作者：桂。
时间：2017-04-14 06:22:26
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前言
之前梳理了一下非负矩阵分解（Nonnegative matrix factorization, NMF），主要有：
3）拉格朗日乘子法求解NMF（将含限定NMF的求解 一般化）
谱聚类可以参考之前的文章：
1）拉普拉斯矩阵（Laplace Matrix）与瑞利熵（Rayleigh quotient）
2）谱聚类（Spectral clustering）（1）：RatioCut
3）谱聚类（Spectral clustering）（2）:NCut
总感觉NMF跟聚类有联系，这里试着从聚类角度分析一下非负矩阵分解，主要包括：
1）Kmeans与谱聚类
2）对称非负矩阵分解（symmetric NMF，SyNMF）;
3）非对称非负矩阵分解;
内容为自己的学习总结，如果有不对的地方，还请帮忙指出。文中多有借鉴他人的地方，最后一并给出链接。
一、Kmeans与谱聚类
A-Kmeans定义
，准则函数为：
可以重写为：
定义h：
$n_k$为第k类样本的个数，则准则函数变为：
从而Kmeans的优化问题，等价于：
B-Kmeans与谱聚类（Spectral clustering）的联系
上文给出了h的定义：
回顾谱聚类中RatioCut定义h的思路：
回顾RatioCut求解问题：
可以看出求解的思路完全一致，不同的是RatioCut是拉普拉斯矩阵L，而Kmeans是矩阵$X^TX$。正因为这点不同，Kmeans在利用谱聚类的思路求解时，略有差别。利用Kmeans的思想求Kmeans，听着这不是欠揍吗？ 这里只是为了分析谱聚类一般方法（L）与谱聚类对应的Kmeans（$X^TX$）二者的不同。
再次写出RatioCut的步骤：
步骤一：求解拉普拉斯矩阵L
步骤二：对L进行特征值分解，并取K个最小特征值对应的特征向量（K为类别数目）
步骤三：将求解的K个特征向量（并分别归一化），构成新的矩阵，对该矩阵进行kmeans处理
kmeans得到的类别标签，就是原数据的类别标签，至此完成RatioCut聚类。
对应Kmeans呢？是不是把$X^TX$换成L就等价于对原数据Kmeans?
步骤一：求解$X^TX$
步骤二：对$X^TX$进行特征值分解，并取K个最大特征值对应的特征向量（K为类别数目）
步骤三：将求解的K个特征向量（并分别归一化），构成新的矩阵，对该矩阵进行kmeans处理
kmeans得到的类别标签，就是原数据的类别标签，至此完成RatioCut聚类。
对应测试code:
L = X\'*X;% matrix %%Step2:Eigenvalues decomposition K = 3; [Qini,V] = eig(L); %%Step3:New matrix Q [~,pos] = sort(diag(V),\'ascend\'); Q = Qini(:,pos(1:K)); Q = Q./repmat(sqrt(diag(Q\'*Q)\'),N,1); [idx,ctrs] = kmeans(Q,K);
我们可以利用数据测试一下：
再来看看直接对原数据Kmeans的结果：
利用谱聚类的思想求解，得出了错误的分类结果，而直接Kmeans效果是理想的。
原因何在？问题就出在矩阵L上。回顾之前提到的拉普拉斯矩阵L特性：
它表示的是不同数据点特征的差距，而$X^TX$呢？
更像是一种余弦距离的测度，普通的Kmeans自然不能很好解决聚类。其实对$X^TX$利用谱聚类，特征向量子空间是严谨的，以三类为例，将特征子空间投影到二维，如下图中间所示，很容易看出子空间特征是分成三类的，但聚类之后呢？如右图所示，就出现了判别错误。这也是为什么上面两种结果不一致。
总而言之：Kmeans是与谱聚类的思想一致，但由于中间矩阵不同，二者思路略有差异。
C-Kernel Kmeans与谱聚类
这里就再啰嗦一下，数据分类效果不理想，映射到高维呢？也就是核函数（Kernel function）的思想。
重新写出谱聚类框架下的Kmeans：
对X进行映射：
，得出核函数下的Kmeans(Kernel Kmeans)
重新给出code(以kernel 取gaussian为例):
%Kmeans
sigma2 = .02;
L = exp(-dist(X,X\').^2*sigma2);
[Qini,V] = eig(L);
%%Step3:New matrix Q
[~,pos] = sort(diag(V),\'descend\');
Q = Qini(:,pos(1:K));
for i =1:K
Q(:,i) = Q(:,i)-min(Q(:,i));
end
Q = Q./repmat(sqrt(diag(Q\'*Q)\'),K*N,1);
[idx,ctrs] = kmeans(Q,K);
对应分类结果：
这个时候分类就理想了。
二、对称非负矩阵分解（SyNMF）
A-原理介绍
Kmeans与RatioCut的理论框架是统一的，其实准则函数等价为：
现在将$H^TH = I$的约束去掉，泛化后的求解问题为：
这就是对称非负矩阵分解（SyNMF）的思路。
B-算法求解
求解思路还是利用拉格朗日乘子+KKT，不再细说，给出结果：
泛化后：
得到H之后，如何实现数据的label判别？
可以看出得到的H分为三类，对应三种label, 即可实现数据分离。
给出SymNMF与谱聚类的对比：
对应的code可以点击这里。
给出一个测试结果图，测试数据为三类：
三、非对称非负矩阵分解
SymNMF是Spectral clustering的泛化推广。
上文分析的是对称的谱聚类问题：
- Spectral clustering
- SymNMF
同样的方式，分析非对称的谱聚类问题：
- Spectral clustering
该问题可以转化为：
同样的，对于：
进行泛化：
这就是NMF的准则函数，即：
- NMF
现在来总结一下：
关系是不是一目了然了？如何添加更多约束项呢？比如希望H矩阵尽可能系数等等，就在上面这几类问题的准则函数后添加约束，转化成对偶问题求解即可。
题外话
A-非负矩阵NMF实现数据聚类
分析了这么多，已经解开了之前的困惑：谱聚类与NMF之间的联系。
回顾上面分析Kmeans提到的三类数据聚类问题，对$XX^T$进行NMF处理：
更直观地，将数据放在对应维度观察：
可以看到，由于矩阵对称，即figure对称，对W/H聚类，都可以得到三类标签，从而实现数据的聚类。对于非对称呢？自然想到：如果W对应样本数量维度，则对W进行聚类，如果H对应样本数量维度，就对H进行聚类，同样可以实现数据聚类。
给出一个利用（Kernel kmeans）聚类以及利用NMF聚类的对比示例。
利用$X^TX$是kmeans的思路，利用$L$是RatioCut思路，事实上，泛化之后，直接利用$X^TX$也可以利用是NMF的思路。
clc;clear all;close all;
N = 100;
K = 3;
X = [randn(N,2)+ones(N,2);...
randn(N,2)+3*ones(N,2);...
randn(N,2)-4*ones(N,2)];
posran = randperm(K*N);
X = X-min(min(X));
X = X(posran,:);
%%方法一 基于Data: 利用 XX\' + 核心函数
sigma2 = 0.02;
L = exp(-dist(X,X\')*sigma2);
%%Step2:Eigenvalues decomposition
[Qini,V] = eig(L);
%%Step3:New matrix Q
[~,pos] = sort(diag(V),\'descend\');
Q = Qini(:,pos(1:K));
for i =1:K
Q(:,i) = Q(:,i)-min(Q(:,i));
end
Q = Q./repmat(sqrt(diag(Q\'*Q)\'),K*N,1);
[idx,ctrs] = kmeans(Q,K);
figure
subplot 221
plot(X(:,1),X(:,2),\'.\');
title(\'原数据\');grid on;
subplot 222
plot3(Q(:,1),Q(:,2),Q(:,3),\'b.\');
title(\'特征\');grid on;
subplot 223
plot3(Q(idx==1,1),Q(idx==1,2),Q(idx==1,3),\'b.\');hold on;
plot3(Q(idx==2,1),Q(idx==2,2),Q(idx==2,3),\'r.\');hold on;
plot3(Q(idx==3,1),Q(idx==3,2),Q(idx==3,3),\'g.\');hold on;
title(\'特征聚类\');grid on;
subplot 224
plot(X(idx==1,1),X(idx==1,2),\'b.\');hold on;
plot(X(idx==2,1),X(idx==2,2),\'r.\');hold on;
plot(X(idx==3,1),X(idx==3,2),\'g.\');hold on;
title(\'聚类结果\');grid on;
%%方法2 基于NMF: 对X*X\'聚类
%即NMF
Iter = 500;
K = 3;
[W,H] = nmf(X*X\',K,Iter);
[idx,ctrs] = kmeans(W,K,\'distance\',\'cityblock\');
figure
subplot 221
plot(X(:,1),X(:,2),\'.\');
title(\'原数据\');grid on;
subplot 222
plot3(W(:,1),W(:,2),W(:,3),\'b.\');
title(\'W矩阵\');grid on;
subplot 223
plot3(W(idx==1,1),W(idx==1,2),W(idx==1,3),\'b.\');hold on;
plot3(W(idx==2,1),W(idx==2,2),W(idx==2,3),\'r.\');hold on;
plot3(W(idx==3,1),W(idx==3,2),W(idx==3,3),\'g.\');hold on;
title(\'W矩阵聚类\');grid on;
subplot 224
plot(X(idx==1,1),X(idx==1,2),\'b.\');hold on;
plot(X(idx==2,1),X(idx==2,2),\'r.\');hold on;
plot(X(idx==3,1),X(idx==3,2),\'g.\');hold on;
title(\'聚类结果\');grid on;
这里的代码只是为了说明理论问题，代码本身不足以支持应用。给出对应结果图：
基于$X^TX$的Kmeans:
基于$X^TX$的NMF:
事实上，直接对$X$进行NMF聚类，只要将$X^TX$替换为$X$即可，对应结果图：
这里可以理解为：H是对应的字典信息，W是线性变换。
B-图的聚类（不再是数据的聚类）
上文分析的是对数据点进行分类，如果直接对邻接矩阵、拉普拉斯矩阵，也就是图片信息进行分类呢？（可能有点绕，但数据点聚类，并不代表图就是聚类，图明显可以聚类，对应的数据点也未必可以聚类）。
图对应的矩阵，如拉普拉斯矩阵、邻接矩阵等等，说到底都是figure的表达，如上图所示，因此上文分析的矩阵W/B，可以用图片的信息替代。
对于图的聚类，一种思路是将图中像素点读取，转化成数据格式，再进行聚类。
Data角度就是前面分析的种种类型，Figure角度呢？
给出NMF对图片的处理结果（分四类）：
对应code:
img = imread(\'2.png\');
V = 1-im2bw(rgb2gray(img));
figure
K = 4;
Iter = 500;
[W,H] = nmf(V, K, Iter);
subplot 331
mesh(V);
title(\'原数据\')
for i =1:K
subplot(3,3,i+1);
mesh(W(:,i)*H(i,:));
title([\'分解\',num2str(i)])
end
NMF对于Figure是一种线性表达的思路，可以分离的基础是数据不共线（横/纵），再给出之前音乐分离的语谱图：
之所以可以分离正是因为音乐频谱的周期性，所以对于非周期的说话人，直接应用NMF应该是无效的，对应的时域波形：
参考：
- On the Equivalence of Nonnegative Matrix Factorization and Spectral Clustering
- Symmetric Nonnegative Matrix Factorization for Graph Clustering
