863185484 00:00:00.0000403 Binary 2.7182818284576860944460582886 00:00:00.0000174 ExpLog - 13:10,000,000,000,000 ---------------------------------- Skip 00:00:00.0000009 Standard Skip 00:00:00.0000007 Direct 2.7182818284589093212295138270 00:00:00.0000436 Binary 2.7182818284589093212688645227 00:00:00.0000176 ExpLog - 14:100,000,000,000,000 --------------------------------- Skip 00:00:00.0000009 Standard Skip 00:00:00.0000009 Direct 2.7182818284590316438350187680 00:00:00.0000480 Binary 2.7182818284590452353602874714 00:00:00.0000112 ExpLog - 15:1,000,000,000,000,000 ------------------------------- Skip 00:00:00.0000009 Standard Skip 00:00:00.0000009 Direct 2.7182818284590431765145511000 00:00:00.0000522 Binary 2.7182818284590452353602874714 00:00:00.0000114 ExpLog - 16:10,000,000,000,000,000 ------------------------------ Skip 00:00:00.0000009 Standard Skip 00:00:00.0000006 Direct 2.7182818284590335325626228124 00:00:00.0000547 Binary 2.7182818284590452353602874714 00:00:00.0000109 ExpLog - 17:100,000,000,000,000,000 ----------------------------- Skip 00:00:00.0000010 Standard Skip 00:00:00.0000006 Direct 2.7182818284590296936415060358 00:00:00.0000567 Binary 2.7182818284590452353602874714 00:00:00.0000108 ExpLog - 18:1,000,000,000,000,000,000 --------------------------- Skip 00:00:00.0000010 Standard Skip 00:00:00.0000006 Direct 2.7182818284590434884535909399 00:00:00.0000615 Binary 2.7182818284590452353602874714 00:00:00.0000108 ExpLog work$ echo \'scale=30;e(1)\' | bc -lq 2.718281828459045235360287471352
在上述结果中：
- 最后一行是 e 的近似值，是使用 Linux 操作系统的高精度计算器 bc 计算的，请见参考资料[4]。
- 使用 BigInteger.Pow 计算出来的是准确值。在 05:100,000 这一组中，计算结果达 500,001 个十进制数字。当 n 达到 106 以后，由于计算量太大，已经无法在合理的时间内计算准确值了。
- 使用 Direct 计算最慢（除 Standard 外，因为计算量不同）。当 n 达到 1010 以后，由于费时太多，已经不使用 Direct 方法计算了。
- 使用 Binary 计算的速度非常快，其精度和 Direct 差不多。这两者答案不同说明 decimal 的乘法不满足结合律。
- 使用 ExpLog 计算的速度理论上是最快的，实际的速度和 ExpLog 差不多，因为 n 还不够大。其精度在 n 不是很大时稍差。
- 当 n 达到 1014 以后，ExpLog 计算出来的值在 29 个有效数字范围内已经等于 e 值，不再变化了。
- 当 n 达到 1014 以后，由于舍入误差的累计，Binary 计算出来的值大约只有 14 个有效数字是可信的，再增大 n 值也不能更逼近 e 值了。也就是说，在逼近 e 值的意义上说，计算结果在有效数字范围内不再变化了。
- 要计算的幂函数是增函数，请注意观察上述运行结果是如何体现这一点的。
参数资料
