要解决的问题
假设有一个源源吐出不同球的机器， 只有装下10个球的袋子，每一个吐出的球，要么放入袋子，要么永远扔掉,如何做到机器吐出每一个球之后，所有吐出的球都等概率被放进袋子里
规则
吐出1到10号球，完全入袋, 引入随机函数f(i)，提供一个值i，等概率返回1-i的一个数字, 当K号球吐出的时候（K>10) ,我们通过以下决策决定是否要入袋
- 引入随机函数：f(K) , 如果返回10以内的数，则入袋，如果返回10以外的数，则扔掉, 即：10/K的概率决定球是否入袋。
- 第一步中如果决定入袋，那么袋子中已经存在的球以等概率丢弃一个。
证明
情况1
当K为1～10号的时候，根据我们的规则，入袋概率100%，每个球等概率
情况2
当K为任意一个大于10的数，我们假设K为927，即：当927这个编号的球吐出来的时候，我们考虑：
A. 1 ～ 10 号球的入袋概率
B. 大于10号小于等于927号球的入袋概率
如果A和B都可以说明等概率
那么可以推广到普遍情况都是等概率的。
A情况，927号球到来的时候，我们可以考虑一下5号球的入袋概率是多少？
5号球需要存活到927号球到来，必须满足：
- 11号球来的时候，5号球活下来
- 12号球来的时候，5号球活下来
- ...
- 926号球来的时候，5号球活下来
11号球来的时候，5号球怎么活下来呢？先看一下，11号球到来，5号球如果没有活下来的概率q，那么5号球活下来的概率就是 1 - q
首先，根据我们的规则，11号球要以10/11概率被选中入袋，且5号球要以非常倒霉的情况1/10概率被选中要替换，那么，11号球到来，5号球被替换的概率为：
(10/11 * 1/10) = 1/11
那么5号球活下来的概率就是
1 - 1/11 = 10/11
12号球到来的时候，5号球活下来的概率同理，可以计算出为11/12
13号球到来的时候，5号球活下来的概率同理，可以计算出为12/13
....
927号球到来的时候，5号球活来的概率同理：可以计算出为926/927
所以，5号球活下来的概率为：
10/11 * 11/12 * 12/13 ... * 925/926 * 926/927 = 10/927
同理，1 ～ 10 号球任意一号都可以按照5号球的计算方式计算，概率均为：10/927
A情况是等概率的
再看B情况，我们可以假设一个大于10但是小于927的球，比如，15号球，考虑入袋概率
15号球要在927号球到来的时候，还在袋子中，则需要保证：
15号球在当时被吐出的时候，以10/15概率被选中，且在
16号球到来的时候，15号球活下来，概率根据A的计算逻辑，为15/16
17号球到来的时候，15号球活下来, 同理，为16/17
....
926号球到来的时候，15号球活下来，概率为925/926
927号球到来的时候，15号球活下来，概率为926/927
所以，927号球到来的时候，15号球活下来的概率是：
10/15 * 15/16 * 16/17 .... * 925/926 * 926/927 = 10/927
同理，任意大于10小于927号球的概率都可以根据15号球的计算逻辑推算出来，均为10/927
A情况和B情况概率都是10/927
所以规则满足了题目的要求。
代码
public class Code_0058_ReservoirSampling {
public static class RandomBox {
private int[] bag;
// 袋子容量
private int capacity;
// 第几号球
private int count;
public RandomBox(int capacity) {
bag = new int[capacity];
this.capacity = capacity;
count = 0;
}
// 随机函数，等概率生成1-max之间随机的一个数字
// Math.random() -> 生成[0,1)范围内的数
// (int)i 是对i进行向下取整
private int rand(int max) {
return (int) (Math.random() * max) + 1;
}
public void add(int num) {
// 球个数增加
count++;
// 如果球的个数没有超过容量
if (count <= capacity) {
// 则入袋
bag[count - 1] = num;
} else if (rand(count) <= capacity) {
// 否则以N/count的概率入袋
bag[rand(capacity) - 1] = num;
}
}
// 返回袋子中最终选中的球
public int[] choices() {
int[] res = new int[capacity];
System.arraycopy(bag, 0, res, 0, capacity);
return res;
}
}
}