矩阵的转置、求逆及分块
2.2 矩阵的转置、求逆及分块
2.2.1 转置矩阵
如果将矩阵 
的行和列在不改变各元素的排列次序的条件下进行对调，即行变为列，列变为行，作成一个新的矩阵，我们称这个新的矩阵为原矩阵A的转置矩阵，并用
来表示，即：
在方阵
中，各元素的数值和正负号，如果都沿其主对角线对称的话，则称为对称方阵，对称方阵具有：＝
的性质。
如果矩阵A、B是可以相乘的，那么有：
，即两矩阵之积的转置矩阵，等于这两个矩阵交换顺序后的转置矩阵的积。
【例2-5】 用矩阵来表示[PVV]。
【解】已知：
，用矩阵运算法表示，可写为：
若记： 
（2-11）
则： 
（2-12）
上式即为用矩阵表示的[PVV]，式中
为观测值权阵，
为改正数阵（列矩阵），
为V的转置矩阵（行矩阵）。
2.2.2 逆矩阵
对于n阶方阵A，如果有一个同阶方阵B存在，使得：
AB＝BA＝E
则称B为A的逆矩阵，A的逆矩阵通常用
来表示，即：
方阵A存在逆矩阵的充分必要条件是它的行列式
不等于零。
如果A、B都是n阶方阵，并且它们的行列式都不等于零，则有：
（2-13）
即两个方阵之积的逆矩阵，等于这两个方阵交换顺序后的逆矩阵之积。
【例2-6】证明（2-13）式成立。
【证明】以（AB）左乘（2-13）式，得：
因上式等号左端两矩阵的积等于E，即：
；而等号右端也等于E,即： 
。
可见：
【例2-7】求 
的逆阵。
【解】首先算得
，再根据行列式理论中计算代数余子式的方法，算出中各元素所对应的代数余子式，并写出A的伴随阵：
注：A*中的各元素
为原阵A中的元素
所对应的代数余子式
。根据逆阵的计算公式
，
我们可得所求的逆阵：
2.2.3 分块矩阵
对于高阶矩阵的运算，可以用纵线与横线将其分裂成若干块低阶矩阵，分裂后的矩阵称为子块，分为子块的矩阵称为分块矩阵。
（1）分块矩阵的加法
若有两个相同行数和列数的矩阵C、D，用同一方法分裂成行数和列数一致的分块矩阵，则分块矩阵C、D的相加，只要把它们的对应子块矩阵一一相加便是了。
（2）数与分块矩阵的乘法
数与矩阵相乘的定义是：用数k右乘或左乘矩阵A，其积等于矩阵A的所有元素都乘以k。与此类似，数k与分块矩阵D相乘，就等于各子块矩阵
均乘以k。
（3）分块矩阵的乘法
设两可乘矩阵C、D已分裂成如下形式的分块矩阵，即：
其中子块矩阵
的列数等于
的行数，则分块矩阵C、D的乘积为：
（2-14）
其中：
。
转自：http://survey.01www.com/bxgc/article_show.asp?ArticleID=137