积分公式汇总
不定积分
不定积分的积分公式主要有如下几类：含ax+b的积分、含√(a+bx)的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b(a>0)的积分、含有√(a²+x^2) (a>0)的积分、含有√(a^2-x^2) (a>0)的积分、含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。
含a+bx的积分
含有a+bx的积分公式主要有以下几类：
含√(a+bx)的积分
含有√(a+bx)的积分公式主要包含有以下几类：
含有x^2±α^2的积分
含有ax^2+b(a>0)的积分
含有√(a^2+x^2) (a>0)的积分
被积函数中含有√(a^2+x^2) (a>0)的积分有 ：
含有√(a^2-x^2) (a>0)的积分
被积函数中含有√(a^2-x^2) (a>0)的积分有：
对于a2>x2有：
含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分
被积函数中含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分有
含有三角函数的积分
被积函数中含有三角函数的积分公式有：
含有反三角函数的积分
被积函数当中含有反三角函数的积分公式有：
含有指数函数的积分
被积函数当中包含有指数函数的积分公式
含有对数函数的积分
含有双曲函数的积分
被积函数当中包含有双曲函数的积分公式有
定积分
定积分公式有以下几种
积分性质
通常意义上的积分都满足一些基本的性质。以下积分区域
的在黎曼积分意义上表示一个区间，在勒贝格积分意义下表示一个可测集合。积分的性质有：线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。
线性性
积分是线性的。如果一个函数f 可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。
保号性
如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论，如果两个
上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。
如果黎曼可积的非负函数f在
上的积分等于0，那么除了有限个点以外，f = 0。如果勒贝格可积的非负函数f在
上的积分等于0，那么f几乎处处为0。如果
中元素A的测度μ (A)等于0，那么任何可积函数在A上的积分等于0。
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对
中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。
分部积分法
分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它的主要原理是利用两个相乘函数的微分公式，将所要求的积分转化为另外较为简单的函数的积分。根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂三指”。分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分。
分部积分公式推导
设
及
是两个关于
的函数，各自具有连续导数
及
，则按照乘积函数求微分法则，则有
或者
对其两边进行积分，且因
的原函数是
，得
如果将
和
用微分形式写出，则亦可得出
上两式就表示出了分部积分法则。它把
的积分化为
的积分，也即分部积分的好处是，可将复杂的被积函数简化为另一较易求得的函数积分。
例如，要求
，则依分部积分法则，令
如此
则按上述公式有
四种典型模式
一般地，从要求的积分式中将
凑成
是容易的，但通常有原则可依，也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简，而且可能会更麻烦。分部积分法最重要之处就在于准确地选取
，因为一旦
确定，则公式中右边第二项
中的
也随之确定，但为了使式子得到精简，如何选取
则要依
的复杂程度决定，也就是说，选取的
一定要使
比之前的形式更简单或更有利于求得积分。依照经验，可以得到下面四种典型的模式。 记忆模式口诀：反（函数）对（数函数）幂（函数）三（角函数）指（数函数）。
模式一
通过对
求微分后，
中的
比
更加简洁，而
与
的类型相似或复杂程度相当。
例如，对于形如
的不定积分（其中
为
次多项式），由于对多项式求微分可以降次，且三角函数或指函数的积分则较容易求得，所以可以令
，而将另一个函数看成
例如 求
首先，
对该式第二项再按此模式进行分部积分，得
故原式
模式二
通过对
求微分使得它的类型与
的类型相同或相近，然后将它们作为一个统一的函数来处理。例如对形如
等的积分，总是令
，则
则为一个
次的多项式，另一个函数（
等）看成
例如，求
而该式第二项为
故原积分式
模式三
利用有些函数经一次或二次求微分后不变的性质，通过一次或二次分部积分后，使等式右端再次产生
，只要它的系数不为1，就可以利用解方程的方法求出原积分
例如，对于积分
和
按法则对他们进行分部积分得
这样，所求积分均由另一个积分所表示出来，将这两式相加和相减（即解方程）得到所求积分表达式
以及
这两个通用表达式就可以求出该类型的所有积分式，比如
模式四
对某些形如
的不定积分，利用分部积分可降低
的次数，求得递推公式，然后再次利用递推公式，求出
例如，对于积分
当
时，
当
时，
将其带入上式，则得到
故
最后，得到统一的递推关系式
定积分
与不定积分的分部积分法一样，可得
简写为
例如
示例
例1：
例2
回代即可得到
的值
换元积分法
换元积分法（Integration By Substitution）是求积分的一种方法，主要通过引进中间变量作变量替换使原式简易，从而来求较复杂的不定积分。它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。
在计算函数导数时.复合函数是最常用的法则,把它反过来求不定积分，就是引进中间变量作变量替换，把一个被积表达式变成另一个被积表达式。从而把原来的被积表达式变成较简易的不定积分这就是换元积分法。换元积分法有两种，第一类换元积分法和第二类换元积分法。
两种方法
第一类
第一类换元法,也称为凑微分法，推导过程如下：
设
在
上有定义，
在
上可导，且
，
，并记
，
。若
在
上存在原函数
，则
在
上也存在原函数
，
，即
在使用时，也可把它写成如下简便形式：
使用这种方法的关键在于将
凑成
，以及
的原函数容易获得，下面通过一个例子来讲解：求
解：
第二类
设
在
上有定义，
在
上可导，且
，
，并记
，
。若
，
，则当
在
上存在原函数
时，
在
上也存在原函数
，且
，即
(其中 是
此时观察这两类换元法的定理公式,发现它们是互相可逆的。
例子
编辑计算积分
。
其中
换元为
后，
亦变为
，是因为其形式为黎曼－斯蒂尔杰斯积分，但在黎曼－斯蒂尔杰斯积分中变数的取值范围应该还是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围。