引入
作为练手，不妨用matlab实现K-means
要解决的问题：n个D维数据进行聚类（无监督），找到合适的簇心。
这里仅考虑最简单的情况，数据维度D=2，预先知道簇心数目K（K=4）
理论步骤
关键步骤：
（1）根据K个簇心(clusters，下标从1到K)，确定每个样本数据Di(D为所有数据整体，Di为某个数据，i=1...n)所属簇，即欧氏距离最近的那个。
簇心编号:
c_i = arg min_{j} {D_i - clusters_j}， 即使得欧氏距离最近的那个j
(2) 更新簇心：所属簇编号c_i相同的样本数据D_i的元素们，用他们均值来替代原有簇心（D维向量均值）
代码
% my_kmeans
% By Chris, zchrissirhcz@gmail.com
% 2016年9月30日 19:13:43
% 簇心数目k
K = 4;
% 准备数据，假设是2维的,80条数据，从data.txt中读取
%data = zeros(100, 2);
load \'data.txt\'; % 直接存储到data变量中
x = data(:,1);
y = data(:,2);
% 绘制数据，2维散点图
% x,y: 要绘制的数据点 20:散点大小相同，均为20 \'blue\':散点颜色为蓝色
s = scatter(x, y, 20, \'blue\');
title(\'原始数据：蓝圈；初始簇心：红点\');
% 初始化簇心
sample_num = size(data, 1); % 样本数量
sample_dimension = size(data, 2); % 每个样本特征维度
% 暂且手动指定簇心初始位置
clusters = zeros(K, sample_dimension);
clusters(1,:) = [-3,1];
clusters(2,:) = [2,4];
clusters(3,:) = [-1,-0.5];
clusters(4,:) = [2,-3];
hold on; % 在上次绘图（散点图）基础上，准备下次绘图
% 绘制初始簇心
scatter(clusters(:,1), clusters(:,2), \'red\', \'filled\'); % 实心圆点，表示簇心初始位置
c = zeros(sample_num, 1); % 每个样本所属簇的编号
PRECISION = 0.0001;
iter = 100; % 假定最多迭代100次
for i=1:iter
% 遍历所有样本数据，确定所属簇。公式1
for j=1:sample_num
%t = arrayfun(@(item) item
%[min_val, idx] = min(t);
gg = repmat(data(j,:), K, 1);
gg = gg - clusters; % norm:计算向量模长
tt = arrayfun(@(n) norm(gg(n,:)), (1:K)\');
[minVal, minIdx] = min(tt);
% data(j,:)的所属簇心，编号为minIdx
c(j) = minIdx;
end
% 遍历所有样本数据，更新簇心。公式2
convergence = 1;
for j=1:K
up = 0;
down = 0;
for k=1:sample_num
up = up + (c(k)==j) * data(k,:);
down = down + (c(k)==j);
end
new_cluster = up/down;
delta = clusters(j,:) - new_cluster;
if (norm(delta) > PRECISION)
convergence = 0;
end
clusters(j,:) = new_cluster;
end
figure;
f = scatter(x, y, 20, \'blue\');
hold on;
scatter(clusters(:,1), clusters(:,2), \'filled\'); % 实心圆点，表示簇心初始位置
title([\'第\', num2str(i), \'次迭代\']);
if (convergence)
disp([\'收敛于第\', num2str(i), \'次迭代\']);
break;
end
end
disp(\'done\');
使用到的数据(data.txt)
1.658985 4.285136
-3.453687 3.424321
4.838138 -1.151539
-5.379713 -3.362104
0.972564 2.924086
-3.567919 1.531611
0.450614 -3.302219
-3.487105 -1.724432
2.668759 1.594842
-3.156485 3.191137
3.165506 -3.999838
-2.786837 -3.099354
4.208187 2.984927
-2.123337 2.943366
0.704199 -0.479481
-0.392370 -3.963704
2.831667 1.574018
-0.790153 3.343144
2.943496 -3.357075
-3.195883 -2.283926
2.336445 2.875106
-1.786345 2.554248
2.190101 -1.906020
-3.403367 -2.778288
1.778124 3.880832
-1.688346 2.230267
2.592976 -2.054368
-4.007257 -3.207066
2.257734 3.387564
-2.679011 0.785119
0.939512 -4.023563
-3.674424 -2.261084
2.046259 2.735279
-3.189470 1.780269
4.372646 -0.822248
-2.579316 -3.497576
1.889034 5.190400
-0.798747 2.185588
2.836520 -2.658556
-3.837877 -3.253815
2.096701 3.886007
-2.709034 2.923887
3.367037 -3.184789
-2.121479 -4.232586
2.329546 3.179764
-3.284816 3.273099
3.091414 -3.815232
-3.762093 -2.432191
3.542056 2.778832
-1.736822 4.241041
2.127073 -2.983680
-4.323818 -3.938116
3.792121 5.135768
-4.786473 3.358547
2.624081 -3.260715
-4.009299 -2.978115
2.493525 1.963710
-2.513661 2.642162
1.864375 -3.176309
-3.171184 -3.572452
2.894220 2.489128
-2.562539 2.884438
3.491078 -3.947487
-2.565729 -2.012114
3.332948 3.983102
-1.616805 3.573188
2.280615 -2.559444
-2.651229 -3.103198
2.321395 3.154987
-1.685703 2.939697
3.031012 -3.620252
-4.599622 -2.185829
4.196223 1.126677
-2.133863 3.093686
4.668892 -2.562705
-2.793241 -2.149706
2.884105 3.043438
-2.967647 2.848696
4.479332 -1.764772
-4.905566 -2.911070
运行结果
缺点
非常naive的kmeans，对于K个簇心初始位置非常敏感，有时候会产生dead point，即有些簇心被孤立而没有样本数据归属它。
第一次改进：簇心向量的每个维度，在样本数据的各自维度的最小值和最大值之间取值
clusters = zeros(K, sample_dimension);
minVal = min(data); % 各维度计算最小值
maxVal = max(data); % 各维度计算最大值
for i=1:K
clusters(i, :) = minVal + (maxVal - minVal) * rand();
end
效果：
第二次改进：在线K-means，使用随机梯度下降SGD替代批量梯度下降BGD
思路是，每次仅仅取出一个样本数据x_i，找出离他最近的簇心cluster_j，并把簇心往x_i的方向拉。这替代了原来使用“所有的、类别编号为c_j的样本，算出一个均值，作为新簇心”策略.
同时考虑到收敛速度，每次将“最近的簇心”向数据项“拉取”的时候，乘以一个学习率eta，eta最好是随着迭代次数增加而有所减小，即迭代次数t的减函数。此处代码实现中使用倒数(eta = basic_eta/i)，你也可以用更精致的函数替代。
参考代码:
% 簇心数目k
K = 4;
% 准备数据，假设是2维的,80条数据，从data.txt中读取
%data = zeros(100, 2);
load \'data.txt\'; % 直接存储到data变量中
x = data(:,1);
y = data(:,2);
% 绘制数据，2维散点图
% x,y: 要绘制的数据点 20:散点大小相同，均为20 \'blue\':散点颜色为蓝色
s = scatter(x, y, 20, \'blue\');
title(\'原始数据：蓝圈；初始簇心：红点\');
% 初始化簇心
sample_num = size(data, 1); % 样本数量
sample_dimension = size(data, 2); % 每个样本特征维度
% 暂且手动指定簇心初始位置
% clusters = zeros(K, sample_dimension);
% clusters(1,:) = [-3,1];
% clusters(2,:) = [2,4];
% clusters(3,:) = [-1,-0.5];
% clusters(4,:) = [2,-3];
% 簇心赋初值：计算所有数据的均值，并将一些小随机向量加到均值上
clusters = zeros(K, sample_dimension);
minVal = min(data); % 各维度计算最小值
maxVal = max(data); % 各维度计算最大值
for i=1:K
clusters(i, :) = minVal + (maxVal - minVal) * rand();
end
hold on; % 在上次绘图（散点图）基础上，准备下次绘图
% 绘制初始簇心
scatter(clusters(:,1), clusters(:,2), \'red\', \'filled\'); % 实心圆点，表示簇心初始位置
c = zeros(sample_num, 1); % 每个样本所属簇的编号
PRECISION = 0.001;
iter = 100; % 假定最多迭代100次
% Stochastic Gradient Descendant 随机梯度下降（SGD）的K-means，也就是Competitive Learning版本
basic_eta = 0.1; % learning rate
for i=1:iter
pre_acc_err = 0; % 上一次迭代中，累计误差
acc_err = 0; % 累计误差
for j=1:sample_num
x_j = data(j, :); % 取得第j个样本数据，这里体现了stochastic性质
% 所有簇心和x计算距离，找到最近的一个（比较簇心到x的模长）
gg = repmat(x_j, K, 1);
gg = gg - clusters;
tt = arrayfun(@(n) norm(gg(n,:)), (1:K)\');
[minVal, minIdx] = min(tt);
% 更新簇心：把最近的簇心(winner)向数据x拉动。 eta为学习率.
eta = basic_eta/i;
delta = eta*(x_j-clusters(minIdx,:));
clusters(minIdx,:) = clusters(minIdx,:) + delta;
acc_err = acc_err + norm(delta);
end
if(rem(i,10) ~= 0)
continue
end
figure;
f = scatter(x, y, 20, \'blue\');
hold on;
scatter(clusters(:,1), clusters(:,2), \'filled\'); % 实心圆点，表示簇心初始位置
title([\'第\', num2str(i), \'次迭代\']);
if (abs(acc_err-pre_acc_err) < PRECISION)
disp([\'收敛于第\', num2str(i), \'次迭代\']);
break;
end
disp([\'累计误差：\', num2str(abs(acc_err-pre_acc_err))]);
pre_acc_err = acc_err;
end
disp(\'done\');
因为学习率eta选得比较随意，以及收敛条件的判断也比较随意，收敛效果只能说还凑合，运行结果：
