原文链接:http://tecdat.cn/?p=17375
为了帮助客户正确使用POT模型,本指南包含有关使用此模型的实用示例。本文快速介绍了极值理论(EVT)、一些基本示例,最后则通过案例对河流的极值进行了具体的统计分析。
EVT的介绍
单变量情况
假设存在归一化常数an> 0和bn使得:
根据极值类型定理(Fisher和Tippett,1928年),G必须是Fr\'echet,Gumbel或负Weibull分布。Jenkinson(1955)指出,这三个分布可以合并为一个参数族:广义极值(GEV)分布。GEV具有以下定义的分布函数:
根据这一结果,Pickands(1975)指出,当阈值接近目标变量的端点µend时,阈值阈值的标准化超额的极限分布是广义Pareto分布(GPD)。也就是说,如果X是一个随机变量,则:
基本用法
随机数和分布函数
首先,让我们从基本的东西开始。将R用于随机数生成和分布函数。
-
> rgpd(5, loc = 1, scale = 2, shape = -0.2)
-
[1] 1.523393 2.946398 2.517602 1.199393 2.541937
-
> rgpd(6, c(1, -5), 2, -0.2)
-
[1] 1.3336965 -4.6504749 3.1366697 -0.9330325 3.5152161 -4.4851408
-
> rgpd(6, 0, c(2, 3), 0)
-
[1] 3.1139689 6.5900384 0.1886106 0.9797699 3.2638614 5.4755026
-
> pgpd(c(9, 15, 20), 1, 2, 0.25)
-
[1] 0.9375000 0.9825149 0.9922927
-
> qgpd(c(0.25, 0.5, 0.75), 1, 2, 0)
-
[1] 1.575364 2.386294 3.772589
-
> dgpd(c(9, 15, 20), 1, 2, 0.25)
-
[1] 0.015625000 0.003179117 0.001141829
使用选项lower.tail = TRUE或lower.tail = FALSE分别计算不超过或超过概率;
指定分位数是否超过概率分别带有选项lower.tail = TRUE或lower.tail = FALSE;
指定是分别使用选项log = FALSE还是log = TRUE计算密度或对数密度。
阈值选择图
此外,可以使用Fisher信息来计算置信区间。
-
> x <- runif(10000)
-
> par(mfrow = c(1, 2))
结果如图所示。我们可以清楚地看到,将阈值设为0.98是合理的选择。
可以将置信区间添加到该图,因为经验均值可以被认为是正态分布的(中心极限定理)。但是,对于高阈值,正态性不再成立,此外,通过构造,该图始终会收敛到点(xmax; 0)。
这是另一个综合示例。
-
> x <- rnorm(10000)
-
plot(x, u.range = c(1, quantile(x, probs = 0.995)), col =
L-矩图
L-矩是概率分布和数据样本的摘要统计量。它们类似于普通矩{它们提供位置,离散度,偏度,峰度以及概率分布或数据样本形状的其他方面的度量值{但是是从有序数据值的线性组合中计算出来的(因此有前缀L)。
这是一个简单的例子。
> x <- c(1 - abs(rnorm(200, 0, 0.2)), rgpd(100, 1, 2, 0.25))
我们发现该图形在真实数据上的性能通常很差。
色散指数图
在处理时间序列时,色散指数图特别有用。EVT指出,超出阈值的超出部分可以通过GPD近似。但是,EVT必须通过泊松过程来表示这些超额部分的发生。
对于下一个示例,我们使用POT包中包含的数据集。此外,由于洪水数据是一个时间序列,因此具有很强的自相关性,因此我们必须“提取”极端事件,同时保持事件之间的独立性。
-
5, clust.max = TRUE)
-
> diplot(events, u.range = c(2, 20))
色散指数图如图所示。从该图可以看出,大约5的阈值是合理的。
拟合GPD
单变量情况
可以根据多个估算器拟合GPD。
MLE是一种特殊情况,因为它是唯一允许变化阈值的情况。
我们在此给出一些教学示例。
-
-
scale shape
-
mom 1.9538076495 0.2423393
-
mle 2.0345084386 0.2053905
-
pwmu 2.0517348996 0.2043644
-
pwmb 2.0624399910 0.2002131
-
pickands 2.3693985422 -0.0708419
-
med 2.2194363549 0.1537701
-
mdpd 2.0732577511 0.1809110
-
mple 2.0499646631 0.1960452
-
ad2r 0.0005539296 27.5964097
MLE,MPLE和MGF估计允许比例或形状参数。例如,如果我们要拟合指数分布:
-
-
> fit(x, thresh = 1, shape = 0, est = "mle")
-
Estimator: MLE
-
Deviance: 322.686
-
AIC: 324.686
-
Varying Threshold: FALSE
-
-
-
Threshold Call: 1
-
Number Above: 100
-
Proportion Above: 1
-
Estimates
-
scale
-
1.847
-
Standard Error Type: observed
-
Standard Errors
-
scale
-
0.1847
-
Asymptotic Variance Covariance
-
scale
-
scale 0.03410
-
Optimization Information
-
Convergence: successful
-
Function Evaluations: 7
-
Gradient Evaluations: 1
-
> fitgpd(x, thresh = 1, scale = 2, est = "mle")
-
Estimator: MLE
-
Deviance: 323.3049
-
AIC: 325.3049
-
Varying Threshold: FALSE
-
Threshold Call: 1
-
Number Above: 100
-
Proportion Above: 1
-
Estimates
-
shape
-
0.0003398
-
Standard Error Type: observed
-
Standard Errors
-
shape
-
0.06685
-
Asymptotic Variance Covariance
-
shape
-
shape 0.004469
-
Optimization Information
-
Convergence: successful
-
Function Evaluations: 5
-
Gradient Evaluations: 1
-
If now, we want to fit a GPD with a varying threshold, just do:
-
> x <- rgpd(500, 1:2, 0.3, 0.01)
-
> fitgpd(x, 1:2, est = "mle")
-
Estimator: MLE
-
Deviance: -176.1669
-
AIC: -172.1669
-
Varying Threshold: TRUE
-
Threshold Call: 1:2
-
Number Above: 500
-
Proportion Above: 1
-
Estimates
-
scale shape
-
0.3261 -0.0556
-
Standard Error Type: observed
-
Standard Errors
-
scale shape
-
0.02098 0.04632
-
Asymptotic Variance Covariance
-
scale shape
-
scale 0.0004401 -0.0007338
-
shape -0.0007338 0.0021451
-
Optimization Information
-
Convergence: successful
-
Function Evaluations: 62
-
Gradient Evaluations: 11
scale1 | shape1 | scale2 | shape2 | α |
6.784e-02 | 5.303e-02 | 2.993e-02 | 3.718e-02 | 2.001e-06 |
-
Asymptotic Variance Covariance
-
scale1 shape1 scale2 shape2 alpha
-
scale1 4.602e-03 -2.285e-03 1.520e-06 -1.145e-06 -3.074e-11
-
shape1 -2.285e-03 2.812e-03 -1.337e-07 4.294e-07 -1.843e-11
-
scale2 1.520e-06 -1.337e-07 8.956e-04 -9.319e-04 8.209e-12
-
shape2 -1.145e-06 4.294e-07 -9.319e-04 1.382e-03 5.203e-12
-
alpha -3.074e-11 -1.843e-11 8.209e-12 5.203e-12 4.003e-12
-
Optimization Information
-
Convergence: successful
-
Function Evaluations: 150
-
Gradient Evaluations: 21
双变量情况
拟合双变量POT。所有这些模型均使用最大似然估计量进行拟合。
-
vgpd(cbind(x, y), c(0, 2), model = "log")
-
> Mlog
-
Estimator: MLE
-
Dependence Model and Strenght:
-
Model : Logistic
-
lim_u Pr[ X_1 > u | X_2 > u] = NA
-
Deviance: 1313.260
-
AIC: 1323.260
-
Marginal Threshold: 0 2
-
Marginal Number Above: 500 500
-
Marginal Proportion Above: 1 1
-
Joint Number Above: 500
-
Joint Proportion Above: 1
-
Number of events such as {Y1 > u1} U {Y2 > u2}: 500
-
Estimates
-
scale1 shape1 scale2 shape2 alpha
-
0.9814 0.2357 0.5294 -0.2835 0.9993
-
Standard Errors
在摘要中,我们可以看到lim_u Pr [X_1> u | X_2> u] = 0.02。这是Coles等人的χ统计量。(1999)。对于参数模型,我们有:
对于自变量,χ= 0,而对于完全依存关系,χ=1。在我们的应用中,值0.02表示变量是独立的{这是显而易见的。从这个角度来看,可以固定一些参数。
-
vgpd(cbind(x, y), c(0, 2), model = "log"
-
Dependence Model and Strenght:
-
Model : Logistic
-
lim_u Pr[ X_1 > u | X_2 > u] = NA
-
Deviance: 1312.842
-
AIC: 1320.842
-
Marginal Threshold: 0 2
-
Marginal Number Above: 500 500
-
Marginal Proportion Above: 1 1
-
Joint Number Above: 500
-
Joint Proportion Above: 1
-
Number of events such as {Y1 > u1} U {Y2 > u2}: 500
-
Estimates
-
scale1 shape1 scale2 shape2
-
0.9972 0.2453 0.5252 -0.2857
-
Standard Errors
-
scale1 shape1 scale2 shape2
-
0.07058 0.05595 0.02903 0.03490
-
Asymptotic Variance Covariance
-
scale1 shape1 scale2 shape2
-
scale1 4.982e-03 -2.512e-03 -3.004e-13 3.544e-13
-
shape1 -2.512e-03 3.130e-03 1.961e-13 -2.239e-13
-
scale2 -3.004e-13 1.961e-13 8.427e-04 -8.542e-04
-
shape2 3.544e-13 -2.239e-13 -8.542e-04 1.218e-03
-
Optimization Information
-
Convergence: successful
-
Function Evaluations: 35
-
Gradient Evaluations: 9
注意,由于所有双变量极值分布都渐近相关,因此Coles等人的χ统计量。(1999)始终等于1。
检测依赖强度的另一种方法是绘制Pickands的依赖函数:
> pickdep(Mlog)
水平线对应于独立性,而其他水平线对应于完全相关性。请注意,通过构造,混合模型和非对称混合模型无法对完美的依赖度变量建模。
使用马尔可夫链对依赖关系结构进行建模
超越的马尔可夫链进行超过阈值的峰分析的经典方法是使GPD拟合最大值。但是,由于仅考虑群集最大值,因此存在数据浪费。主要思想是使用马尔可夫链对依赖关系结构进行建模,而联合分布显然是多元极值分布。这个想法是史密斯等人首先提出的。(1997)。在本节的其余部分,我们将只关注一阶马尔可夫链。因此,所有超出的可能性为:
对于我们的应用程序,我们模拟具有极值依赖结构的一阶马尔可夫链。
-
mcgpd(mc, 2, "log")
-
Estimator: MLE
-
Dependence Model and Strenght:
-
Model : Logistic
-
lim_u Pr[ X_1 > u | X_2 > u] = NA
-
Deviance: 1334.847
-
AIC: 1340.847
-
Threshold Call:
-
Number Above: 998
-
Proportion Above: 1
-
Estimates
-
scale shape alpha
-
0.8723 0.1400 0.5227
-
Standard Errors
-
scale shape alpha
-
0.08291 0.04730 0.02345
-
Asymptotic Variance Covariance
-
scale shape alpha
-
scale 0.0068737 -0.0016808 -0.0009066
-
shape -0.0016808 0.0022369 -0.0004412
-
alpha -0.0009066 -0.0004412 0.0005501
-
Optimization Information
-
Convergence: successful
-
Function Evaluations: 70
-
Gradient Evaluations: 15
置信区间
拟合统计模型后,通常会给出置信区间。当前,只有mle,pwmu,pwmb,矩估计量可以计算置信区间。
-
-
conf.inf.scale conf.sup.scale
-
2.110881 2.939282
-
-
conf.inf.scale conf.sup.scale
-
1.633362 3.126838
-
-
conf.inf.scale conf.sup.scale
-
2.138851 3.074945
-
-
conf.inf.scale conf.sup.scale
-
2.149123 3.089090
对于形状参数置信区间:
-
conf.inf conf.sup
-
2.141919 NA
-
conf.inf conf.sup
-
0.05757576 0.26363636
分位数的置信区间也可用。
-
conf.inf conf.sup
-
2.141919 NA
-
conf.inf conf.sup
-
0.05757576 0.26363636
-
conf.inf conf.sup
-
8.64712 12.22558
-
conf.inf conf.sup
-
8.944444 12.833333
-
-
conf.inf conf.sup
-
8.64712 12.22558
-
conf.inf conf.sup
-
8.944444 12.833333
轮廓置信区间函数既返回置信区间,又绘制轮廓对数似然函数。
模型检查
要检查拟合的模型,用户必须调用函数图。
-
-
> plot(fitted, npy = 1)
图显示了执行获得的图形窗口。
聚类技术
在处理时间序列时,超过阈值的峰值可能会出现问题。确实,由于时间序列通常是高度自相关的,因此选择高于阈值可能会导致相关事件。
该函数试图在满足独立性标准的同时识别超过阈值的峰。为此,该函数至少需要两个参数:阈值u和独立性的时间条件。群集标识如下:
1.第一次超出会启动第一个集群;
2.在阈值以下的第一个观察结果将“终止集群”,除非tim.cond不成立;
3.下一个超过tim.cond的集群将启动新集群;
4.根据需要进行迭代。
一项初步研究表明,如果两个洪水事件不在8天之内,则可以认为两个洪水事件是独立的,请注意,定义tim.cond的单位必须与所分析的数据相同。
返回一个包含已识别集群的列表。
clu(dat, u = 2, tim.cond = 8/365)
其他
返回周期
将返回周期转换为非超出概率,反之亦然。它既需要返回期,也需要非超越概率。此外,必须指定每年平均事件数。
-
npy retper prob
-
1 1.8 50 0.9888889
-
npy retper prob
-
1 2.2 1.136364 0.6
无偏样本L矩
函数samlmu计算无偏样本L矩。
l_1 |
l_2 | t_3 | t_4 | t_5 |
0.455381591 | 0.170423740 | 0.043928262 -0.005645249 -0.009310069 | ||
3.7.3 |
河流阈值分析
在本节中,我们提供了对河流阈值的全面和详细的分析。
时间序列的移动平均窗口
从初始时间序列ts计算“平均”时间序列。这是通过在初始时间序列上使用长度为d的移动平均窗口来实现的。
-
-
> plot(dat, type = "l", col = "blue")
-
> lines(tsd, col = "green")
执行过程如图所示。图描绘了瞬时洪水数量-蓝线。
由于这是一个时间序列,因此我们必须选择一个阈值以上的独立事件。首先,我们固定一个相对较低的阈值以“提取”更多事件。因此,其中一些不是极端事件而是常规事件。这对于为GPD的渐近逼近选择一个合理的阈值是必要的。
-
> par(mfrow = c(2, 2))
-
> plot(even[, "obs"])
-
> abline(v = 6, col = "green"
根据图,阈值6m3 = s应该是合理的。平均剩余寿命图-左上方面板-表示大约10m3 = s的阈值应足够。但是,所选阈值必须足够低,以使其上方具有足够的事件以减小方差,而所选阈值则不能过低,因为它会增加偏差3。
因此,我们现在可以\重新提取阈值6m3 = s以上的事件,以获得对象event1。注意,可以使用极值指数的估计。
-
> events1 <-365, clust.max = TRUE)
-
> np
-
time obs
-
Min. :1970 Min. : 0.022
-
1st Qu.:1981 1st Qu.: 0.236
-
Median :1991 Median : 0.542
-
Mean :1989 Mean : 1.024
-
3rd Qu.:1997 3rd Qu.: 1.230
-
Max. :2004 Max. :44.200
-
NA\'s : 1.000
结果给出了估计器的名称(阈值,阈值以上的观测值的数量和比例,参数估计,标准误差估计和类型,渐近方差-协方差矩阵和收敛性诊断。
图显示了拟合模型的图形诊断。可以看出,拟合模型“ mle”似乎是合适的。假设我们想知道与100年返回期相关的返回水平。
-
> rp2p
-
npy retper prob
-
1 1.707897 100 0.9941448
-
>
-
scale
-
36.44331
考虑到不确定性,图描绘了与100年返回期相关的分位数的分布置信区间。
-
conf.inf conf.sup
-
25.56533 90.76633
有时有必要知道指定事件的估计返回周期。让我们对较大事件进行处理。
-
> maxEvent
-
[1] 44.2
-
-
shape
-
0.9974115
-
> prob
-
npy retper prob
-
1 1.707897 226.1982 0.9974115
因此,2000年6月发生的最大事件的重现期大约为240年。
-
conf.inf conf.sup
-
25.56533 90.76633
最受欢迎的见解
1.R语言基于ARMA-GARCH-VaR模型拟合和预测实证研究