图像处理中，"空间域" 指的是图像平面，因此，空间滤波可定义为：在图像平面内对像素灰度值进行的滤波

1 空间滤波

1.1 滤波过程

如图，Filter 是一个 3x3 滤波核，当它从图像的左上角开始，逐个像素沿水平方向扫描，最后到右下角时，便会产生滤波后的图像

假设输入图像 $f(x, y)$，滤波后的图像为 $g(x, y)$，则其中 $g(2,2)$ 和 $g(4,4)$ 的计算过程如下：

上图中，以像素 (4,4) 为中心的 3x3 邻域，和滤波核的向量点乘之积，即为 g(4,4)

g(4,4) = 240*0.1111 + 183*0.1111 + 0*0.1111 + 250*0.1111 + 12*0.1111 + 87*0.1111 + 255*0.1111 + 1*0.1111 + 94*0.1111

= 26.6666 + 20.3333 + 0 + 27.7777 + 1.3333 + 9.6666 + 28.3333 + 0 + 10.4444

= 124.55

1.2 相关和卷积

空间滤波中，相关和卷积，是容易混淆的概念，定义如下：

- 相关 (Correlation)，和上述的滤波过程一样，即滤波核逐行扫描图像，并计算每个位置像素点积的过程

- 卷积 (Convolution)，和 "相关" 过程类似，但滤波核要先旋转 180°，然后再执行和 “相关” 一样的操作

(二维中的旋转 180°，等于滤波核沿一个坐标轴翻转，然后再沿另一个坐标轴翻转）

注意：如果滤波核是对称的，则对图像进行相关和卷积的结果是一致的

2 OpenCV 函数

2.1 filter2D 函数

在 OpenCV 中，可自定义滤波核，然后通过 filter2D() 来完成图像滤波

 void filter2D(
     InputArray     src,              // 输入图像 
     OutputArray    dst,              // 输出图像(大小和通道数，同 src)
     int            ddepth,           // 输出图像的 depth
     InputArray     kernel,           // 滤波核，准确地说，是相关核
     Point  anchor = Point(-1,-1),    // 锚点位置，滤波核尺寸为奇数时，不用指定，一般取默认值 Point(-1,-1)；滤波核尺寸为偶数时，需指定锚点位置
     double             delta = 0,    // optional value added to the filtered pixels before storing them in dst      
     int borderType = BORDER_DEFAULT  // 边界处理方法
 );

filter2D() 求的是相关，并非卷积，只有当滤波核对称时，filte2D() 才可视为卷积运算，其公式如下：

$\quad dst(x, y) = \sum \limits_{0 \leq x' <kernel.cols, \\ 0 \leq y'<kernel.rows} \: kernel(x', y') * src(x+x'-anchor.x, \; y+y'-anchor.y) $

假定滤波核 kernel 大小为 3x3，以一个像素点 src(4,4) 为例，则有：

dst(4,4) = kernel(0,0)*src(4+0-1, 4+0-1) + kernel(0,1)*src(4+0-1, 4+1-1) + kernel(0,2)*src(4+0-1, 4+2-1)

+ kernel(1,0)*src(4+1-1, 4+0-1) + kernel(1,1)*src(4+1-1, 4+1-1) + kernel(1,2)*src(4+1-1, 4+2-1)

+ kernel(2,0)*src(4+2-1, 4+0-1) + kernel(2,1)*src(4+2-1, 4+1-1) + kernel(2,2)*src(4+2-1, 4+2-1)

滤波核与输入图像的卷积点乘，对应关系如下：

2.2 flip 函数

当滤波核不对称时，要得到真正的卷积运算，还需 flip() 函数来完成 kernel 的二维翻转

  void flip(
      InputArray  src,  // input array
      OutputArray dst,  // output array
      int    flipCode   // 0, flip around x-axis; positive value, flip around y-axis; negative value, flip around both axes.
  );

如果滤波核的大小为奇数，则 filter2D() 中的锚点位置可设为 Point(-1,-1)，此时，默认滤波核的中心为锚点；如果滤波核的大小为偶数，则需要自定义锚点位置

OpenCV 中锚点位置的实现函数 normalizeAnchor() 如下：

  static inline Point normalizeAnchor(Point anchor, Size ksize)
  {
      if (anchor.x == -1)
          anchor.x = ksize.width / 2;
      if (anchor.y == -1)
          anchor.y = ksize.height / 2;
      CV_Assert(anchor.inside(Rect(0, 0, ksize.width, ksize.height)));
      return anchor;
  }

3 代码示例

3.1 偏导数

自定义滤波核，利用 filter2D() 函数，实现图像的一阶和二阶偏导运算

1) 一阶偏导

图像在 x 和 y 方向的一阶偏导如下：

$\quad \frac {\partial f}{\partial x} = f(x+1,y) - f(x,y)$

$\quad \frac {\partial f}{\partial y} = f(x, y+1) - f(x, y)$

对应滤波核为 $K_{x} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \end{bmatrix} $，$K_{y} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $

2) 二阶偏导

同样，在 x 和 y 方向的二阶偏导如下：

$\quad \frac {\partial f^2} {\partial x^2} = f(x+1, y) + f(x-1, y)- 2f(x,y)$

$\quad \frac {\partial f^2}{\partial y^2} = f(x, y+1) + f(x, y-1)- 2f(x,y)$

$\quad \frac {\partial f^2}{\partial x \partial y} = f(x+1, y+1) - f(x+1, y) - f(x, y+1)+ f(x,y)$

对应滤波核为 $K_{xx} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} $，$K_{yy} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} $，$K_{xy} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} $

3.2 代码示例

#include "opencv2/imgproc.hpp"
#include "opencv2/highgui.hpp"

using namespace cv;

int main()
{
    // 读取图像
    Mat src = imread("fangtze.jpg", IMREAD_GRAYSCALE);
    if (src.empty()) {
        return -1;
    }

    Mat kx = (Mat_<float>(1, 2) << -1, 1);  // 1行2列的 dx 滤波核
    Mat ky = (Mat_<float>(2, 1) << -1, 1);  // 2行1列的 dy 滤波核

    Mat kxx = (Mat_<float>(1, 3) << 1, -2, 1);     // 1行3列的 dxx 滤波核
    Mat kyy = (Mat_<float>(3, 1) << 1, -2, 1);     // 3行1列的 dyy 滤波核
    Mat kxy = (Mat_<float>(2, 2) << 1, -1, -1, 1); // 2行2列的 dxy 滤波核

    // 一阶偏导
    Mat dx, dy;
    filter2D(src, dx, CV_32FC1, kx);
    filter2D(src, dy, CV_32FC1, ky);

    // 二阶偏导
    Mat dxx, dyy, dxy;
    filter2D(src, dxx, CV_32FC1, kxx);
    filter2D(src, dyy, CV_32FC1, kyy);
    filter2D(src, dxy, CV_32FC1, kxy);

    // 显示图像
    imshow("dx", dx);

    waitKey();
}