大家在学习信息学竞赛的过程中，总是会遇到要求计算结果对 \(10^9+7\) 或者 \(10007\) 这样的数取余数的结果，比如：http://codeforces.com/problemset/problem/1423/J
链接中的题目中就有一句话：
For each test case \(i\), print the answer on separate lines: number of polynomials \(P\) as described in statement such that \(P(2)=m_i\), modulo \(10^9+7\).
那么为什么要对 \(10^9+7\) 呢？
最主要的原因是一些运算的结果会很大，如果不在计算的过程中模 \(10^9+7\)（或者别的一些数），答案可能会超过 long long 的表示范围。而如果两个数 \(a,b\) 满足 \(0 \le a,b \lt 10^9+7\)，则对其进行加、减、乘、除（整除或取余）操作，都不会让结果超过 long long 的表示范围（当然，除法运算会复杂一点，不能简单地除，除以 \(a\) 需要转变为乘以 \(a\) 的逆，这部分不作为这篇随笔的讨论范围），然后计算的结果再对 \(10^9+7\) 取余，又能保证结果小于 \(10^9+7\) 了。
同时，对于算术运算，我们能够证明在计算过程中不停地模一个数，和计算完了之后再模这个数的结果是一样的。这部分相信学过 同余 的同学应该也都能够理解。
所以最主要的目的就是：让我们的计算过程用 long long 就可以解决。
那么为什么一般都选择 \(10^9+7\) 或者 \(10007\) 这样的数呢？
我们会发现一般取余的数都是 素数 ，这也是有原因的。
假设我要输出的是答案模 \(m\) 的结果（即答案除以 \(m\) 的余数）。假设 \(m\) 是有一个有较多约数的数，同时在数据中存在 \(q\) 满足 \(gcd(m,q) = d \gt 1\) （即假设有一个数 \(q\) ，它和 \(m\) 的最大公约数是一个大于 \(1\) 的数 \(d\)），即存在 —— \(m = a \times d, q = b \times d\)，则有以下等式：
（这里 \([x]\) 表示 \(x\) 向下取整的结果）其中 \(b/a\) 的结果是 \([0,b]\) 范围内的正整数，也就是说，\([b/a]\) 的结果只有 \(b+1\) 种可能，而 \(m\) 是一个预先确定的数。因此，上式的值就只有 \(b+1\) 种可能了。这样，虽然模运算之后的余数仍然在 \([0,m-1]\) 范围内，但是它的取值仅限于等式可能取到的那些值，也就是说余数的分布变得不均匀了。所以，\(m\) 的约数越多，发生这种余数不均匀的情况就越频繁，冲突的几率就越高。而素数的约数是最少的，因此一般选 \(m\) 为小于某个区域长度的最大素数。于是 \(10^9+7\) 就变成一个很合适的选择方案，一方面能保证记起来比较方便，另一方面也能保证模 \(10^9+7\) 的结果不会超出 long long 表示范围。