最小二乘法

时间：2024-02-01 17:26:44

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简介

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最小二乘法就是用过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便的求得未知的数据。

一元线性回归下的最小二乘法

下面来讲解一下最小二乘法(以二维数据为例)
首先,我们得到一组数据(\(x_1,y_1\)), (\(x_2,y_2\))...(\(x_n,y_n\)),我们的预测函数 \(f(x_i)=\omega x_i+b\),也就是预测值\(\hat y_i\), 那么我们的误差的平方和为:

\[\sum_{i=1}^n(y_i-\hat y_i)^2=\sum_{i=1}^n(y_i-\omega x_i-b)^2 \]

而我们需要使得上面的式子为最小值,从而求得我们需要的\(\omega和b\), 我们将其记作\((\omega^*, b^*)\),即

\[(\omega^*,b^*)=\argmin_{(\omega, b)}\sum^n_{i=1}(y_i-\hat y_i)^2=\argmin_{(\omega,b)}(y_i-\omega x_i-b)^2 \]

求解\(\omega\)和\(b\)的使得\(E_{(\omega, b)}=\sum^n_{i=1}(y_i-\hat y_i)^2\)的过程,称为线性回归模型的最小二乘"参数估计"
我们要求得\(E_{(\omega, b)}\)的最小值,只需要求得其极值即可。
我们可将\(E_{(\omega, b)}\)分别对\(\omega\)和\(b\)求偏导:

\[\frac{\partial E{(\omega, b)}}{\partial\omega}=2\left(\omega\sum^n_{i=1}x_i^2-\sum^n_{i=1}(y_i-b)x_i\right)=0 \]

\[\frac{\partial E{(\omega, b)}}{\partial b}=2\left(nb-\sum^n_{i=1}(y_i-\omega x_i)\right)=0 \]

对上面的方程求解可以得到

\[\omega=\frac{\sum^n_{i=1}y_i(x_i-\overline x)}{\sum^n_{i=1}x^2_i-\frac1m\left(\sum^m_{i=1}x_i\right)^2} \]

\[b = \frac1m\sum^n_{i=1}(y_i-\omega x_i) \]

其中\(\overline x=\frac1n\sum^n_{i=1}x_i\)即\(\overline x\)是\(x\)的均值

通过上面的步骤我们就可以得到最小二乘法的\(\omega和b\)了。
从而我们就可以得到关系式\(f(x_i)=\omega x_i+b\)

多元线性回归下的最小二乘法

同样的,如果将最小二乘法应用到\(n\)维数据中
我们的数据\(x\)如下:

\[x=\left( \begin{matrix} x_{11}&x_{12}&\dots&x_{1n}\\ x_{21}&x_{22}&\dots&x_2n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_{m1}&x_{m2}&\dots&x_{mn} \end{matrix} \right) \]

对应的\(\omega\)为\(\left(\begin{matrix}\omega_1&\omega_2&\dots&\omega_n\end{matrix}\right)\),所对应的方程为
\(\omega_1 x_1+\omega_2 x_2+\dots+\omega_n x_n+b\)
为了方便计算,我们可以将\(b\)放在\(x\)和\(\omega\)中,即将\(b\)作为一维,其为固定值1,参数为\(\omega_b\)

\[x=\left( \begin{matrix} x_{11}&x_{12}&\dots&x_{1n}&1\\ x_{21}&x_{22}&\dots&x_2n&1\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ x_{m1}&x_{m2}&\dots&x_{mn}&1 \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} x_1^T&1\\ x_2^T&1\\ \vdots&\vdots\\ x_m^T&1 \end{matrix} \right)\\ \omega=\left(\begin{matrix}\omega_1&\omega_2&\dots&\omega_n&\omega_b\end{matrix}\right) \]

因此,我们的方程就变为了\(f(x_i) = \omega^Tx\)
与上方一元线性回归下的误差类似地

\[\omega^*=\arg\min_{\omega}(y-X\omega)^T(y-X\omega) \]

令\(E_\omega=(y-X\omega)^T(y-X\omega)\),对\(\omega\)求导可得:

\[\frac{\partial E_\omega}{\partial\omega}=2X^T(X\omega-y) \]

令上式等于零可得\(\omega\)的最优解:

\[\omega^*=(X^TX)^{-1}X^Ty \]

从而可以得到我们需要的函数\(f(x_i)=\omega'^Tx'=\omega^Tx+\omega_b=\omega^Tx+b\)也就是\(f(x_i)=x_i^T(X^TX)^{-1}X^Ty\)

多元最小二乘法也是用与一元线性回归

最小二乘法的代码实现

def LeastSquareMethod(X, Y):
	"""
		最小二乘法
	:param X: 未进行扩展的X矩阵
	:param Y: X矩阵相对应的结果集矩阵
	:return X_b: 进行扩展处理后的X矩阵
	:return omega: 使用最小二乘法求得的w
	"""
	# 对X矩阵进行扩展
	X_b = np.c_[np.ones((len(X), 1)), X]
	'''
	np.linalg.inv用来求矩阵的逆矩阵
	dot表示矩阵祥恒
	T表示矩阵的转置
	'''
	omega = np.linalg.inv(X_b.T.dot(X_b)).dot(X_b.T).dot(Y)
	return X_b, omega

实例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def LeastSquareMethod(X, Y):
	"""
		最小二乘法
	:param X: 未进行扩展的X矩阵
	:param Y: X矩阵相对应的结果集矩阵
	:return X_b: 进行扩展处理后的X矩阵
	:return omega: 使用最小二乘法求得的w
	"""
	# 对X矩阵进行扩展
	X_b = np.c_[np.ones((len(X), 1)), X]
	'''
	np.linalg.inv用来求矩阵的逆矩阵
	dot表示矩阵祥恒
	T表示矩阵的转置
	'''
	omega = np.linalg.inv(X_b.T.dot(X_b)).dot(X_b.T).dot(Y)
	return X_b, omega


if __name__ == '__main__':
	X = np.random.rand(100, 1)
	Y = 4 + 3 * X + np.random.randn(100, 1)
	X_b, omega = LeastSquareMethod(X, Y)
	Y2 = X_b.dot(omega)
	plt.plot(X, Y, 'o')
	plt.plot(X, Y2, 'r')
	plt.show()

得到的图像为
最小二乘法的拟合图像

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